6.7: Інтеграли, експоненціальні функції та логарифми
- Page ID
- 61667
- Запишіть визначення натурального логарифма як інтеграла.
- Розпізнати похідну натурального логарифма.
- Інтегруйте функції, що включають природну логарифмічну функцію.
- Визначте число\(e\) через інтеграл.
- Розпізнати похідну і інтеграл експоненціальної функції.
- Довести властивості логарифмів і експоненціальних функцій за допомогою інтегралів.
- Висловіть загальні логарифмічні та експоненціальні функції через натуральні логарифми та експоненціальні.
Ми вже розглядали експоненціальні функції та логарифми в попередніх розділах. Однак ми розглянули деякі ключові деталі в попередніх обговореннях. Наприклад, ми не вивчали, як лікувати експоненціальні функції з експонентами, які є ірраціональними. Визначення числа е - ще одна область, де попередня розробка була дещо неповною. Тепер у нас є інструменти для вирішення цих понять більш математично суворо, і ми робимо це в цьому розділі.
Для цілей цього розділу припустимо, що ми ще не визначили натуральний логарифм\(e\), число або будь-яку з формул інтеграції та диференціації, пов'язаних з цими функціями. До кінця розділу ми вивчимо ці поняття математично суворо (і побачимо, що вони узгоджуються з поняттями, які ми дізналися раніше). Розріз починаємо з визначення натурального логарифма через інтеграл. Це визначення і формує основу для перетину. З цього визначення ми виведемо формули диференціації, визначаємо число\(e\) і розширюємо ці поняття до логарифмів і експоненціальних функцій будь-якої бази.
Натуральний логарифм як інтеграл
Нагадаємо правило потужності для інтегралів:
\[ ∫ x^n \,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C , \quad n≠−1. \nonumber \]
Зрозуміло, що це не працює, коли\(n=−1,\) як це змусило б нас розділити на нуль. Отже, з чим ми робимо\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{x}\,dx\)? Нагадаємо з фундаментальної теореми числення, яка\(\displaystyle ∫^x_1\dfrac{1}{t}dt\) є антипохідною\(\dfrac{1}{x}.\) Тому ми можемо зробити наступне визначення.
For\(x>0\), Визначте натуральну функцію логарифму за
\[\ln x=∫^x_1\dfrac{1}{t}\,dt. \nonumber \]
Бо\(x>1\), це просто площа під кривою\(y=\dfrac{1}{t}\) від\(1\) до\(x\). Бо\(x<1\), у нас є
\[ ∫^x_1\dfrac{1}{t}\,dt=−∫^1_x\dfrac{1}{t}\,dt, \nonumber \]
тому в даному випадку це негатив області під кривою від\(x\) до\(1\) (див. Наступний малюнок).
Зауважте, що\(\ln 1=0\). Крім того, функція\(y=\dfrac{1}{t}>0\) для\(x>0\). Тому за властивостями інтегралів зрозуміло, що\(\ln x\) збільшується для\(x>0\).
Властивості натурального логарифма
Через те, як ми визначили натуральний логарифм, наступна формула диференціації випадає відразу в результаті фундаментальної теореми числення.
For\(x>0\), похідна натурального логарифма задається
\[ \dfrac{d}{dx}\Big( \ln x \Big) = \dfrac{1}{x}. \nonumber \]
\(\ln x\)Функція диференційовна; отже, вона безперервна.
Графік\(\ln x\) показаний на рис. Зверніть увагу, що він безперервний протягом усієї області\((0,∞)\).
Обчисліть такі похідні:
- \(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (5x^3−2)\Big)\)
- \(\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (3x))^2\Big)\)
Рішення
Нам потрібно застосувати правило ланцюга в обох випадках.
- \(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (5x^3−2)\Big)=\dfrac{15x^2}{5x^3−2}\)
- \(\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (3x))^2\Big)=\dfrac{2(\ln (3x))⋅3}{3x}=\dfrac{2(\ln (3x))}{x}\)
Обчисліть такі похідні:
- \(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (2x^2+x)\Big)\)
- \(\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (x^3))^2\Big)\)
- Підказка
-
Застосуйте щойно надану формулу диференціації та використовуйте правило ланцюга в міру необхідності.
- Відповідь
-
а.\(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (2x^2+x)\Big)=\dfrac{4x+1}{2x^2+x}\)
б.\(\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (x^3))^2\Big)=\dfrac{6\ln (x^3)}{x}\)
Зауважте, що якщо ми використовуємо функцію абсолютного значення і створимо нову функцію\(\ln |x|\), ми можемо розширити область натурального логарифма для включення\(x<0\). Потім\(\dfrac{d}{dx}\Big( \ln x \Big)=\dfrac{1}{x}\). Це породжує звичну формулу інтеграції.
Натуральний логарифм є антипохідним функції\(f(u)=\dfrac{1}{u}\):
\[∫\dfrac{1}{u}\,du=\ln |u|+C. \nonumber \]
Обчисліть інтеграл\(\displaystyle ∫\dfrac{x}{x^2+4}\,dx.\)
Рішення
Використовуючи\(u\) -підстановку, нехай\(u=x^2+4\). Тоді\(du=2x\,dx\) і у нас
\(\displaystyle ∫\dfrac{x}{x^2+4}\,dx=\dfrac{1}{2}∫\dfrac{1}{u}\,du=\dfrac{1}{2}\ln |u|+C=\dfrac{1}{2}\ln |x^2+4|+C=\dfrac{1}{2}\ln (x^2+4)+C.\)
Обчисліть інтеграл\(\displaystyle ∫\dfrac{x^2}{x^3+6}\,dx.\)
- Підказка
-
Застосуйте формулу інтеграції, надану раніше, та використовуйте U-підстановку у міру необхідності.
- Відповідь
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{x^2}{x^3+6}\,dx=\dfrac{1}{3}\ln ∣x^3+6∣+C\)
Хоча ми назвали нашу функцію «логарифмом», ми насправді не довели, що будь-яка з властивостей логарифмів має для цієї функції. Ми робимо це тут.
Якщо\(a,\, b>0\) і\(r\) є раціональним числом, то
- \(\ln 1=0\)
- \(\ln (ab)=\ln a+\ln b\)
- \(\ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a−\ln b\)
- \(\ln \left(a^r\right)=r\ln a\)
i. за визначенням\(\displaystyle \ln 1=∫^1_1\dfrac{1}{t}\,dt=0.\)
II. У нас є
\(\displaystyle \ln (ab)=∫^{ab}_1\dfrac{1}{t}\,dt=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^{ab}_a\dfrac{1}{t}\,dt.\)
Використовуйте\(u-substitution\) на останньому інтегралі в цьому виразі. Нехай\(u=t/a\). Тоді\(du=(1/a)dt.\) Крім того\(t=a,\, u=1\), коли і коли\(t=ab,\, u=b.\) Так ми отримуємо
\(\displaystyle \ln (ab)=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^{ab}_a\dfrac{1}{t}\,dt=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^{ab}_1\dfrac{a}{t}⋅\dfrac{1}{a}\,dt=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^b_1\dfrac{1}{u}\,du=\ln a+\ln b.\)
iii. Зверніть увагу, що
\(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (x^r)\Big)=\dfrac{rx^{r−1}}{x^r}=\dfrac{r}{x}\).
Крім того,
\(\dfrac{d}{dx}\Big((r\ln x)\Big)=\dfrac{r}{x}.\)
Оскільки похідні цих двох функцій однакові, за фундаментальною теоремою числення вони повинні відрізнятися константою. Отже, у нас є
\(\ln (x^r)=r\ln x+C\)
для деяких постійних\(C\). Беручи\(x=1\), отримуємо
\(\ln (1^r)=r\ln (1)+C\)
\(0=r(0)+C\)
\(C=0.\)
Таким чином\(\ln (x^r)=r\ln x\) і доказ завершений. Зауважте, що ми можемо розширити цю властивість до ірраціональних значень\(r\) пізніше в цьому розділі.
Частина III. випливає з частин ii. і iv. і доказ залишається вам.
□
Використовуйте властивості логарифмів, щоб спростити наступний вираз в один логарифм:
\( \ln 9−2 \ln 3+\ln \left(\tfrac{1}{3}\right).\)
Рішення
У нас є
\( \ln 9−2 \ln 3+\ln \left(\tfrac{1}{3}\right)=\ln (3^2)−2 \ln 3+\ln (3^{−1})=2\ln 3−2\ln 3−\ln 3=−\ln 3.\)
Використовуйте властивості логарифмів, щоб спростити наступний вираз в один логарифм:
\( \ln 8−\ln 2−\ln \left(\tfrac{1}{4}\right)\)
- Підказка
-
Застосовуємо властивості логарифмів.
- Відповідь
-
\(4\ln 2\)
Визначення числа e
Тепер, коли у нас є натуральний логарифм визначено, ми можемо використовувати цю функцію для визначення числа\(e\).
Число\(e\) визначається як дійсне число, таке, що
\[\ln e=1\nonumber \]
Якщо говорити по-іншому, площа під кривою\(y=1/t\) між\(t=1\) і\(t=e\) є\(1\) (рис.). Доказ того, що таке число існує і є унікальним, залишається вам. (Підказка: Використовуйте теорему проміжних значень, щоб довести існування і той факт,\(\ln x\) що збільшується, щоб довести унікальність.)
Число\(e\) може бути показано як ірраціональне, хоча ми не будемо робити цього тут (див Студентський проект у серії Тейлора та Маклоріна). Його приблизне значення задається
\( e≈2.71828182846.\)
Експоненціальна функція
Тепер звернемо увагу на функцію\(e^x\). Зверніть увагу, що натуральний логарифм один до одного і тому має обернену функцію. Поки що ми позначимо цю зворотну функцію шляхом\(\exp x\). Потім,
\[ \exp(\ln x)=x \nonumber \]
для\(x>0\) і
\[ \ln (\exp x)=x \nonumber \]
для всіх\(x\).
На наступному малюнку показані графіки\(\exp x\) і\(\ln x\).
Ми висуваємо це гіпотезу\(\exp x=e^x\). Для раціональних значень\(x\), це легко показати. Якщо\(x\) раціонально, то маємо\(\ln (e^x)=x\ln e=x\). Таким чином, коли\(x\) раціонально,\(e^x=\exp x\). Для ірраціональних значень\(x\), ми просто визначаємо\(e^x\) як обернену функцію\(\ln x\).
Для будь-якого дійсного числа\(x\)\(y=e^x\) визначте число, для якого
\[\ln y=\ln (e^x)=x. \nonumber \]
Тоді у нас є\(e^x=\exp x\) для всіх\(x\), і таким чином
\(e^{\ln x}=x\)для\(x>0\) і\(\ln (e^x)=x\)
для всіх\(x\).
Властивості експоненціальної функції
Оскільки експоненціальна функція була визначена з точки зору оберненої функції, а не з точки зору сили,\(e\) ми повинні перевірити, чи дотримуються звичайні закони експонентів для функції\(e^x\).
Якщо\(p\) і\(q\) є будь-якими дійсними числами і\(r\) є раціональним числом, то
- \(e^pe^q=e^{p+q}\)
- \(\dfrac{e^p}{e^q}=e^{p−q}\)
- \((e^p)^r=e^{pr}\)
Зверніть увагу, що якщо\(p\) і\(q\) є раціональними, властивості тримаються. Однак, якщо\(p\) або\(q\) є ірраціональними, ми повинні застосувати зворотне визначення функції\(e^x\) та перевірити властивості. Тут перевіряється тільки перша властивість, інші два залишаються вам. У нас є
\[ \ln (e^pe^q)=\ln (e^p)+\ln (eq)=p+q=\ln (e^{p+q}).\nonumber \]
Так як\(\ln x\) один до одного, то
\[ e^pe^q=e^{p+q}.\nonumber \]
□
Як і частина iv. властивостей логарифма, ми можемо розширити властивість iiii. до ірраціональних значень\(r\), і ми робимо це до кінця розділу.
Ми також хочемо перевірити формулу диференціації для функції\(y=e^x\). Для цього нам потрібно використовувати неявну диференціацію. Нехай\(y=e^x\). Тоді
\[ \begin{align*} \ln y &=x \\[5pt] \dfrac{d}{dx}\Big(\ln y\Big) &=\dfrac{d}{dx}\Big(x\Big) \\[5pt] \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} &=1 \\[5pt] \dfrac{dy}{dx} &=y. \end{align*}\]
Таким чином, ми бачимо
\[ \dfrac{d}{dx}\Big(e^x\Big)=e^x \nonumber \]
за бажанням, що призводить відразу до формули інтеграції
\[ ∫e^x \,dx=e^x+C. \nonumber \]
Ми застосовуємо ці формули в наступних прикладах.
Оцініть наступні похідні:
- \(\dfrac{d}{dt}\Big(e^{3t}e^{t^2}\Big)\)
- \(\dfrac{d}{dx}\Big(e^{3x^2}\Big)\)
Рішення
Застосовуємо правило ланцюга в міру необхідності.
- \(\dfrac{d}{dt}\Big(e^{3t}e^{t^2}\Big)=\dfrac{d}{dt}\Big(e^{3t+t^2}\Big)=e^{3t+t^2}(3+2t)\)
- \(\dfrac{d}{dx}\Big(e^{3x^2}\Big)=e^{3x^2}6x\)
Оцініть наступні похідні:
- \(\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{e^{x^2}}{e^{5x}}\Big)\)
- \(\dfrac{d}{dt}\Big((e^{2t})^3\Big)\)
- Підказка
-
Використовуйте властивості експоненціальних функцій і правило ланцюга в міру необхідності.
- Відповідь
-
а.\(\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{e^{x^2}}{e^{5x}}\Big)=e^{x^{2−5x}}(2x−5)\)
б.\(\dfrac{d}{dt}\Big((e^{2t})^3\Big)=6e^{6t}\)
Оцініть наступний інтеграл:\(\displaystyle ∫2xe^{−x^2}\,dx.\)
Рішення
Використовуючи\(u\) -підстановку, нехай\(u=−x^2\). Тоді\(du=−2x\,dx,\) і у нас
\(\displaystyle ∫2xe^{−x^2}\,dx=−∫e^u\,du=−e^u+C=−e^{−x^2}+C.\)
Оцініть наступний інтеграл:\(\displaystyle ∫\dfrac{4}{e^{3x}}\,dx.\)
- Підказка
-
Використовувати властивості експоненціальних функцій і в\(u-substitution\) міру необхідності.
- Відповідь
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{4}{e^{3x}}\,dx=−\dfrac{4}{3}e^{−3x}+C\)
Загальні логарифмічні та експоненціальні функції
Ми закриваємо цей розділ, дивлячись на експоненціальні функції та логарифми з основами, відмінними від\(e\). Експоненціальні функції - це функції виду\(f(x)=a^x\). Зауважте\(a=e\), що якщо, ми все ще не маємо математично суворого визначення цих функцій для ірраціональних показників. Давайте виправимо це тут, визначаючи функцію з\(f(x)=a^x\) точки зору експоненціальної функції\(e^x\). Потім ми досліджуємо логарифми з основами, відмінними від e, як обернені функції експоненціальних функцій.
Для будь-якого\(a>0,\) і для будь-якого дійсного числа\(x\) визначте\(y=a^x\) наступним чином:
\[y=a^x=e^{x \ln a}. \nonumber \]
Тепер\(a^x\) визначається строго для всіх значень\(x\). Це визначення також дозволяє узагальнити властивість iv. логарифмів і властивості iii. експоненціальних функцій застосовувати як до раціональних, так і до ірраціональних значень\(r\). Це просто показати, що властивості експонентів мають для загальних експоненціальних функцій, визначених таким чином.
Давайте тепер застосуємо це визначення, щоб обчислити формулу диференціації для\(a^x\). У нас є
\(\dfrac{d}{dx}\Big(a^x\Big)=\dfrac{d}{dx}\Big(e^{x\ln a}\Big)=e^{x\ln a}\ln a=a^x\ln a.\)
Відповідна формула інтеграції слід негайно.
Нехай\(a>0.\) тоді,
\[\dfrac{d}{dx}\Big(a^x\Big)=a^x \ln a \nonumber \]
і
\[∫a^x\,dx=\dfrac{1}{\ln a}a^x+C. \nonumber \]
Якщо\(a≠1\),\(a^x\) то функція один-на-один і має чітко визначену зворотну. Його зворотна позначається символом\(\log_a x\). Потім,
\( y=\log_a x\)якщо і тільки якщо\(x=a^y.\)
Зверніть увагу, що загальні функції логарифма можуть бути записані через натуральний логарифм. Нехай\(y=\log_a x.\) тоді,\(x=a^y\). Взявши натуральний логарифм обох сторін цього другого рівняння, отримаємо
\ [\ почати {вирівнювати*}\ ln x &=\ ln (a^y)\\\ [5pt]
\ ln x &=y\ n a\\ [5pt]
y&=\ dfrac {\ ln x} {\ ln a}\\ [5pt]\ log_a x&=
\ dfrac {\ ln x} {\ ln a} {\ ln a}. \ end {вирівнювати*}\]
Таким чином, ми бачимо, що всі логарифмічні функції є постійними кратними одна одній. Далі ми використовуємо цю формулу, щоб знайти формулу диференціації логарифма з основою\(a\). Знову нехай\(y=\log_a x\). Потім,
\ [\ почати {вирівнювати*}\ dfrac {dh} {dx} &=\ dfrac {d} {dx}\ Великий (\ log_a x\ Великий)\\ [5pt]
&=\ dfrac {d} {dx}\ ліворуч (\ dfrac {\ ln x} {\ на а}\ праворуч)\\ [5pt]
& =(\ dfrac {1} {\ ln a})\ dfrac {d} {dx}\ Великий (\ ln x\ Великий)\\ [5pt]
&=\ dfrac {1} {\ ln a} ⋅\ dfrac {1} =\ dfrac {1} {x\ ln a}\ кінець {align*}\]
Нехай\(a>0.\) тоді,
\[\dfrac{d}{dx}\Big(\log_a x\Big)=\dfrac{1}{x\ln a}. \nonumber \]
Оцініть наступні похідні:
- \(\dfrac{d}{dt}\Big(4^t⋅2^{t^2}\Big)\)
- \(\dfrac{d}{dx}\Big(\log_8(7x^2+4)\Big)\)
Рішення: Нам потрібно застосувати правило ланцюга в міру необхідності.
- \(\dfrac{d}{dt}\Big(4^t⋅2^{t^2}\Big)=\dfrac{d}{dt}\Big(2^{2t}⋅2^{t^2}\Big)=\dfrac{d}{dt}\Big(2^{2t+t^2}\Big)=2^{2t+t^2}\ln (2)(2+2t)\)
- \(\dfrac{d}{dx}\Big(\log_8(7x^2+4)\Big)=\dfrac{1}{(7x^2+4)(\ln 8)}(14x)\)
Оцініть наступні похідні:
- \(\dfrac{d}{dt}\Big(4^{t^4}\Big)\)
- \(\dfrac{d}{dx}\Big(\log_3(\sqrt{x^2+1})\Big)\)
- Підказка
-
Використовуйте формули і застосовуйте правило ланцюга в міру необхідності.
- Відповідь
-
а.\(\dfrac{d}{dt}\Big(4^{t^4}\Big)=4^{t^4}(\ln 4)(4t^3)\)
б.\(\dfrac{d}{dx}\Big(\log_3(\sqrt{x^2+1})\Big)=\dfrac{x}{(\ln 3)(x^2+1)}\)
Оцініть наступний інтеграл:\(\displaystyle ∫\dfrac{3}{2^{3x}}\,dx.\)
Рішення
Використовуйте\(u-substitution\) і нехай\(u=−3x\). Тоді\(du=−3\,dx\) і у нас
\[ ∫\dfrac{3}{2^{3x}}\,dx=∫3⋅2^{−3x}\,dx=−∫2^u\,du=−\dfrac{1}{\ln 2}2^u+C=−\dfrac{1}{\ln 2}2^{−3x}+C.\nonumber \]
Оцініть наступний інтеграл:\(\displaystyle ∫x^2 2^{x^3}\,dx.\)
- Підказка
-
Використання властивостей експоненціальних функцій та u-підстановки
- Відповідь
-
\(\displaystyle ∫x^2 2^{x^3}\,dx=\dfrac{1}{3\ln 2}2^{x^3}+C\)
Ключові концепції
- Раніше обробка логарифмів і експоненціальних функцій не визначала функції точно і формально. Цей розділ розробляє поняття математично суворо.
- Наріжним каменем розвитку є визначення натурального логарифма через інтеграл.
- Потім функція\(e^x\) визначається як обернена натуральним логарифмом. Загальні експоненціальні функції визначаються\(e^x\) термінами, а відповідні обернені функції є загальними логарифмами.
- Знайомі властивості логарифмів і експонентів все ще тримаються в цьому більш суворому контексті.
Ключові рівняння
- Функція натурального логарифма
- \(\displaystyle \ln x=∫^x_1\dfrac{1}{t}\,dt\)
- Експоненціальна функція\(y=e^x\)
- \(\ln y=\ln (e^x)=x\)