6.2: Визначення обсягів шляхом нарізки
- Визначте обсяг твердого тіла шляхом інтеграції поперечного перерізу (метод нарізки).
- Знайти обсяг твердого тіла обертання за допомогою дискового методу.
- Знайти обсяг твердого тіла обертання з порожниною за допомогою методу шайби.
У попередньому розділі ми використовували певні інтеграли, щоб знайти площу між двома кривими. У цьому розділі ми використовуємо певні інтеграли для пошуку об'ємів тривимірних тіл. Розглянуто три підходи — нарізка, диски та шайби — для знаходження цих обсягів залежно від характеристик твердого тіла.
Обсяг і спосіб нарізки
Подібно до того, як площа є числовою мірою двовимірної області, об'єм є числовою мірою тривимірного твердого тіла. Більшість з нас обчислили обсяги твердих тіл за допомогою основних геометричних формул. Обсяг прямокутного твердого тіла, наприклад, можна обчислити шляхом множення довжини, ширини та висоти:V=lwh. Формули для обсягів:
- сфера
Vsphere=43πr3,
- конус
Vcone=13πr2h
- і піраміда
Vpyramid=13Ah
також були введені. Хоча деякі з цих формул були отримані лише за допомогою геометрії, всі ці формули можна отримати за допомогою інтеграції.
Ми також можемо обчислити обсяг циліндра. Хоча більшість з нас думає про циліндр як про круглу основу, таку як банка для супу або металевий стрижень, в математиці слово циліндр має більш загальне значення. Щоб обговорити циліндри в цьому більш загальному контексті, нам спочатку потрібно визначити певний словниковий запас.
Визначимо перетин твердого тіла, щоб бути перетином площини з твердим тілом. Циліндр визначається як будь-яке тверде тіло, яке може бути утворено шляхом перекладу площини області вздовж лінії, перпендикулярної області, яка називається віссю циліндра. Таким чином, всі поперечні перерізи, перпендикулярні осі циліндра, ідентичні. Тверде тіло, показане на малюнку,6.2.1 є прикладом циліндра з некруглим підставою. Щоб обчислити обсяг циліндра, ми просто множимо площу поперечного перерізу на висоту циліндра:V=A⋅h. У випадку правого круглого циліндра (супова банка) це стаєV=πr2h.

Якщо тверде тіло не має постійного перетину (і воно не є одним з інших основних твердих тіл), у нас може не бути формули його обсягу. У цьому випадку ми можемо використовувати певний інтеграл для обчислення обсягу твердого тіла. Ми робимо це, розрізаючи тверду речовину на шматки, оцінюючи обсяг кожного скибочки, а потім додаючи ці розрахункові обсяги разом. Зрізи все повинні бути паралельні один одному, і коли ми складемо всі скибочки разом, у нас повинна вийти ціла суцільна. Розглянемо, наприклад, тверде тіло S, показане на малюнку6.2.2, що проходить уздовжx -осі.

Ми хочемоS розділити на зрізи перпендикулярно x-осі. Як ми бачимо пізніше в розділі, можуть бути випадки, коли ми хочемо розрізати тверде тіло в якомусь іншому напрямку - скажімо, з фрагментами, перпендикулярними доy осі. Рішення того, яким способом нарізати тверду речовину, дуже важливо. Якщо ми зробимо неправильний вибір, обчислення можуть стати досить безладними. Пізніше в розділі ми детально розглянемо деякі з цих ситуацій і розглянемо, як вирішити, яким способом нарізати тверде тіло. Однак для цілей цього розділу ми використовуємо фрагменти, перпендикулярніx -осі.
Оскільки площа поперечного перерізу не є постійною, ми дозволяємоA(x) представляти площу поперечного перерізу в точці х, Тепер нехайP=x0,x1…,Xn буде регулярний розділ[a,b], і дляi=1,2,…n, нехайSi представляють зрізS розтягування відxi−1 доxi. На наступному малюнку показана нарізана суцільна сn=3.

Нарешті, дляi=1,2,…n, нехайx∗i буде довільна точка в[xi−1,xi]. Тоді обсяг зрізуSi можна оцінити поV(Si)≈A(x∗i)Δx. Склавши ці наближення разом, ми бачимо, що обсяг всього твердого тілаS може бути наближений
V(S)≈n∑i=1A(x∗i)Δx.
На даний момент ми можемо визнати це як суму Рімана, і наш наступний крок - взяти межу, якn→∞. Тоді ми маємо
V(S)=limn→∞n∑i=1A(x∗i)Δx=∫baA(x)dx.
Техніка, яку ми щойно описали, називається методом нарізки. Для його застосування ми використовуємо наступну стратегію.
- Огляньте тверде тіло і визначте форму поперечного перерізу твердого тіла. Часто корисно намалювати малюнок, якщо такий не передбачено.
- Визначаємо формулу площі перетину.
- Інтегруйте формулу площі протягом відповідного інтервалу, щоб отримати гучність.
Нагадаємо, що в цьому розділі ми припускаємо, що зрізи розташовуються перпендикулярноx -осі. Тому формула площі знаходиться через x, а межі інтеграції лежать на x-осі. Однак наведена тут стратегія вирішення проблем дійсна незалежно від того, як ми вирішимо розрізати тверде тіло.
З геометрії ми знаємо, що формула об'єму піраміди єV=13Ah. Якщо піраміда має квадратну основуV=13a2h, то це стає, де a позначає довжину однієї сторони підстави. Ми будемо використовувати метод нарізки, щоб отримати цю формулу.
Рішення
Ми хочемо застосувати метод нарізки до піраміди з квадратною основою. Щоб встановити інтеграл, розглянемо піраміду, зображену на малюнку6.2.4, орієнтовану вздовж x-осі.

Спочатку хочемо визначити форму поперечного перерізу піраміди. Ми знаємо, що основа - квадрат, тому поперечні перерізи також квадрати (крок 1). Тепер ми хочемо визначити формулу площі одного з цих квадратів поперечного перерізу. Дивлячись на рисунок6.2.4 (b) і використовуючи пропорцію, оскільки це схожі трикутники, ми маємо
sa=xh
або
s=axh.
Тому площа одного з квадратів поперечного перерізу дорівнює
A(x)=s2=(axh)2(step 2)
Потім знаходимо обсяг піраміди шляхом інтеграції від0 доh (крок 3):
V=∫h0A(x)dx=∫h0(axh)2dx=a2h2∫h0x2dx=[a2h2(13x3)]|h0=13a2h.
Це формула, яку ми шукали.
Скористайтеся методом нарізки, щоб вивестиV=13πr2h
- Підказка
-
Використовуйте подібні трикутники, як у прикладі6.2.1.
Тверді тіла революції
Якщо область в площині обертається навколо лінії в цій площині, отримане тверде тіло називається твердим тілом обертання, як показано на наступному малюнку.

Тверді тіла обертання поширені в механічних додатках, таких як деталі машин, виготовлені токарним верстатом. Іншу частину цього розділу ми проводимо, дивлячись на тверді речовини цього типу. У наступному прикладі використовується метод нарізки для обчислення обсягу твердого тіла обертання.
Використовуйте метод нарізки, щоб знайти об'єм твердого тіла обертанняf(x)=x2−4x+5,x=1, обмеженого графікамиx=4, і поверненого навколоx -осі.
Рішення
Використовуючи стратегію розв'язання задач, ми спочатку намалюємо графік квадратичної функції через інтервал,[1,4] як показано на наступному малюнку.

Далі обертаємо область навколоx -осі, як показано на наступному малюнку.

Оскільки тверде тіло утворилося обертанням області навколоx -осі, то поперечні перерізи є колами (крок 1). Площа перерізу, значить, - площа кола, а радіус кола задається заf(x). допомогою формули площі кола:
A(x)=πr2=π[f(x)]2=π(x2−4x+5)2(step 2).
Тоді обсяг дорівнює (крок 3)
V=∫baA(x)dx=∫41π(x2−4x+5)2dx=π∫41(x4−8x3+26x2−40x+25)dx=π(x55−2x4+26x33−20x2+25x)|41=785π
Обсяг становить78π/5units3.
Використовують метод нарізки, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області між графіком функціїf(x)=1/x іx -віссю над інтервалом[1,2] навколоx -осі. Дивіться наступний малюнок.
- Підказка
-
Використовуйте стратегію вирішення проблем, представлену раніше, і дотримуйтесь Прикладу6.2.2, щоб допомогти з кроком 2.
- Відповідь
-
π2units3
Дисковий метод
Коли ми використовуємо метод нарізки з твердими частинами обертання, його часто називають дисковим методом, оскільки для твердих тіл обертання зрізи, які використовуються для перевищення обсягу твердого тіла, є дисками. Щоб побачити це, розглянемо тверде тіло обертання, породжене обертанням області між графіком функціїf(x)=(x−1)2+1 та x-віссю над інтервалом[−1,3] навколоx -осі. Графік функції і представницького диска наведені на малюнку6.2.8 (а) і (б). Область обертання і отримане тверде тіло показані на малюнку6.2.8 (в) і (г).

Рисунок6.2.8: (e) Динамічна версія цього твердого тіла обертання, сформована за допомогою CalcPlot3D.
Ми вже використовували формальну розробку суми Рімана формули об'єму при розробці методу нарізки. Ми знаємо, що∫baA(x)dx.
Єдина відмінність від дискового методу полягає в тому, що ми знаємо формулу площі поперечного перерізу завчасно; це площа кола. Це дає наступне правило.
f(x)Дозволяти бути безперервним і невід'ємним. ВизначтеR як область, обмежену вище графікомf(x), нижчеx - віссю, зліва від лініїx=a, а праворуч - лінієюx=b. Потім обсяг твердого тіла обертання, утвореного обертаннямR навколоx -осі, задається
V=∫baπ[f(x)]2dx.
Обсяг досліджуваного нами твердого тіла (рис.6.2.8) задається
\ [\ почати {вирівнювати*} V &=^b_aπ\ ліворуч [f (x)\ праворуч] ^2\, dx\\
&=^3_ {−1} π\ великий [(x−1) ^2+1\ великий] ^2\, dx=π^3_ {−1}\ великий [(x−1) ^4+2 (x−1) ^2+1 великий] ^2\, дх\\
&= π\ ліворуч. \ Великий [\ розрив {1} {5} (x−1) ^5+\ розрив {2} {3} (x−1) ^3+x\ Великий]\ праворуч |^3_ {−1}\\
&= π\ ліворуч [\ frac {32} {5} +\ frac {16} {3} +3\ праворуч) −\ ліворуч (\\ frac {32} {5} −\ розрив {16} {3} −1\ праворуч)\\
&=\ frac {412π} {15}\,\ text {одиниці} ^3. \ end {вирівнювати*}\]
Давайте розглянемо кілька прикладів.
Використовуйте метод диска, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, що генерується обертанням області між графікомf(x)=√x іx -віссю через інтервал[1,4] навколоx -осі.
Рішення
Графіки функції і твердого тіла обертання показані на наступному малюнку.

У нас є
\ [\ почати {вирівнювати*} V & = ^b_Aπ\ великий [f (x)\ великий] ^2\, дх\\
&= ^4_1π\ ліворуч [\ sqrt {x}\ праворуч] ^2\, dx = π^4_1x\, dx\\
&=\ dfrac {π} {2} x^2\ big|^4_1x\ =\ dfrac {15π} {2}\ кінець {вирівнювати*}\]
Обсяг становить(15π)/2units3.
Використовуйте метод диска, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, що генерується обертанням області між графікомf(x)=√4−x іx -віссю через інтервал[0,4] навколоx -осі.
- Підказка
-
Скористайтеся процедурою з Прикладу6.2.3.
- Відповідь
-
8πunits3
Поки що в наших прикладах всі зацікавлені області обертаються навколоx -осі, але ми можемо генерувати тверду силу обертання, обертаючи площину області навколо будь-якої горизонтальної або вертикальної лінії. У наступному прикладі ми розглянемо тверду речовину обертання, яка була породжена обертанням області навколоy -осі. Механіка методу диска майже така ж, як колиx -вісь є віссю обертання, але ми виражаємо функцію з точки зоруy і інтегруємо відносно y, а також. Це резюмується в наступному правилі.
g(y)Дозволяти бути безперервним і невід'ємним. ВизначтеQ як область, обмежену праворуч графікомg(y), ліворучy - віссю, нижче лінієюy=c і вище лінієюy=d. Потім обсяг твердого тіла обертання, утвореного обертаннямQ навколоy -осі, задається
V=∫dcπ[g(y)]2dy.
Наступний приклад показує, як це правило працює на практиці.
RДозволяти область обмежена графікомg(y)=√4−y іy -вісь над інтерваломy -осі[0,4]. Використовуйте метод диска, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, що генеруєтьсяR обертанням навколоy -осі.
Рішення
6.2.10На малюнку показана функція і представницький диск, який можна використовувати для оцінки обсягу. Зверніть увагу, що оскільки ми обертаємо функцію навколоy -осі, диски горизонтальні, а не вертикальні.

Регіон, який слід обертати, і повна тверда революція зображені на наступному малюнку.

Щоб знайти обсяг, ми інтегруємо по відношенню доy. Отримуємо
V=∫dcπ[g(y)]2dy=∫40π[√4−y]2dy=π∫40(4−y)dy=π[4y−y22]|40=8π.
Обсяг є8πunits3.
Використовуйте метод диска, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, що генерується обертанням області між графікомg(y)=y іy -віссю через інтервал[1,4] навколоy -осі.
- Підказка
-
Скористайтеся процедурою з Прикладу6.2.4.
- Відповідь
-
21πunits3
Метод шайби
Деякі тверді тіла обертання мають порожнини посередині; вони не є твердими аж до осі обертання. Іноді це лише результат того, як область обертання формується щодо осі обертання. В інших випадках порожнини виникають, коли область обертання визначається як область між графіками двох функцій. Третім способом це може статися, коли вибирається вісь обертання, відмінна від x-осі або y-осі.
Коли тверде тіло обертання має порожнину посередині, зрізи, використовувані для наближення обсягу, - це не диски, а шайби (диски з отворами в центрі). Наприклад, розглянемо область, обмежену вище графіком функції,f(x)=√x а нижче - графіком функціїg(x)=1 за інтервалом[1,4]. Коли ця область обертається навколоx -осі, в результаті виходить тверде тіло з порожниною посередині, а зрізи - шайби. Графік функції і представницької шайби показані на малюнку6.2.12 (а) і (б). Область обертання і отримане тверде тіло показані на малюнку6.2.12 (в) і (г).

Рисунок6.2.12: (e) Динамічна версія цього твердого тіла обертання, сформована за допомогою CalcPlot3D.
Площа поперечного перерізу, значить, площа зовнішнього кола менше площі внутрішнього кола. У цьому випадку
A(x)=π(√x)2−π(1)2=π(x−1).
Тоді обсяг твердого тіла дорівнює
V=∫baA(x)dx=∫41π(x−1)dx=π[x22−x]|41=92πunits3.
Узагальнення цього процесу дає метод шайби.
Припустимо,f(x) іg(x) є безперервними, невід'ємними функціями такі, щоf(x)≥g(x) над[a,b]. НехайR позначимо область, обмежену вище графікомf(x), нижче на графікуg(x), зліва по лініїx=a, а праворуч лінієюx=b. Потім обсяг твердого тіла обертання, утвореного обертаннямR навколоx -осі, задається
V=∫baπ[(f(x))2−(g(x))2]dx.
Знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області, обмеженої вище графікомf(x)=x і нижче графікомg(x)=1/x над інтервалом[1,4] навколоx -осі.
Рішення
Графіки функцій і твердого тіла обертання показані на наступному малюнку.

У нас є
\ [\ begin {align*} V &=^b_aπ\ великий [(f (x)) ^2− (g (x)) ^2\ великий]\, dx=π^4_1\ лівий [x^2−\ лівий (\ frac {1} {x}\ праворуч) ^2\ праворуч]\, dx\\
&= π\ ліворуч. \ ліворуч [\ розрив {x^3} {3} +\ розрив {1} {x}\ праворуч]\ праворуч | ^4_1\
&=\ dfrac {81π} {4}\,\ текст {одиниці} ^3. \ end {вирівнювати*}\]

Рисунок6.2.13: (c) Динамічна версія цього твердого тіла обертання, сформована за допомогою CalcPlot3D.
Знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області, обмеженої графікамиf(x)=√x іg(x)=1/x над інтервалом[1,3] навколо x-осі.
- Підказка
-
Графік функцій, щоб визначити, який графік утворює верхню межу, а який графік утворює нижню межу, потім скористайтеся процедурою з Прикладу6.2.5.
- Відповідь
-
10π3units3
Як і у випадку з дисковим методом, ми також можемо застосувати метод шайби до твердих тіл обертання, які виникають внаслідок обертання області навколоy осі. В даному випадку діє наступне правило.
Припустимоu(y) іv(y) є безперервними, невід'ємними функціями такі, щоv(y)≤u(y) дляy∈[c,d]. НехайQ позначають область, обмежену праворуч графікомu(y), зліва на графікуv(y), нижче по лініїy=c, а вище по лініїy=d. Потім обсяг твердого тіла обертання, утвореного обертаннямQ навколоy -осі, задається
V=∫dcπ[(u(y))2−(v(y))2]dy.
Замість того, щоб дивитися на приклад методу шайби зy -віссю як віссю обертання, ми зараз розглянемо приклад, в якому вісь обертання є лінією, відмінною від однієї з двох координатних осей. Застосовується той же загальний метод, але вам, можливо, доведеться візуалізувати, як описати площу поперечного перерізу обсягу.
Знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області, обмеженої вищеf(x)=4−x і нижчеx -віссю через інтервал[0,4] навколо прямоїy=−2.
Рішення
Графік області і твердого тіла обертання показані на наступному малюнку.

Ми не можемо застосувати формулу об'єму до цієї задачі безпосередньо, оскільки вісь обертання не є однією з координатних осей. Однак ми ще знаємо, що площа поперечного перерізу - це площа зовнішнього кола менше площі внутрішнього кола. Дивлячись на графік функції, ми бачимо радіус зовнішнього кола, за допомогоюf(x)+2, якого спрощує
f(x)+2=(4−x)+2=6−x.
Радіус внутрішнього колаg(x)=2. Таким чином, ми маємо
\ [\ почати {вирівнювати*} V &=^4_0π\ ліворуч [(6−x) ^2− (2) ^2\ праворуч]\, dx\\
&= π^4_0 (x^2−12x+32)\, dx=π\ ліворуч. \ ліворуч [\ розрив {x^3} {3} −6x^2+32x\ праворуч]\ праворуч | ^4_0\
&=\ dfrac {160π} {3}\,\ текст {одиниці} ^3. \ end {вирівнювати*}\]
Рисунок6.2.14: (c) Динамічна версія цього твердого тіла обертання, сформована за допомогою CalcPlot3D.
Знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області, обмеженої вище графікомf(x)=x+2 і нижчеx -віссю через інтервал[0,3] навколо прямоїy=−1.
- Підказка
-
Скористайтеся процедурою з Прикладу6.2.6.
- Відповідь
-
60πодиниць 3
Ключові концепції
- Певні інтеграли можуть бути використані для знаходження об'ємів твердих тіл. Використовуючи метод нарізки, ми можемо знайти обсяг, інтегруючи площу поперечного перерізу.
- Для твердих тіл обертання об'ємні зрізи часто є дисками, а поперечні перерізи - кола. Метод дисків передбачає застосування методу нарізки в конкретному випадку, в якому перетинами є кола, і використання формули для площі кола.
- Якщо тверда речовина обертання має порожнину в центрі, об'ємні зрізи є шайбами. При методі шайб площа внутрішнього кола віднімається з площі зовнішнього кола перед інтеграцією.
Ключові рівняння
- Дисковий метод вздовжx -осі
V=∫baπ[f(x)]2dx
- Дисковий метод вздовжy -осі
V=∫dcπ[g(y)]2dy
- Метод шайби
V=∫baπ[(f(x))2−(g(x))2]dx
Глосарій
- поперечний переріз
- перетин площини і твердого об'єкта
- диск метод
- окремий випадок методу нарізки, що використовується з твердими частинами обертання, коли зрізи є дисками
- спосіб нарізки
- метод розрахунку обсягу твердого тіла, який включає в себе різання твердого тіла на шматки, оцінюючи обсяг кожного шматка, потім додавання цих оцінок, щоб прийти до оцінки загального обсягу; як кількість скибочок йде до нескінченності, ця оцінка стає інтегралом, який дає точне значення обсяг
- тверда революція
- тверде тіло, що генерується обертається область в площині навколо лінії в цій площині
- метод шайби
- окремий випадок методу нарізки, що використовується з твердими частинами обертання, коли зрізи є шайбами