6: Програми інтеграції
- Page ID
- 61614
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У цьому розділі ми використовуємо певні інтеграли для обчислення сили, що діє на греблю, коли водосховище заповнене, і досліджуємо, як зміна рівня води впливає на цю силу. Гідростатична сила є лише одним із багатьох застосувань певних інтегралів, які ми досліджуємо в цій главі. Від геометричних застосувань, таких як площа поверхні та об'єм, до фізичних застосувань, таких як маса та робота, до моделей росту та розпаду, певні інтеграли є потужним інструментом, який допомагає нам зрозуміти та моделювати навколишній світ.
- 6.0: Прелюдія до програм інтеграції
- Гребля Гувера - це інженерне диво. Коли озеро Мід, водосховище за дамбою, заповнене, гребля витримує велику силу. Однак рівень води в озері значно змінюється внаслідок посухи та різних потреб у воді.
- 6.1: Області між кривими
- Подібно до того, як певні інтеграли можуть бути використані для пошуку площі під кривою, вони також можуть бути використані для пошуку площі між двома кривими. Щоб знайти площу між двома кривими, визначеними функціями, інтегруйте різницю функцій. Якщо графіки функцій перетинаються, або якщо область складна, використовують абсолютне значення різниці функцій. У цьому випадку може знадобитися оцінка двох і більше інтегралів.
- 6.2: Визначення обсягів шляхом нарізки
- У цьому розділі ми використовуємо певні інтеграли для пошуку об'ємів тривимірних тіл. Розглянуто три підходи — нарізка, диски та шайби — для знаходження цих обсягів залежно від характеристик твердого тіла.
- 6.3: Обсяги обертання - циліндричні оболонки
- У цьому розділі ми розглянемо метод циліндричних оболонок, кінцевий метод знаходження обсягу твердого тіла обертання. Ми можемо використовувати цей метод на тих же видах твердих тіл, що і метод диска або метод шайби; однак, з методами диска та шайби ми інтегруємо вздовж осі координат паралельно осі обертання. За допомогою методу циліндричних оболонок інтегруємо по осі координат перпендикулярно осі обертання.
- 6.4: Довжина дуги кривої та площа поверхні
- Довжину дуги кривої можна обчислити за допомогою певного інтеграла. Довжина дуги спочатку наближається за допомогою відрізків лінії, що генерує суму Рімана. Беручи межу, то дає нам певну інтегральну формулу. Цей же процес може бути застосований до функцій y. Поняття, що використовуються для обчислення довжини дуги, можуть бути узагальнені, щоб знайти площу поверхні обертання. Інтеграли, породжені як формулами довжини дуги, так і площі поверхні, часто важко оцінити.
- 6.5: Фізичні програми інтеграції
- У цьому розділі ми розглянемо деякі фізичні програми інтеграції. Кілька фізичних застосувань певного інтеграла поширені в техніці та фізиці. Певні інтеграли можуть бути використані для визначення маси об'єкта, якщо відома його функція щільності. Робота також може бути розрахована з інтеграції силової функції, або при протидії силі тяжіння, як в задачі накачування. Певні інтеграли також можуть бути використані для обчислення сили, що чиниться на об'єкт, занурений в рідину.
- 6.6: Моменти та центри мас
- У цьому розділі ми розглянемо центри мас (також звані центроїдами, при певних умовах) і моменти. Основною ідеєю центру мас є поняття точки балансування. Багато з нас бачили виконавців, які крутять пластини на кінцях палиць. Виконавці намагаються тримати кілька з них обертаються, не дозволяючи жодному з них впасти. Математично це солодке пляма називається центром маси тарілки.
- 6.7: Інтеграли, експоненціальні функції та логарифми
- Ми вже розглядали експоненціальні функції та логарифми в попередніх розділах. Однак ми розглянули деякі ключові деталі в попередніх обговореннях. Наприклад, ми не вивчали, як лікувати експоненціальні функції з експонентами, які є ірраціональними. Визначення числа е - ще одна область, де попередня розробка була дещо неповною. Тепер у нас є інструменти для вирішення цих понять більш математично суворо, і ми робимо це в цьому розділі.
- 6.8: Експоненціальне зростання та занепад
- Одне з найбільш поширених застосувань експоненціальних функцій включає моделі зростання та розпаду. Експоненціальний ріст і розпад проявляються у безлічі природних застосувань. Від зростання населення і постійно посилюється інтерес до радіоактивного розпаду і закону Ньютона охолодження, експоненціальні функції є повсюдно в природі. У цьому розділі ми розглядаємо експоненціальне зростання та занепад у контексті деяких із цих застосувань.
- 6.9: Обчислення гіперболічних функцій
- Ми познайомилися з гіперболічними функціями у Введенні до функцій та графіків, а також деякі їх основні властивості. У цьому розділі ми розглянемо формули диференціації та інтеграції гіперболічних функцій та їх обернень.
Мініатюра: область між двома функціями.