Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

16.1: Векторні поля

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Цілі навчання
  • Розпізнати векторне поле в площині або в просторі.
  • Намалюйте векторне поле з заданого рівняння.
  • Визначте консервативне поле і пов'язану з нею потенційну функцію.

Векторні поля є важливим інструментом для опису багатьох фізичних понять, таких як гравітація та електромагнетизм, які впливають на поведінку об'єктів над великою областю площини або простору. Вони також корисні для боротьби з масштабною поведінкою, такою як атмосферні бурі або глибоководні океанічні течії. У цьому розділі ми розглядаємо основні визначення та графіки векторних полів, щоб ми могли їх більш детально вивчити в решті цієї глави.

Приклади векторних полів

Як ми можемо змоделювати гравітаційну силу, яку чинять кілька астрономічних об'єктів? Як ми можемо змоделювати швидкість частинок води на поверхні річки? Малюнок16.1.1 дає візуальні уявлення про такі явища.

Два зображення, позначені A і B. Зображення А показує гравітаційне поле, що чиниться двома астрономічними тілами на невеликий об'єкт. Земля знаходиться зліва, а Місяць - праворуч. Земля оточена довгими стрілками, що вказують на її центр, розташованих концентричними колами. У колі справа, навпроти Місяця, є розрив. Місяць оточена меншими стрілками, які вигинаються назовні і вправо. Зображення B показує векторне поле швидкості води на поверхні річки з великою скелею посередині. Стрілки, як правило, вказують під тим же кутом, що і берег річки. Там, де річка зустрічає скелю, стрілки вказують навколо скелі. Після скелі одні стрілки вказують вперед, а інші повертаються назад до скелі. Вода тече найшвидше до середини річки і навколо скелі і найповільніше вздовж берега річки.
Малюнок16.1.1 (а) Гравітаційне поле, що чиниться двома астрономічними тілами на малий об'єкт. (b) Векторне поле швидкості води на поверхні річки показує різні швидкості води. Червоний вказує на те, що величина вектора більше, тому вода тече швидше; синій вказує на меншу величину і більш повільну швидкість течії води.

16.1.1aНа малюнку показано гравітаційне поле, яке чиниться двома астрономічними об'єктами, такими як зірка і планета або планета і місяць. У будь-якій точці малюнка вектор, пов'язаний з точкою, дає чисту гравітаційну силу, що чиниться двома об'єктами на об'єкт одиничної маси. Вектори найбільшої величини на малюнку є векторами, найближчими до більшого об'єкту. Більший об'єкт має більшу масу, тому він надає гравітаційну силу більшої величини, ніж менший об'єкт.

Малюнок16.1.1b показує швидкість річки в точках на її поверхні. Вектор, пов'язаний з заданою точкою на поверхні річки, дає швидкість води в цій точці. Так як вектори зліва від фігури невеликі за величиною, вода тече повільно по тій частині поверхні. Коли вода рухається зліва направо, вона стикається з деякими порогами навколо скелі. Швидкість води збільшується, і в частині порогів виникає вир.

Кожен малюнок ілюструє приклад векторного поля. Інтуїтивно векторне поле - це карта векторів. У цьому розділі ми вивчаємо векторні поля в2 і3.

ВИЗНАЧЕННЯ: векторне поле
  • Векторне полеF в2 - це присвоєння двовимірного вектораF(x,y) кожній(x,y) точціD підмножини2. DПідмножина - область векторного поля.
  • Векторне полеF в3 - це присвоєння тривимірного вектораF(x,y,z) кожній(x,y,z) точціD підмножини3. DПідмножина - область векторного поля.

Векторні поля в2

Векторне поле в2 може бути представлено одним з двох еквівалентних способів. Перший спосіб полягає у використанні вектора з компонентами, які є двозмінними функціями:

F(x,y)=P(x,y),Q(x,y)

Другий спосіб полягає у використанні стандартних одиничних векторів:

F(x,y)=P(x,y)ˆi+Q(x,y)ˆj.

Векторне поле називається безперервним, якщо його компонентні функції є безперервними.

Приклад16.1.1: Finding a Vector Associated with a Given Point

F(x,y)=(2y2+x4)ˆi+cos(x)ˆjДозволяти бути векторним полем в2. Зауважте, що це приклад неперервного векторного поля, оскільки обидві компонентні функції є неперервними. Який вектор пов'язаний з точковим(0,1)?

Рішення

Підставляємо значення точок дляx іy:

F(0,1)=(2(1)2+04)ˆi+cos(0)ˆj=2ˆi+ˆj.

Вправа16.1.1

G(x,y)=x2yˆi(x+y)ˆjДозволяти бути векторним полем в2. Який вектор пов'язаний з точкою(2,3)?

Підказка

Підставляємо значення точок у векторну функцію.

Відповідь

G(2,3)=12ˆiˆj

Малювання векторного поля

Тепер ми можемо представляти векторне поле з точки зору його компонентів функцій або одиничних векторів, але представляти його візуально шляхом ескізу є більш складним, оскільки область векторного поля знаходиться в2, як і діапазон. Тому «граф» векторного поля2 живе в чотиривимірному просторі. Оскільки ми не можемо представляти чотиривимірний простір візуально, ми замість цього малюємо векторні поля2 в самій площині. Для цього намалюйте вектор, пов'язаний із заданою точкою в точці площини. Наприклад, припустимо, що вектор, пов'язаний з точкою(4,1), є3,1. Потім, ми б малювати вектор3,1 в точці(4,1).

Ми повинні побудувати достатньо векторів, щоб побачити загальну форму, але не стільки, щоб ескіз перетворився на безлад. Якби ми побудували вектор зображення в кожній точці регіону, він би заповнив регіон повністю і марний. Натомість ми можемо вибрати точки на перетині ліній сітки і побудувати зразок з декількох векторів з кожного квадранта прямокутної системи координат в2.

Існує два типи векторних полів,2 на яких фокусується ця глава: радіальні поля і поля обертання. Радіальні поля моделюють певні гравітаційні поля та поля джерела енергії, а обертальні поля моделюють рух рідини у вихорі. У радіальному полі всі вектори або спрямовані безпосередньо в бік або безпосередньо від початку. Крім того, величина будь-якого вектора залежить тільки від його відстані від початку. У радіальному полі вектор, розташований в точці(x,y), перпендикулярний окружності з центром у початку, що містить точку(x,y), а всі інші вектори на цьому колі мають однакову величину.

Приклад16.1.2: Drawing a Radial Vector Field

Намалюйте векторне полеF(x,y)=x2ˆi+y2ˆj.

Рішення

Щоб намалювати це векторне поле, виберіть зразок точок з кожного квадранта та обчислите відповідний вектор. Наступна таблиця дає репрезентативну вибірку точок на площині і відповідних векторів.

, (2,0), <1,0>, (1,1), <1/2,1/2>. Третій рядок має значення (0,1), <0,1/2>, (0,2), <0,1>, (-1,1), <-1/2,1/2>. Четвертий ряд має значення (-1,0), <-1/2,0>, (-2,0), <-1,0>, (-1, -1), <-1/2, -1/2>. П'ятий ряд має значення (0, -1), <0, -1/2>, (0, -2), <0, -1>, (1, -1), <1/2, -1/2>.">
Таблиця16.1.1
(x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y)
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,12
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,12 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,1 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,12
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,12
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,12 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,1 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,12

На малюнку16.1.2a показано векторне поле. Щоб побачити, що кожен вектор перпендикулярний відповідному колу, на малюнку16.1.2b показані кола, накладені на векторне поле.

Наочне зображення заданого векторного поля в координатній площині з двома додатковими діаграмами з позначеннями. У першому поданні показано векторне поле. Стрілки кружляють початок за годинниковою стрілкою. На другому зображенні зображені концентричні кола, що виділяють радіальний візерунок. Третє подання показує концентричні кола. Він також показує стрілки для радіального вектора <a, b для всіх точок (a, b). Кожна перпендикулярна стрілкам в даному векторному полі." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...01_003.jpg.png">
Рисунок16.1.2: (а) Візуальне зображення радіального векторного поляF(x,y)=x2ˆi+y2ˆj. (б) Радіальне векторне полеF(x,y)=x2ˆi+y2ˆj з накладеними колами. Зверніть увагу, що кожен вектор перпендикулярний колу, на якому він розташований.
Вправа16.1.2

Намалюйте радіальне полеF(x,y)=x3ˆiy3ˆj.

Підказка

Намалюйте достатньо векторів, щоб отримати уявлення про фігуру.

Відповідь

Візуальне зображення заданого радіального поля в координатній площині. Величини збільшуються далі від походження. Стрілка ніби тягнеться від початку прямокутної форми.

На відміну від радіальних полів, в обертальному полі вектор в точці(x,y) є дотичним (не перпендикулярним) до кола з радіусомr=x2+y2. У стандартному обертальному полі всі вектори вказують або за годинниковою стрілкою, або в напрямку проти годинникової стрілки, а величина вектора залежить тільки від його відстані від початку. Обидва наступні приклади є обертальними полями за годинниковою стрілкою, і ми бачимо з їх візуальних уявлень, що вектори, здається, обертаються навколо початку.

Приклад16.1.3: Drawing a Rotational Vector Field

Намалюйте векторне полеF(x,y)=y,x.

Рішення

Створіть таблицю (див. наступну), використовуючи репрезентативну вибірку точок на площині та відповідних їм векторів. 16.1.3На малюнку показано результуюче векторне поле.

, (2,0), <0, -2>, (1,1), <1, -1>. Третій рядок має значення (0,1), <1,0>, (0,2), <2,0>, (-1,1), <1,1>. Четвертий ряд має значення (-1,0), <0,1>, (-2,0), <0,2>, (-1, -1), <-1,1>. П'ятий ряд має значення (0, -1), <-1,0>, (0, -2), <-2,0>, (1, -1), <-1, -1>.">
Таблиця16.1.2
(x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y)
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,1 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,2 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1,1
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">2,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1,1
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,1 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,2 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1,1
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">2,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1,1
clipboard_eefd79a8783ad793483370902770aaa4f.png
Рисунок16.1.3: (а) Візуальне зображення векторного поляF(x,y)=y,x. (b) Векторне полеF(x,y)=y,x з колами, зосередженими на початку. (c) ВекторF(a,b) перпендикулярнийa,b радіальному вектору в точці(a,b).

Аналіз

Зверніть увагу, що векторF(a,b)=b,a вказує за годинниковою стрілкою і перпендикулярнийa,b радіальному (Ми можемо перевірити це твердження, обчисливши точковий добуток двох векторів:a,b·b,a=ab+ab=0.) Крім того, векторb,a має довжинуr=a2+b2. Таким чином, ми маємо повний опис цього обертального векторного поля: вектор, пов'язаний з точкою,(a,b) є вектором довжиною r дотичною до кола радіусом r, і він вказує в напрямку за годинниковою стрілкою.

Ескізи, такі як на малюнку, часто16.1.3 використовуються для аналізу основних штормових систем, включаючи урагани та циклони. У північній півкулі шторми обертаються проти годинникової стрілки; в південній півкулі шторми обертаються за годинниковою (Це ефект, спричинений обертанням Землі навколо своєї осі і називається ефектом Коріоліса.)

Фотографія урагану, що показує обертання навколо ока.
Малюнок16.1.4: (Кредит: модифікація роботи НАСА)
Приклад16.1.4: Sketching a Vector Field

Ескіз векторного поляF(x,y)=yx2+y2ˆi,xx2+y2ˆj.

Рішення

Щоб візуалізувати це векторне поле, спочатку зауважте, що точковийF(a,b)·(aˆi+bˆj) добуток дорівнює нулю для будь-якої точки(a,b). Тому кожен вектор дотичний до кола, на якому він розташований. Також, як(a,b)(0,0), величинаF(a,b) йде в нескінченність. Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що

||F(a,b)||=a2+b2(a2+b2)2=1a2+b2.

Так1a2+b2 як як(a,b)(0,0), то||F(a,b)|| як(a,b)(0,0). Це векторне поле виглядає аналогічно векторному полю в прикладі16.1.3, але в цьому випадку величини векторів, близьких до початку, великі. Таблиця16.1.3 показує вибірку точок і відповідні вектори, а на малюнку16.1.5 показано векторне поле. Зауважимо, що це векторне поле моделює вир руху річки на малюнку16.1.5 (б). Домен цього векторного поля є все,2 крім точки(0,0).

, (2,0), <0, -1/2>, (1,1), <1/2, -1/2>. Третій рядок має значення (0,1), <1,0>, (0,2), <1/2, 0>, (-1,1), <1/2,1/2>. Четвертий ряд має значення (-1,0), <0,1>, (-2,0), <0,1/2>, (-1, -1), <-1/2,1/2>. П'ятий ряд має значення (0, -1), <-1,0>, (0, -2), <-1/2,0>, (1, -1), <-1/2, -1/2>.">
Таблиця16.1.3
(x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y)
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,1 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,12 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,12
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,12
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,1 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0,12 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,12
\ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,0 \ (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">12,12
Наочне зображення заданого векторного поля в координатній площині. Величина більше ближче до походження. Стрілки обертають початок за годинниковою стрілкою. Це може бути використано для моделювання вихрового руху рідини.
Малюнок16.1.5: Візуальне зображення векторного поляF(x,y)=yx2+y2ˆixx2+y2ˆj. Це векторне поле може бути використано для моделювання вихрового руху рідини.
Вправа16.1.4

Ескіз векторного поляF(x,y)=2y,2x. Векторне поле радіальне, обертальне чи ні?

Підказка

Підставляйте достатньо очок,F щоб отримати уявлення про форму.

Відповідь

обертальний

Візуальне зображення обертального векторного поля в координатній площині. Стрілки обводять початок координат проти годинникової стрілки.

Приклад16.1.5: Velocity Field of a Fluid

v(x,y)=2yx2+y2ˆi+2xx2+y2ˆjПрипустимо, що це поле швидкості рідини. Як швидко рухається рідина в точці(1,1)? (Припустимо, одиниці швидкості - метри в секунду.)

Рішення

Щоб знайти швидкість рідини в точці(1,1), підставляємо точку наv:

v(1,1)=2(1)1+1ˆi+2(1)1+1ˆj=ˆi+ˆj.

Швидкість руху рідини при(1,1) - це величина цього вектора. Тому швидкість дорівнює||ˆi+ˆj||=2 м/сек.

Вправа16.1.5

Векторне полеv(x,y)=4|x|,1 моделює швидкість води на поверхні річки. Яка швидкість води в точці(2,3)? Використовуйте метри в секунду як одиниці виміру.

Підказка

Пам'ятайте, швидкість - це величина швидкості.

Відповідь

65м/сек

Ми розглянули векторні поля, які містять вектори різної величини, але так само, як у нас є одиничні вектори, ми також можемо мати одиничне векторне поле. FВекторне поле - це одиничне векторне поле, якщо величина кожного вектора в полі дорівнює 1. У полі одиничного вектора єдиною релевантною інформацією є напрямок кожного вектора.

Приклад16.1.6: A Unit Vector Field

Показати, щоF(x,y)=yx2+y2,xx2+y2 векторне поле є одиничним векторним полем.

Рішення

Щоб показати, щоF це одиничне поле, ми повинні показати, що величина кожного вектора є1. Зауважте, що

(yx2+y2)2+(xx2+y2)2=y2x2+y2+x2x2+y2=x2+y2x2+y2=1

ТомуF є одиничним векторним полем.

Вправа16.1.6

Векторне поле єF(x,y)=y,x одиничним векторним полем?

Підказка

Обчисліть величинуF в довільній точці(x,y).

Відповідь

Ні.

Чому поля векторних одиниць важливі? Припустимо, ми вивчаємо потік рідини, і піклуємося тільки про те, в якому напрямку тече рідина в даній точці. При цьому швидкість рідини (яка є величиною відповідного вектора швидкості) не має значення, тому що все, про що нас хвилює, - це напрямок кожного вектора. Тому поле одиничного вектора, пов'язане зі швидкістю, - це поле, яке ми б вивчали.

ЯкщоF=P,Q,R є векторним полем, то відповідне поле вектора одиниці єP||F||,Q||F||,R||F||. Зверніть увагу, що якщоF(x,y)=y,x є векторним полем з Прикладу16.1.6, то величинаF єx2+y2, і тому відповідне поле вектора одиниці є полемG з попереднього прикладу.

ЯкщоF є векторним полем, то процес діленняF на його величину з утворенням одиничного векторного поляF/||F|| називається нормалізацією поляF.

Векторні поля в3

Ми бачили кілька прикладів векторних полів в2; давайте тепер звернемо нашу увагу на векторні поля в3. Ці векторні поля можуть бути використані для моделювання гравітаційних або електромагнітних полів, а також вони можуть бути використані для моделювання потоку рідини або теплового потоку в трьох вимірах. Двовимірне векторне поле дійсно може моделювати лише рух води на двовимірному фрагменті річки (наприклад, поверхні річки). Оскільки річка протікає через три просторові виміри, для моделювання течії всієї глибини річки нам потрібно векторне поле в трьох вимірах.

Додатковий вимір тривимірного поля може зробити векторні поля3 більш важкими для візуалізації, але ідея така ж. Щоб візуалізувати векторне поле в3, намалюйте достатньо векторів, щоб показати загальну форму. Ми можемо використовувати подібний метод для візуалізації векторного поля,2 вибираючи точки в кожному октанті.

Так само, як і з векторними полями в2, ми можемо представляти векторні поля в3 з компонентними функціями. Нам просто потрібна додаткова функція компонента для додаткового виміру. Пишемо або

F(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)

або

F(x,y,z)=P(x,y,z)ˆi+Q(x,y,z)ˆj+R(x,y,z)ˆk.

Приклад16.1.7: Sketching a Vector Field in Three Dimensions

Опишіть векторне полеF(x,y,z)=1,1,z.

Рішення

Для цього векторного поляx - іy -компоненти є постійними, тому кожна точка3 має пов'язаний вектор зx - іy -компонентами, рівними одиниці. Для візуалізації спочатку розглянемоF, як виглядає поле вxy -площині. Уxy -площині,z=0. Значить, кожна точка форми(a,b,0) має вектор,1,1,0 пов'язаний з нею. Для точок не вxy -площині, а трохи вище неї, пов'язаний вектор має невеликий, але позитивнийz -компонент, і тому пов'язаний вектор вказує трохи вгору. Для точок, які знаходяться набагато вищеxy -площини,z -компонент великий, тому вектор майже вертикальний. На малюнку16.1.6 показано це векторне поле.

Малюнок16.1.6: Візуальне зображення векторного поляF(x,y,z)=1,1,z.

Вправа16.1.7

Ескіз векторного поляG(x,y,z)=2,z2,1.

Підказка

Підставте достатню кількість точок у векторне поле, щоб отримати уявлення про загальну форму.

Відповідь

У наступному прикладі ми досліджуємо один з класичних випадків тривимірного векторного поля: гравітаційне поле.

Приклад16.1.8: Describing a Gravitational Vector Field

Закон гравітації Ньютона стверджуєF=Gm1m2r2ˆr, що, де G - універсальна гравітаційна константа. Він описує гравітаційне поле, що чиниться об'єктом (об'єктом 1) маси,m1 розташованим біля початку на іншому об'єкті (об'єкті 2) маси,m2 розташованому в точці(x,y,z). ПолеF позначає гравітаційну силу, яку об'єкт 1 чинить на об'єкт 2,r - це відстань між двома об'єктами, іˆr вказує одиничний вектор від першого об'єкта до другого. Знак мінус показує, що гравітаційна сила притягує до початку; тобто сила предмета 1 приваблива. Намалюйте векторне поле, пов'язане з цим рівнянням.

Рішення

Так як об'єкт 1 розташований біля початку, відстань між об'єктами задаєтьсяr=x2+y2+z2. Одиничний вектор від об'єкта 1 до об'єкта 2 єˆr=x,y,z||x,y,z||, а значитьˆr=xr,yr,zr. Отже, гравітаційне векторне поле,F що діє об'єктом 1 на об'єкт 2, дорівнює

F=Gm1m2xr3,yr3,zr3.

Це приклад радіального векторного поля в3.

16.1.7На малюнку показано, як виглядає це гравітаційне поле для великої маси біля початку. Зауважте, що величини векторів збільшуються у міру наближення векторів до початку.

Наочне зображення заданого гравітаційного векторного поля у трьох вимірах. Величини векторів збільшуються в міру наближення векторів до початку. Стрілки вказують вгору, до маси на початку.
Рисунок16.1.7: Візуальне зображення гравітаційного векторного поляF=Gm1m2xr3,yr3,zr3 для великої маси на початку.
Вправа16.1.8

Маса астероїда 1 становить 750 000 кг, а маса астероїда 2 - 130 000 кг. Припустимо, що астероїд 1 розташований біля початку, а астероїд 2 розташований на(15,5,10), вимірюється в одиницях від 10 до восьмої потужності кілометрів. Враховуючи, що універсальна гравітаційна константа єG=6.67384×1011m3kg1s2, знайдіть вектор гравітаційної сили, який астероїд 1 надає на астероїд 2.

Підказка

Дотримуйтесь Приклад16.1.8 і спочатку обчислите відстань між астероїдами.

Відповідь

1.49063×1018,4.96876×1019,9.93752×1019 Н

Градієнтні поля (консервативні поля)

У цьому розділі ми вивчаємо особливий вид векторного поля, який називається градієнтним полем або консервативним полем. Ці векторні поля надзвичайно важливі у фізиці, оскільки вони можуть бути використані для моделювання фізичних систем, в яких зберігається енергія. Гравітаційні поля та електричні поля, пов'язані зі статичним зарядом, є прикладами градієнтних полів.

Нагадаємо, що якщоf є (скалярною) функцієюx іy, то градієнтf є

gradf=f(x,y)=fx(x,y)ˆi+fy(x,y)ˆj.

Ми можемо бачити з форми, в якій градієнт написано, щоf є векторним полем в2. Аналогічно, якщоf є функцієюxy, іz, тоf градієнт

gradf=f(x,y,z)=fx(x,y,z)ˆi+fy(x,y,z)ˆj+fz(x,y,z)ˆk.

Градієнт тризмінної функції є векторним полем в3. Градієнтне поле - це векторне поле, яке можна записати як градієнт функції, і ми маємо наступне визначення.

ВИЗНАЧЕННЯ: Градієнтне поле

Векторне полеF в2 або в3 є градієнтним полем, якщо існує скалярна функціяf така, щоf=F.

Приклад16.1.9: Sketching a Gradient Vector Field

Використовуйте технологію для побудови векторного поля градієнтаf(x,y)=x2y2.

Рішення

Градієнтf єf(x,y)=2xy2,2x2y. Для ескізу векторного поля використовуйте систему комп'ютерної алгебри, таку як Mathematica. Малюнок16.1.8 показуєf.

Наочне зображення заданого векторного поля градієнта у двох вимірах. Стрілки спрямовані вгору над віссю x і вниз нижче осі x, і вони вказують ліворуч на лівій стороні осі y і праворуч на правій стороні осі y. Чим далі стрілки від нуля, тим вони вертикальніше, і чим ближче стрілки до нуля, тим вони горизонтальніше.
Малюнок16.1.8: Векторне поле градієнта єf, деf(x,y)=x2y2.
Вправа16.1.9

Використовуйте технологію для побудови векторного поля градієнтаf(x,y)=sinxcosy.

Підказка

Знайдіть градієнтf.

Відповідь

Наочне зображення заданого вектора в двох вимірах. Стрілки немов утворюють кілька овалів. Перший знаходиться навколо початку, де стрілки криві вправо над і нижче осі х. Чим ближче стрілки до осі х, тим вони більш плоскі. Здається, шість інших овалів, по три по обидва боки від центрального. Вектори стають довшими, коли вони віддаляються від початку, а потім знову починають ставати коротшими.

Розглянемо функціюf(x,y)=x2y2 з Прикладу16.1.9. 16.1.9На малюнку показані криві рівня цієї функції, накладені на векторне поле градієнта функції. Вектори градієнта перпендикулярні кривим рівня, і величини векторів стають більшими, коли криві рівня зближуються, оскільки тісно згруповані криві рівня вказують на те, що графік крутий, а величина вектора градієнта є найбільшим значенням спрямованої похідної. Таким чином, ви можете побачити локальну крутизну графа, досліджуючи градієнтне поле відповідної функції.

Візуальне зображення заданого градієнтного поля. Стрілки більш плоскі, чим ближче вони до осі х і більш вертикальні, чим далі вони знаходяться від осі х. Стрілки вказують ліворуч від осі y, і вони вказують праворуч від осі y. Вони вказують вгору над віссю x і вниз нижче осі x. Намальовано кілька кривих рівня, кожна з яких асимптотично наближається до осей. Коли криві рівня зближуються, величина градієнтних векторів збільшується.
Малюнок16.1.9: Полеf(x,y)=x2y2 градієнта та декілька кривих рівняf. Зверніть увагу, що коли криві рівня зближуються, величина векторів градієнта збільшується.

Як ми дізналися раніше,F векторне поле - це консервативне векторне поле, або градієнтне поле, якщо існує скалярна функціяf така, щоf=F. У цій ситуаціїf називається потенційна функція дляF. Консервативні векторні поля виникають у багатьох додатках, особливо у фізиці. Причина, по якій такі поля називаються консервативними, полягає в тому, що вони моделюють сили фізичних систем, в яких зберігається енергія. Більш детально ми вивчаємо консервативні векторні поля далі в цьому розділі.

Ви можете помітити, що в деяких додатках потенційна функціяf дляF визначається замість такої функції, щоf=F. Це стосується певних контекстів у фізиці, наприклад.

Приклад16.1.10: Verifying a Potential Function

Єf(x,y,z)=x2yzsin(xy) потенційною функцією для векторного поля

F(x,y,z)=2xyzycos(xy),x2zxcos(xy),x2y?

Рішення

Нам потрібно підтвердити, чи єf=F. У нас є

fx(x,y)=2xyzycos(xy)fy(x,y)=x2zxcos(xy)fz(x,y)=x2y.

Томуf=F іf є потенційною функцією дляF.

Вправа16.1.10

Чиf(x,y,z)=x2cos(yz)+y2z2 є потенційна функція дляF(x,y,z)=2xcos(yz),x2zsin(yz)+2yz2,y2?

Підказка

Обчислити градієнтf.

Відповідь

Ні

Приклад16.1.11: Verifying a Potential Function

Швидкість рідини моделюється полемv(x,y)=xy,x22y. Переконайтеся, щоf(x,y)=x2y2y22 це потенційна функція дляv.

Рішення

Щоб показати, щоf це потенційна функція, ми повинні показати цеf=v. Зверніть увагу, щоfx(x,y)=xy іfy(x,y)=x22y. Томуf(x,y)=xy,x22y іf є потенційною функцією дляv (рис.16.1.10).

Візуальне уявлення заданого спрямованого поля в двох вимірах. Стрілки в квадранті 1точка вправо. Ближче до осі y вони вказують вниз, але вони швидко вигинаються і незабаром вказують вгору під кутом приблизно 90 градусів. Чим ближче стрілки до осі х, тим вони більш вертикальні. Квадрант 2 - це відображення квадранта 1. У квадранті 3 стрілки більш вертикальні, чим ближче вони знаходяться до осей x і y. Вони вказують вгору і вправо. Чим далі вони знаходяться від осей, тим ближче стрілки знаходяться до 90-градусного кута. Квадрант 4 - це відображення квадранта 3.
Малюнок16.1.10: Поле швидкостіv(x,y) має потенційну функцію і є консервативним полем.
Вправа16.1.11

Переконайтеся, щоf(x,y)=x3y2+x це потенційна функція для поля швидкостіv(x,y)=3x2y2+1,2x3y.

Підказка

Обчисліть градієнт.

Відповідь

f(x,y)=v(x,y)

ЯкщоF є консервативним векторним полем, то існує хоча б одна потенційна функціяf така, щоf=F. Але чи може бути більше однієї потенційної функції? Якщо так, то чи існує зв'язок між двома потенційними функціями для одного і того ж векторного поля? Перш ніж відповісти на ці питання, давайте згадаємо деякі факти з однозмінного числення, щоб керувати нашою інтуїцією. Нагадаємо, що якщоk(x) інтегрується функція, тоk має нескінченно багато антипохідних. Крім того, якщоF іG є обидва антипохідніk, тоF іG відрізняються тільки постійною. Тобто є якась кількістьC таких, щоF(x)=G(x)+C.

Тепер давайтеF консервативне векторне поле і нехайf іg бути потенційними функціями дляF. Оскільки градієнт схожий на похідну,F консервативний означає, що «Fінтегрується» з «антипохідними»f іg. Тому, якщо аналогія з однозмінним численням справедлива, ми очікуємо, що є якась постійнаC така, щоf(x)=g(x)+C. Наступна теорема говорить, що це дійсно так.

Щоб з точністю викласти наступну теорему, потрібно припустити, що область векторного поля пов'язана і відкрита. Підключитися означає, що якщоP1 іP2 є будь-якими двома точками в домені, то ви можете йти відP1 доP2 уздовж шляху, який залишається повністю всередині домену.

УНІКАЛЬНІСТЬ ПОТЕНЦІЙНИХ ФУНКЦІЙ

FДозволяти консервативне векторне поле на відкритій і пов'язаної області і нехайf іg бути функції такі, щоf=F іg=F. Тоді, є постійнаC така, щоf=g+C.

Доказ

Оскількиf іg є обома потенційними функціями дляF, то(fg)=fg=FF=0. Нехайh=fg, тоді у насh=0 є.Ми хотіли б показати, щоh є постійною функцією.

Припустимо,h є функцієюx іy (логіка цього доказу поширюється на будь-яку кількість незалежних змінних). З тих пірh=0, у насhx(x,y)=0 іhy(x,y)=0. Виразhx(x,y)=0 означає, щоh це постійна функція стосовноx —тобтоh(x,y)=k1(y) для якоїсь функціїk1. Аналогічно,hy(x,y)=0 маєтьсяh(x,y)=k2(x) на увазі для якоїсь функціїk2. Тому функціяh залежить тільки від,y а також залежить тільки відx. Таким чином,h(x,y)=C для деякої константиC на підключеному доменіF. Зверніть увагу, що ми дійсно потрібно зв'язність в цей момент; якщо доменF прийшов у двох окремих частин, тоk може бути постійноюC1 на одній частині, але може бути різною константоюC2 на інший шматок. Так якfg=h=C, ми маємо цеf=g+C, за бажанням.

Консервативні векторні поля також мають спеціальну властивість, яка називається перехресним частковим властивістю. Ця властивість допомагає перевірити, чи є задане векторне поле консервативним.

ПЕРЕХРЕСНО-ЧАСТКОВА ВЛАСТИВІСТЬ КОНСЕРВАТИВНИХ ВЕКТОР

FДозволяти векторне поле в двох або трьох вимірах таким чином, що компонентні функціїF мають неперервні змішано-частинні похідні другого порядку на областіF.

ЯкщоF(x,y)=P(x,y),Q(x,y) є консервативним векторним полем в2, то

Py=Qx.

ЯкщоF(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) є консервативним векторним полем вR3, то

Py=QxQz=RyRx=Pz.

Доказ

ТакF як консервативний, є функціяf(x,y) така, щоf=F. Тому за визначенням градієнта,fx=P іfy=Q. За теоремою Клероfxy=fyx, Але,fxy=Py іfyx=Qx, і таким чиномPy=Qx.

Теорема Клеро дає швидкий доказ перехресної часткової властивості консервативних векторних полів у3, так само, як це було для векторних полів в2.

Перехресна часткова властивість консервативних векторних полів показує, що більшість векторних полів не є консервативними. Перехресна часткова властивість загалом важко задовольнити, тому більшість векторних полів не матимуть рівних перехресних частинок.

Показати, що обертальне векторне поле неF(x,y)=y,x є консервативним.

Рішення

НехайP(x,y)=y іQ(x,y)=x. ЯкщоF консервативний, то перехресні були б рівними—тобтоPy дорівнювали б.Qx Тому, щоб показати, що не консервативно, перевірте FцеPyQx. Так якPy=1 іQx=1, векторне поле не консервативне.

Вправа16.1.12

Показати, що векторне поле неF(x,y)=xyˆix2yˆj є консервативним.

Підказка

Перевіряємо поперечні частки.

Відповідь

Py(x,y)=xіQx(x,y)=2xy. Так якPy(x,y)Qx(x,y), неF є консервативним.

Приклад16.1.13: Showing a Vector Field Is Not Conservative

Чи є векторне полеF(x,y,z)=7,2,x3 консервативним?

Рішення

НехайP(x,y,z)=7,Q(x,y,z)=2, іR(x,y,z)=x3. ЯкщоF консервативний, то всі три перехресні частинні рівняння будуть задоволені -F тобто якщо консервативні, тоPy дорівнювали бQx,Qz дорівнювали б іRyRx дорівнювали бPz. Зауважте, що

Py=Qx=Ry=Qz=0

тому перші дві необхідні рівності тримаються. Втім,Rx(x,y,z)=x3 іPz(x,y,z)=0 такRxPz. Тому неF є консервативним.

Вправа16.1.13

Чи є векторне полеG(x,y,z)=y,x,xyz консервативним?

Підказка

Перевіряємо поперечні частки.

Відповідь

Ні

Завершуємо цей розділ словом попередження: Перехресна часткова властивість консервативних векторних полів говорить, що якщоF консервативний, тоF має перехресну часткову властивість. Теорема не говорить про те, що якщоF має перехресну часткову властивість,F то консервативна (зворотне імплікації логічно не еквівалентно початковому підтексту). Іншими словами, перехресна часткова властивість консервативних векторних полів може лише допомогти визначити, що поле не є консервативним; це не дозволяє зробити висновок, що векторне поле є консервативним.

Наприклад, розглянемо векторне полеF(x,y)=x2y,x33. Це поле має перехресну часткову властивість, тому природно спробувати використати перехресну часткову властивість консервативних векторних полів, щоб зробити висновок, що це векторне поле є консервативним. Однак це неправильне застосування теореми. Пізніше дізнаємося, як зробити висновок, щоF є консервативним.

Ключові концепції

  • Векторне поле призначає векторF(x,y) кожній(x,y) точціD підмножини2 або3. F(x,y,z)до кожної точки(x,y,z) вD підмножині3.
  • Векторні поля можуть описувати розподіл векторних величин, таких як сили або швидкості по області площини або простору. Вони широко використовуються в таких областях, як фізика, техніка, метеорологія, океанографія.
  • Ми можемо намалювати векторне поле, вивчивши його визначальне рівняння, щоб визначити відносні величини в різних місцях, а потім намалювавши достатньо векторів для визначення візерунка.
  • FВекторне поле називається консервативним, якщо існує скалярна функціяf така, щоf=F.

Ключові рівняння

  • Векторне поле в2
    F(x,y)=P(x,y),Q(x,y)
    або
    F(x,y)=P(x,y)ˆi+Q(x,y)ˆj
  • Векторне поле в3
    F(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)
    або
    F(x,y,z)=P(x,y,z)ˆi+Q(x,y,z)ˆj+R(x,y,z)ˆk

Глосарій

консервативне поле
векторне поле, для якого існує скалярна функціяf така, щоf=F
градієнтне поле
векторне поле,F для якого існує скалярна функціяf така, щоf=F; іншими словами, векторне поле, яке є градієнтом функції; такі векторні поля також називаються консервативними
потенційна функція
скалярна функціяf така, щоf=F
радіальне поле
векторне поле, в якому всі вектори або вказують безпосередньо в бік або безпосередньо від початку; величина будь-якого вектора залежить тільки від його відстані від початку
обертальне поле
векторне поле, в якому вектор в точці(x,y) є дотичною до кола з радіусомr=x2+y2; у обертальному полі всі вектори протікають або за годинниковою стрілкою, або проти годинникової стрілки, і величина вектора залежить тільки від його відстані від початку
блок векторне поле
векторне поле, в якому величина кожного вектора дорівнює 1
векторне поле
вимірюється в2, присвоєнняF(x,y) вектора кожній(x,y) точціD підмножини2; в3, присвоєнняF(x,y,z) вектора кожній точці(x,y,z)D підмножини3

Автори та авторства