6.1: Області між кривими

Цілі навчання

• Визначте площу області між двома кривими шляхом інтеграції щодо незалежної змінної.
• Знайдіть площу складеної області.
• Визначте площу області між двома кривими шляхом інтеграції щодо залежної змінної.

У Вступі до інтеграції ми розробили концепцію певного інтеграла для обчислення площі під кривою на заданому інтервалі. У цьому розділі ми розширюємо цю ідею, щоб обчислити площу більш складних регіонів. Ми почнемо з пошуку області між двома кривими, які є функціями$\displaystyle x$, починаючи з простого випадку, в якому значення однієї функції завжди більше іншого. Потім ми розглянемо випадки, коли графіки функцій перетинаються. В останню чергу ми розглянемо, як обчислити площу між двома кривими, які є функціями$\displaystyle y$.

Площа області між двома кривими

$\displaystyle f(x)$$\displaystyle g(x)$Дозволяти і бути безперервні функції протягом інтервалу$\displaystyle [a,b]$ такі, що$\displaystyle f(x)≥g(x)$ на$\displaystyle [a,b]$. Ми хочемо знайти площу між графіками функцій, як показано на малюнку$\PageIndex{1}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Площа між графами двох функцій,$\displaystyle f(x)$ і$\displaystyle g(x)$, на інтервалі$\displaystyle [a,b]$

Як ми робили раніше, ми збираємося розділити інтервал на осі х і наблизити площу між графіками функцій прямокутниками. Отже, для$\displaystyle i=0,1,2,…,n$, нехай$\displaystyle P={x_i}$ буде звичайна перегородка$\displaystyle [a,b]$. Потім, для$\displaystyle i=1,2,…,n,$ вибираємо точку$\displaystyle x^∗_i∈[x_{i−1},x_i]$, і на кожному інтервалі$\displaystyle [x_{i−1},x_i]$ будуємо прямокутник, який простягається вертикально від$\displaystyle g(x^∗_i)$ до$\displaystyle f(x^∗_i)$. $\PageIndex{2a}$На малюнку показані прямокутники, коли$\displaystyle x^∗_i$ вибрано ліву кінцеву точку інтервалу і$\displaystyle n=10$. $\PageIndex{2b}$На малюнку детально зображений представницький прямокутник.

Малюнок$\PageIndex{2}$: (а) Ми можемо наблизити площу між графіками двох функцій,$\displaystyle f(x)$ причому$\displaystyle g(x)$, з прямокутниками. (b) Площа типового прямокутника переходить від однієї кривої до іншої.

Висота кожного окремого прямокутника дорівнює$\displaystyle f(x^∗_i)−g(x^∗_i)$ і ширина кожного прямокутника дорівнює$\displaystyle Δx$. Складаючи області всіх прямокутників, ми бачимо, що площа між кривими наближена

$$\displaystyle A≈\sum_{i=1}^n[f(x^∗_i)−g(x^∗_i)]Δx. \nonumber$$

Це сума Рімана, тому ми беремо ліміт як$\displaystyle n→∞$ і отримуємо

$$\displaystyle A=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n[f(x^∗_i)−g(x^∗_i)]Δx=\int ^b_a[f(x)−g(x)]dx. \nonumber$$

Ці висновки узагальнені в наступній теоремі.

Пошук області між двома кривими

$\displaystyle f(x)$$\displaystyle g(x)$Дозволяти і бути безперервні функції такі, що$\displaystyle f(x)≥g(x)$ протягом інтервалу [$\displaystyle a,b]$. Нехай R позначають область, обмежену вище графіком$\displaystyle f(x)$, нижче графіком$\displaystyle g(x)$, а зліва і справа лініями$\displaystyle x=a$ і$\displaystyle x=b$, відповідно. Потім площа$\textbf{R}$ задається

$$A=\int ^b_a[f(x)−g(x)]dx. \nonumber$$

Ми застосуємо цю теорему в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding the Area of a Region between Two Curves I

Якщо$\textbf{R}$ область обмежена вище графіком функції$\displaystyle f(x)=x+4$ і нижче графіком функції$\displaystyle g(x)=3−\dfrac{x}{2}$ за інтервалом$\displaystyle [1,4]$, знайдіть площу області$\textbf{R}$.

Рішення

Регіон зображений на наступному малюнку.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Показується область між двома кривими, де одна крива завжди більша за іншу.

У нас є

$$\begin{align*} A =\int ^b_a[f(x)−g(x)]\,dx \\[4pt] =\int ^4_1[(x+4)−(3−\dfrac{x}{2})]\,dx=\int ^4_1\left[\dfrac{3x}{2}+1\right]\,dx \\[4pt] =[\dfrac{3x^2}{4}+x]\bigg|^4_1=(16−\dfrac{7}{4})=\dfrac{57}{4}. \end{align*}$$

Площа області - це$\displaystyle \dfrac{57}{4}units^2$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Якщо$\textbf{R}$ область обмежена графіками функцій$\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{2}+5$ і$\displaystyle g(x)=x+\dfrac{1}{2}$ над інтервалом$\displaystyle [1,5]$, знайдіть площу області$\textbf{R}$.

Підказка

Графік функцій, щоб визначити графік якої функції утворює верхню межу, а яка утворює нижню межу, а потім виконайте процес, який використовується в Прикладі.

Відповідь

$\displaystyle 12$одиниць ²

У прикладі$\PageIndex{1}$ ми визначили інтервал інтересу як частину постановки задачі. Досить часто, однак, ми хочемо визначити наш інтервал інтересу на основі того, де графіки двох функцій перетинаються. Це проілюстровано на наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding the Area of a Region between Two Curves II

Якщо$\textbf{R}$ область обмежена вище графіком функції$\displaystyle f(x)=9−(x/2)^2$ і нижче графіком функції$\displaystyle g(x)=6−x$, знайдіть область області$\textbf{R}$.

Рішення

Регіон зображений на наступному малюнку.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Цей графік показує область під графіком$\displaystyle f(x)$ і вище графіка$\displaystyle g(x).$

Спочатку потрібно обчислити, де перетинаються графіки функцій. Налаштування$\displaystyle f(x)=g(x),$ отримуємо

$$\begin{align*} \displaystyle f(x) =g(x) \\[4pt] 9−(\dfrac{x}{2})^2 =6−x\\[4pt] 9−\dfrac{x^2}{4} =6−x\\[4pt] 36−x^2 =24−4x\\[4pt] x^2−4x−12 =0\\[4pt] (x−6)(x+2) =0. \end{align*}$$

Графіки функцій перетинаються, коли$\displaystyle x=6$ або близько$\displaystyle x=−2,$ того ми хочемо інтегрувати від$\displaystyle −2$ до$\displaystyle 6$. Так як$\displaystyle f(x)≥g(x)$ за$\displaystyle −2≤x≤6,$ ми отримуємо

$$\begin{align*} \displaystyle A =\int ^b_a[f(x)−g(x)]\,dx \\ =\int ^6_{−2} \left[9−(\dfrac{x}{2})^2−(6−x)\right]\,dx \\ =\int ^6_{−2}\left[3−\dfrac{x^2}{4}+x\right]\,dx \\ = \left. \left[3x−\dfrac{x^3}{12}+\dfrac{x^2}{2}\right] \right|^6_{−2}=\dfrac{64}{3}. \end{align*}$$

Площа області -$\displaystyle 64/3$ одиниці ².

Вправа$\PageIndex{2}$

Якщо$\textbf{R}$ область обмежена вище графіком функції$\displaystyle f(x)=x$ і нижче графіком функції$\displaystyle g(x)=x^4$, знайдіть область області$\textbf{R}$.

Підказка

Скористайтеся процесом з Прикладу$\PageIndex{2}$.

Відповідь

$\displaystyle \dfrac{3}{10}$блок ²

Області складних регіонів

Поки що ми вимагали$\displaystyle f(x)≥g(x)$ протягом усього інтервалу інтересу, але що робити, якщо ми хочемо подивитися на регіони, обмежені графіками функцій, які перетинають один одного? У цьому випадку ми модифікуємо процес, який ми тільки що розробили, використовуючи функцію абсолютного значення.

Пошук площі області між кривими, що перетинаються

$\displaystyle g(x)$Дозволяти$\displaystyle f(x)$ і бути безперервними функціями протягом інтервалу$\displaystyle [a,b]$. Нехай$\textbf{R}$ позначають область між графами$\displaystyle f(x)$ і$\displaystyle g(x)$, і бути обмежені зліва і справа лініями$\displaystyle x=a$ і$\displaystyle x=b$, відповідно. Потім площа$\textbf{R}$ задається

$$A=\int ^b_a|f(x)−g(x)|dx. \nonumber$$

На практиці застосування цієї теореми вимагає від нас розбити інтервал$\displaystyle [a,b]$ і оцінити кілька інтегралів, в залежності від того, яке з значень функції більше за задану частину інтервалу. Вивчаємо цей процес на наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{3}$: Finding the Area of a Region Bounded by Functions That Cross

Якщо$\textbf{R}$ область між графіками функцій$\displaystyle f(x)=\sin x$ і$\displaystyle g(x)=\cos x$ над інтервалом$\displaystyle [0,π]$, знайдіть площу області$\textbf{R}$.

Рішення

Регіон зображений на наступному малюнку.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Область між двома кривими може бути розбита на дві субобласті.

Графіки функцій перетинаються в$\displaystyle x=π/4$. Для$\displaystyle x∈[0,π/4], \cos x≥\sin x ,$ так

$\displaystyle |f(x)−g(x)|=|\sin x −\cos x|=\cos x−\sin x .$

З іншого боку, для$\displaystyle x∈[π/4,π], \sin x ≥\cos x,$ так

$\displaystyle |f(x)−g(x)|=|\sin x −\cos x|=\sin x −\cos x.$

Тоді

$$\begin{align*} A =\int ^b_a|f(x)−g(x)|dx \\[4pt] =\int ^π_0|\sin x −\cos x|dx=\int ^{π/4}_0(\cos x−\sin x )dx+\int ^{π}_{π/4}(\sin x −\cos x)dx \\[4pt] =[\sin x +\cos x]|^{π/4}_0+[−\cos x−\sin x ]|^π_{π/4} \\[4pt] =(\sqrt{2}−1)+(1+\sqrt{2})=2\sqrt{2}. \end{align*}$$

Площа області -$\displaystyle 2\sqrt{2}$ одиниці ^₂.

Вправа$\PageIndex{3}$

Якщо$\textbf{R}$ область між графіками функцій$\displaystyle f(x)=\sin x$ і$\displaystyle g(x)=\cos x$ над інтервалом$\displaystyle [π/2,2π]$, знайдіть площу області$\textbf{R}$.

Підказка

Дві криві перетинаються на$\displaystyle x=(5π)/4.$

Відповідь

$\displaystyle 2+2\sqrt{2}$одиниць ²

Приклад$\PageIndex{4}$: Finding the Area of a Complex Region

Розглянемо область, зображену на малюнку$\PageIndex{6}$. Знайдіть площу$\textbf{R}$.

Малюнок$\PageIndex{6}$: Для обчислення площі цієї області потрібні два інтеграла.

Рішення

Як і в прикладі$\PageIndex{3}$, нам потрібно розділити інтервал на дві частини. Графіки функцій перетинаються в$\displaystyle x=1$ (set$\displaystyle f(x)=g(x)$ і вирішують для x), тому ми оцінюємо два окремих інтеграла: один через інтервал$\displaystyle [0,1]$ і один через інтервал$\displaystyle [1,2]$.

Протягом інтервалу$\displaystyle [0,1]$ область обмежена вище$\displaystyle f(x)=x^2$ і нижче по осі х, тому ми маємо

$\displaystyle A_1=\int ^1_0x^2dx=\dfrac{x^3}{3}∣^1_0=\dfrac{1}{3}.$

Протягом інтервалу$\displaystyle [1,2],$ область обмежена вище$\displaystyle g(x)=2−x$ і нижче по осі х, тому ми маємо

$\displaystyle A_2=\int ^2_1(2−x)dx=[2x−\dfrac{x^2}{2}]∣^2_1=\dfrac{1}{2}.$

Склавши ці області воєдино, отримуємо

$\displaystyle A=A_1+A_2=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}.$

Площа області -$\displaystyle 5/6$ одиниці ^2.

Вправа$\PageIndex{4}$

Розглянемо регіон, зображений на наступному малюнку. Знайдіть площу$\textbf{R}$.

Підказка

Дві криві перетинаються на x = 1

Відповідь

$\displaystyle \dfrac{5}{3}$одиниць ²

Регіони, визначені стосовно y

У$\PageIndex{4}$ прикладі нам довелося оцінити два окремих інтеграла, щоб обчислити площу області. Однак є й інший підхід, який вимагає тільки одного інтеграла. Що робити, якщо ми розглядаємо криві як функції$\displaystyle y$, а не як функції$\displaystyle x$? Рецензія Малюнок. Зверніть увагу, що лівий графік, показаний червоним кольором, представлений функцією$\displaystyle y=f(x)=x^2$. Ми могли б так само легко вирішити це для х і представляти криву за допомогою функції$\displaystyle x=v(y)=\sqrt{y}$. ($\displaystyle x=−\sqrt{y}$Зауважте, що також є дійсним представленням функції$\displaystyle y=f(x)=x^2$ як функції$\displaystyle y$. Однак, виходячи з графіка, зрозуміло, що нас цікавить позитивний квадратний корінь.) Аналогічно, правий графік представлений функцією$\displaystyle y=g(x)=2−x$, але може так само легко бути представлений функцією$\displaystyle x=u(y)=2−y$. Коли графіки представлені у вигляді функцій$\displaystyle y$, ми бачимо, що область обмежена зліва графіком однієї функції, а праворуч - графіком іншої функції. Тому, якщо ми інтегруємо стосовно$\displaystyle y$, нам потрібно оцінити лише один інтеграл. Давайте розробимо формулу такого типу інтеграції.

$\displaystyle v(y)$Дозволяти$\displaystyle u(y)$ і бути безперервними функціями протягом інтервалу$\displaystyle [c,d]$ такий, що$\displaystyle u(y)≥v(y)$ для всіх$\displaystyle y∈[c,d]$. Ми хочемо знайти площу між графіками функцій, як показано на малюнку$\PageIndex{7}$.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Ми можемо знайти площу між графіками двох функцій,$\displaystyle u(y)$ і$\displaystyle v(y)$.

Цього разу ми збираємося розділити інтервал на осі y і використовувати горизонтальні прямокутники для наближення площі між функціями. Отже, для$\displaystyle i=0,1,2,…,n$, нехай$\displaystyle Q={y_i}$ буде звичайна перегородка$\displaystyle [c,d]$. Потім, для$\displaystyle i=1,2,…,n$, вибрати точку$\displaystyle y^∗_i∈[y_{i−1},y_i]$, потім на кожному інтервалі$\displaystyle [y_{i−1},y_i]$ побудувати прямокутник, який простягається горизонтально від$\displaystyle v(y^0∗_i)$ до$\displaystyle u(y^∗_i)$. $\PageIndex{8a}$На малюнку показані прямокутники, коли$\displaystyle y^∗_i$ вибрано нижню кінцеву точку інтервалу і$\displaystyle n=10$. $\PageIndex{8b}$На малюнку детально зображений представницький прямокутник.

Рисунок$\PageIndex{8}$: (а) Апроксимація площі між графами двох функцій,$\displaystyle u(y)$ і$\displaystyle v(y)$, з прямокутниками. (b) Площа типового прямокутника.

Висота кожного окремого прямокутника дорівнює$\displaystyle Δy$ і ширина кожного прямокутника дорівнює$\displaystyle u(y^∗_i)−v(y^∗_i)$. Тому площа між кривими приблизно

$$A≈\sum_{i=1}^n[u(y^∗_i)−v(y^∗_i)]Δy . \nonumber$$

Це сума Рімана, тому ми приймаємо ліміт як$\displaystyle n→∞,$ отримання

$$\begin{align*} A =\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n[u(y^∗_i)−v(y^∗_i)]Δy \\[4pt] =\int ^d_c[u(y)−v(y)]dy. \end{align*}$$

Ці висновки узагальнені в наступній теоремі.

Пошук площі між двома кривими, інтеграція вздовж осі y

Нехай$\displaystyle u(y)$ і$\displaystyle v(y)$ будуть безперервні функції такі, що$\displaystyle u(y)≥v(y)$ для всіх$\displaystyle y∈[c,d]$. Нехай$\textbf{R}$ позначають область, обмежену праворуч графіком$\displaystyle u(y)$, зліва - графіком$\displaystyle v(y)$, а вище і нижче лініями$\displaystyle y=d$ і$\displaystyle y=c$, відповідно. Потім площа$\textbf{R}$ задається

$$A=\int ^d_c[u(y)−v(y)]dy. \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{5}$: Integrating with Respect to y

Давайте повернемося до Приклад$\PageIndex{4}$, тільки цього разу давайте інтегруватися по відношенню до$\displaystyle y$. $\textbf{R}$Дозволяти область, зображена на малюнку$\PageIndex{9}$. Знайти область$\textbf{R}$ шляхом інтеграції по відношенню до$\displaystyle y$.

Малюнок$\PageIndex{9}$: Площа області$\textbf{R}$ може бути обчислена за допомогою одного інтеграла, тільки коли криві розглядаються як функції$\displaystyle y$.

Рішення

Ми повинні спочатку висловити графіки як функції$\displaystyle y$. Як ми бачили на початку цього розділу, крива зліва може бути представлена функцією$\displaystyle x=v(y)=\sqrt{y}$, а крива праворуч може бути представлена функцією$\displaystyle x=u(y)=2−y$.

Тепер нам належить визначити межі інтеграції. Область обмежена нижче віссю x, тому нижня межа інтеграції є$\displaystyle y=0$. Верхня межа інтеграції визначається точкою, де перетинаються два графіки, яка є точкою$\displaystyle (1,1)$, тому верхня межа інтеграції є$\displaystyle y=1$. Таким чином, ми маємо$\displaystyle [c,d]=[0,1]$.

Розрахувавши площу регіону, отримуємо

$$\begin{align*} A =\int ^d_c[u(y)−v(y)]dy \\[4pt] =\int ^1_0[(2−y)−\sqrt{y}]dy\\[4pt] =[2y−\dfrac{y^2}{2}−\dfrac{2}{3}y^{3/2}]∣^1_0\\[4pt] =\dfrac{5}{6}. \end{align*}$$

Площа області -$\displaystyle 5/6$ одиниці ².

Вправа$\PageIndex{5}$

Давайте повернемося до контрольної точки$\PageIndex{4}$, пов'язаної з Example, тільки цього разу давайте інтегруватися щодо$\displaystyle y$. $\textbf{R}$Дозволяти область, зображена на наступному малюнку. Знайти область$\textbf{R}$ шляхом інтеграції по відношенню до$\displaystyle y$.

Підказка

Дотримуйтесь процесу з попереднього прикладу.

Відповідь

$\displaystyle \dfrac{5}{3}$одиниць ²

Ключові поняття

• Подібно до того, як певні інтеграли можуть бути використані для пошуку площі під кривою, вони також можуть бути використані для пошуку площі між двома кривими.
• Щоб знайти площу між двома кривими, визначеними функціями, інтегруйте різницю функцій.
• Якщо графіки функцій перетинаються, або якщо область складна, використовують абсолютне значення різниці функцій. У цьому випадку може знадобитися оцінити два або більше інтегралів і додати результати, щоб знайти площу області.
• Іноді це може бути простіше інтегрувати стосовно y, щоб знайти область. Принципи однакові незалежно від того, яка змінна використовується як змінна інтеграції.

Ключові рівняння

• Площа між двома кривими, що інтегруються на осі x

$\displaystyle A=\int ^b_a[f(x)−g(x)]dx$

• Площа між двома кривими, що інтегруються на осі y

$\displaystyle A=\int ^d_c[u(y)−v(y)]dy$