Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.7: Інтеграли, експоненціальні функції та логарифми

  • Page ID
    61667
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Запишіть визначення натурального логарифма як інтеграла.
    • Розпізнати похідну натурального логарифма.
    • Інтегруйте функції, що включають природну логарифмічну функцію.
    • Визначте число\(e\) через інтеграл.
    • Розпізнати похідну і інтеграл експоненціальної функції.
    • Довести властивості логарифмів і експоненціальних функцій за допомогою інтегралів.
    • Висловіть загальні логарифмічні та експоненціальні функції через натуральні логарифми та експоненціальні.

    Ми вже розглядали експоненціальні функції та логарифми в попередніх розділах. Однак ми розглянули деякі ключові деталі в попередніх обговореннях. Наприклад, ми не вивчали, як лікувати експоненціальні функції з експонентами, які є ірраціональними. Визначення числа е - ще одна область, де попередня розробка була дещо неповною. Тепер у нас є інструменти для вирішення цих понять більш математично суворо, і ми робимо це в цьому розділі.

    Для цілей цього розділу припустимо, що ми ще не визначили натуральний логарифм\(e\), число або будь-яку з формул інтеграції та диференціації, пов'язаних з цими функціями. До кінця розділу ми вивчимо ці поняття математично суворо (і побачимо, що вони узгоджуються з поняттями, які ми дізналися раніше). Розріз починаємо з визначення натурального логарифма через інтеграл. Це визначення і формує основу для перетину. З цього визначення ми виведемо формули диференціації, визначаємо число\(e\) і розширюємо ці поняття до логарифмів і експоненціальних функцій будь-якої бази.

    Натуральний логарифм як інтеграл

    Нагадаємо правило потужності для інтегралів:

    \[ ∫ x^n \,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C , \quad n≠−1. \nonumber \]

    Зрозуміло, що це не працює, коли\(n=−1,\) як це змусило б нас розділити на нуль. Отже, з чим ми робимо\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{x}\,dx\)? Нагадаємо з фундаментальної теореми числення, яка\(\displaystyle ∫^x_1\dfrac{1}{t}dt\) є антипохідною\(\dfrac{1}{x}.\) Тому ми можемо зробити наступне визначення.

    Визначення: Натуральний логарифм

    For\(x>0\), Визначте натуральну функцію логарифму за

    \[\ln x=∫^x_1\dfrac{1}{t}\,dt. \nonumber \]

    Бо\(x>1\), це просто площа під кривою\(y=\dfrac{1}{t}\) від\(1\) до\(x\). Бо\(x<1\), у нас є

    \[ ∫^x_1\dfrac{1}{t}\,dt=−∫^1_x\dfrac{1}{t}\,dt, \nonumber \]

    тому в даному випадку це негатив області під кривою від\(x\) до\(1\) (див. Наступний малюнок).

    Ця цифра має два графіки. Перша - крива y = 1/t, вона зменшується і в першому квадранті. Під кривою розташовується затінена область. Область обмежена ліворуч на x=1. Область позначена «area=lnx». Другий графік є тією ж кривою y=1/t. Він має затінену область під кривою, обмежену праворуч x=1. Він позначений як «area=-lnx».
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): (а) Коли\(x>1\) натуральний логарифм - це площа під кривою\(y=1/t\) від\(1\) до\(x\). (b) Коли\(x<1\) натуральний логарифм є негативним площі під кривою від\(x\) до\(1\).

    Зауважте, що\(\ln 1=0\). Крім того, функція\(y=\dfrac{1}{t}>0\) для\(x>0\). Тому за властивостями інтегралів зрозуміло, що\(\ln x\) збільшується для\(x>0\).

    Властивості натурального логарифма

    Через те, як ми визначили натуральний логарифм, наступна формула диференціації випадає відразу в результаті фундаментальної теореми числення.

    Визначення: Похідна натурального логарифма

    For\(x>0\), похідна натурального логарифма задається

    \[ \dfrac{d}{dx}\Big( \ln x \Big) = \dfrac{1}{x}. \nonumber \]

    Наслідок похідної натурального логарифма

    \(\ln x\)Функція диференційовна; отже, вона безперервна.

    Графік\(\ln x\) показаний на рис. Зверніть увагу, що він безперервний протягом усієї області\((0,∞)\).

    Ця цифра є графіком. Це зростаюча крива з міткою f (x) = lnx. Крива збільшується з віссю y як асимптота. Крива перетинає вісь x при x = 1.
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Графік\(f(x)=\ln x\) показує, що це неперервна функція.
    Приклад\(\PageIndex{1}\): Calculating Derivatives of Natural Logarithms

    Обчисліть такі похідні:

    1. \(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (5x^3−2)\Big)\)
    2. \(\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (3x))^2\Big)\)

    Рішення

    Нам потрібно застосувати правило ланцюга в обох випадках.

    1. \(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (5x^3−2)\Big)=\dfrac{15x^2}{5x^3−2}\)
    2. \(\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (3x))^2\Big)=\dfrac{2(\ln (3x))⋅3}{3x}=\dfrac{2(\ln (3x))}{x}\)
    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Обчисліть такі похідні:

    1. \(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (2x^2+x)\Big)\)
    2. \(\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (x^3))^2\Big)\)
    Підказка

    Застосуйте щойно надану формулу диференціації та використовуйте правило ланцюга в міру необхідності.

    Відповідь

    а.\(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (2x^2+x)\Big)=\dfrac{4x+1}{2x^2+x}\)

    б.\(\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (x^3))^2\Big)=\dfrac{6\ln (x^3)}{x}\)

    Зауважте, що якщо ми використовуємо функцію абсолютного значення і створимо нову функцію\(\ln |x|\), ми можемо розширити область натурального логарифма для включення\(x<0\). Потім\(\dfrac{d}{dx}\Big( \ln x \Big)=\dfrac{1}{x}\). Це породжує звичну формулу інтеграції.

    Інтеграл\(\frac{1}{u} \, du\)

    Натуральний логарифм є антипохідним функції\(f(u)=\dfrac{1}{u}\):

    \[∫\dfrac{1}{u}\,du=\ln |u|+C. \nonumber \]

    Приклад\(\PageIndex{2}\): Calculating Integrals Involving Natural Logarithms

    Обчисліть інтеграл\(\displaystyle ∫\dfrac{x}{x^2+4}\,dx.\)

    Рішення

    Використовуючи\(u\) -підстановку, нехай\(u=x^2+4\). Тоді\(du=2x\,dx\) і у нас

    \(\displaystyle ∫\dfrac{x}{x^2+4}\,dx=\dfrac{1}{2}∫\dfrac{1}{u}\,du=\dfrac{1}{2}\ln |u|+C=\dfrac{1}{2}\ln |x^2+4|+C=\dfrac{1}{2}\ln (x^2+4)+C.\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Обчисліть інтеграл\(\displaystyle ∫\dfrac{x^2}{x^3+6}\,dx.\)

    Підказка

    Застосуйте формулу інтеграції, надану раніше, та використовуйте U-підстановку у міру необхідності.

    Відповідь

    \(\displaystyle ∫\dfrac{x^2}{x^3+6}\,dx=\dfrac{1}{3}\ln ∣x^3+6∣+C\)

    Хоча ми назвали нашу функцію «логарифмом», ми насправді не довели, що будь-яка з властивостей логарифмів має для цієї функції. Ми робимо це тут.

    Властивості натурального логарифма

    Якщо\(a,\, b>0\) і\(r\) є раціональним числом, то

    1. \(\ln 1=0\)
    2. \(\ln (ab)=\ln a+\ln b\)
    3. \(\ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a−\ln b\)
    4. \(\ln \left(a^r\right)=r\ln a\)
    Доказ

    i. за визначенням\(\displaystyle \ln 1=∫^1_1\dfrac{1}{t}\,dt=0.\)

    II. У нас є

    \(\displaystyle \ln (ab)=∫^{ab}_1\dfrac{1}{t}\,dt=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^{ab}_a\dfrac{1}{t}\,dt.\)

    Використовуйте\(u-substitution\) на останньому інтегралі в цьому виразі. Нехай\(u=t/a\). Тоді\(du=(1/a)dt.\) Крім того\(t=a,\, u=1\), коли і коли\(t=ab,\, u=b.\) Так ми отримуємо

    \(\displaystyle \ln (ab)=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^{ab}_a\dfrac{1}{t}\,dt=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^{ab}_1\dfrac{a}{t}⋅\dfrac{1}{a}\,dt=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^b_1\dfrac{1}{u}\,du=\ln a+\ln b.\)

    iii. Зверніть увагу, що

    \(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (x^r)\Big)=\dfrac{rx^{r−1}}{x^r}=\dfrac{r}{x}\).

    Крім того,

    \(\dfrac{d}{dx}\Big((r\ln x)\Big)=\dfrac{r}{x}.\)

    Оскільки похідні цих двох функцій однакові, за фундаментальною теоремою числення вони повинні відрізнятися константою. Отже, у нас є

    \(\ln (x^r)=r\ln x+C\)

    для деяких постійних\(C\). Беручи\(x=1\), отримуємо

    \(\ln (1^r)=r\ln (1)+C\)

    \(0=r(0)+C\)

    \(C=0.\)

    Таким чином\(\ln (x^r)=r\ln x\) і доказ завершений. Зауважте, що ми можемо розширити цю властивість до ірраціональних значень\(r\) пізніше в цьому розділі.

    Частина III. випливає з частин ii. і iv. і доказ залишається вам.

    Приклад\(\PageIndex{3}\): Using Properties of Logarithms

    Використовуйте властивості логарифмів, щоб спростити наступний вираз в один логарифм:

    \( \ln 9−2 \ln 3+\ln \left(\tfrac{1}{3}\right).\)

    Рішення

    У нас є

    \( \ln 9−2 \ln 3+\ln \left(\tfrac{1}{3}\right)=\ln (3^2)−2 \ln 3+\ln (3^{−1})=2\ln 3−2\ln 3−\ln 3=−\ln 3.\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Використовуйте властивості логарифмів, щоб спростити наступний вираз в один логарифм:

    \( \ln 8−\ln 2−\ln \left(\tfrac{1}{4}\right)\)

    Підказка

    Застосовуємо властивості логарифмів.

    Відповідь

    \(4\ln 2\)

    Визначення числа e

    Тепер, коли у нас є натуральний логарифм визначено, ми можемо використовувати цю функцію для визначення числа\(e\).

    Визначення:\(e\)

    Число\(e\) визначається як дійсне число, таке, що

    \[\ln e=1\nonumber \]

    Якщо говорити по-іншому, площа під кривою\(y=1/t\) між\(t=1\) і\(t=e\) є\(1\) (рис.). Доказ того, що таке число існує і є унікальним, залишається вам. (Підказка: Використовуйте теорему проміжних значень, щоб довести існування і той факт,\(\ln x\) що збільшується, щоб довести унікальність.)

    Ця цифра є графіком. Це крива y = 1/t, вона зменшується і знаходиться в першому квадранті. Під кривою розташовується затінена область. Область обмежена ліворуч на x=1, а праворуч у x=e, область позначена як «area=1».
    Малюнок:\(\PageIndex{3}\) Площа під кривою від до\(1\)\(e\) дорівнює одиниці.

    Число\(e\) може бути показано як ірраціональне, хоча ми не будемо робити цього тут (див Студентський проект у серії Тейлора та Маклоріна). Його приблизне значення задається

    \( e≈2.71828182846.\)

    Експоненціальна функція

    Тепер звернемо увагу на функцію\(e^x\). Зверніть увагу, що натуральний логарифм один до одного і тому має обернену функцію. Поки що ми позначимо цю зворотну функцію шляхом\(\exp x\). Потім,

    \[ \exp(\ln x)=x \nonumber \]

    для\(x>0\) і

    \[ \ln (\exp x)=x \nonumber \]

    для всіх\(x\).

    На наступному малюнку показані графіки\(\exp x\) і\(\ln x\).

    Ця цифра є графіком. Він має три криві. Перша крива позначена exp x. Це зростаюча крива з віссю x як горизонтальна асимптота. Він перетинає вісь y при y = 1. Друга крива - діагональна лінія, що проходить через початок. Третя крива позначена lnx. Це зростаюча крива з віссю y як вертикальна вісь. Він перетинає вісь x при x = 1.
    Малюнок\(\PageIndex{4}\): Графіки\(\ln x\) і\(\exp x\).

    Ми висуваємо це гіпотезу\(\exp x=e^x\). Для раціональних значень\(x\), це легко показати. Якщо\(x\) раціонально, то маємо\(\ln (e^x)=x\ln e=x\). Таким чином, коли\(x\) раціонально,\(e^x=\exp x\). Для ірраціональних значень\(x\), ми просто визначаємо\(e^x\) як обернену функцію\(\ln x\).

    Визначення

    Для будь-якого дійсного числа\(x\)\(y=e^x\) визначте число, для якого

    \[\ln y=\ln (e^x)=x. \nonumber \]

    Тоді у нас є\(e^x=\exp x\) для всіх\(x\), і таким чином

    \(e^{\ln x}=x\)для\(x>0\) і\(\ln (e^x)=x\)

    для всіх\(x\).

    Властивості експоненціальної функції

    Оскільки експоненціальна функція була визначена з точки зору оберненої функції, а не з точки зору сили,\(e\) ми повинні перевірити, чи дотримуються звичайні закони експонентів для функції\(e^x\).

    Властивості експоненціальної функції

    Якщо\(p\) і\(q\) є будь-якими дійсними числами і\(r\) є раціональним числом, то

    1. \(e^pe^q=e^{p+q}\)
    2. \(\dfrac{e^p}{e^q}=e^{p−q}\)
    3. \((e^p)^r=e^{pr}\)
    Доказ

    Зверніть увагу, що якщо\(p\) і\(q\) є раціональними, властивості тримаються. Однак, якщо\(p\) або\(q\) є ірраціональними, ми повинні застосувати зворотне визначення функції\(e^x\) та перевірити властивості. Тут перевіряється тільки перша властивість, інші два залишаються вам. У нас є

    \[ \ln (e^pe^q)=\ln (e^p)+\ln (eq)=p+q=\ln (e^{p+q}).\nonumber \]

    Так як\(\ln x\) один до одного, то

    \[ e^pe^q=e^{p+q}.\nonumber \]

    Як і частина iv. властивостей логарифма, ми можемо розширити властивість iiii. до ірраціональних значень\(r\), і ми робимо це до кінця розділу.

    Ми також хочемо перевірити формулу диференціації для функції\(y=e^x\). Для цього нам потрібно використовувати неявну диференціацію. Нехай\(y=e^x\). Тоді

    \[ \begin{align*} \ln y &=x \\[5pt] \dfrac{d}{dx}\Big(\ln y\Big) &=\dfrac{d}{dx}\Big(x\Big) \\[5pt] \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} &=1 \\[5pt] \dfrac{dy}{dx} &=y. \end{align*}\]

    Таким чином, ми бачимо

    \[ \dfrac{d}{dx}\Big(e^x\Big)=e^x \nonumber \]

    за бажанням, що призводить відразу до формули інтеграції

    \[ ∫e^x \,dx=e^x+C. \nonumber \]

    Ми застосовуємо ці формули в наступних прикладах.

    Приклад\(\PageIndex{4}\): Using Properties of Exponential Functions

    Оцініть наступні похідні:

    1. \(\dfrac{d}{dt}\Big(e^{3t}e^{t^2}\Big)\)
    2. \(\dfrac{d}{dx}\Big(e^{3x^2}\Big)\)

    Рішення

    Застосовуємо правило ланцюга в міру необхідності.

    1. \(\dfrac{d}{dt}\Big(e^{3t}e^{t^2}\Big)=\dfrac{d}{dt}\Big(e^{3t+t^2}\Big)=e^{3t+t^2}(3+2t)\)
    2. \(\dfrac{d}{dx}\Big(e^{3x^2}\Big)=e^{3x^2}6x\)
    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Оцініть наступні похідні:

    1. \(\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{e^{x^2}}{e^{5x}}\Big)\)
    2. \(\dfrac{d}{dt}\Big((e^{2t})^3\Big)\)
    Підказка

    Використовуйте властивості експоненціальних функцій і правило ланцюга в міру необхідності.

    Відповідь

    а.\(\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{e^{x^2}}{e^{5x}}\Big)=e^{x^{2−5x}}(2x−5)\)

    б.\(\dfrac{d}{dt}\Big((e^{2t})^3\Big)=6e^{6t}\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\): Using Properties of Exponential Functions

    Оцініть наступний інтеграл:\(\displaystyle ∫2xe^{−x^2}\,dx.\)

    Рішення

    Використовуючи\(u\) -підстановку, нехай\(u=−x^2\). Тоді\(du=−2x\,dx,\) і у нас

    \(\displaystyle ∫2xe^{−x^2}\,dx=−∫e^u\,du=−e^u+C=−e^{−x^2}+C.\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Оцініть наступний інтеграл:\(\displaystyle ∫\dfrac{4}{e^{3x}}\,dx.\)

    Підказка

    Використовувати властивості експоненціальних функцій і в\(u-substitution\) міру необхідності.

    Відповідь

    \(\displaystyle ∫\dfrac{4}{e^{3x}}\,dx=−\dfrac{4}{3}e^{−3x}+C\)

    Загальні логарифмічні та експоненціальні функції

    Ми закриваємо цей розділ, дивлячись на експоненціальні функції та логарифми з основами, відмінними від\(e\). Експоненціальні функції - це функції виду\(f(x)=a^x\). Зауважте\(a=e\), що якщо, ми все ще не маємо математично суворого визначення цих функцій для ірраціональних показників. Давайте виправимо це тут, визначаючи функцію з\(f(x)=a^x\) точки зору експоненціальної функції\(e^x\). Потім ми досліджуємо логарифми з основами, відмінними від e, як обернені функції експоненціальних функцій.

    Визначення: Експоненціальна функція

    Для будь-якого\(a>0,\) і для будь-якого дійсного числа\(x\) визначте\(y=a^x\) наступним чином:

    \[y=a^x=e^{x \ln a}. \nonumber \]

    Тепер\(a^x\) визначається строго для всіх значень\(x\). Це визначення також дозволяє узагальнити властивість iv. логарифмів і властивості iii. експоненціальних функцій застосовувати як до раціональних, так і до ірраціональних значень\(r\). Це просто показати, що властивості експонентів мають для загальних експоненціальних функцій, визначених таким чином.

    Давайте тепер застосуємо це визначення, щоб обчислити формулу диференціації для\(a^x\). У нас є

    \(\dfrac{d}{dx}\Big(a^x\Big)=\dfrac{d}{dx}\Big(e^{x\ln a}\Big)=e^{x\ln a}\ln a=a^x\ln a.\)

    Відповідна формула інтеграції слід негайно.

    Похідні та інтеграли із загальними експоненціальними функціями

    Нехай\(a>0.\) тоді,

    \[\dfrac{d}{dx}\Big(a^x\Big)=a^x \ln a \nonumber \]

    і

    \[∫a^x\,dx=\dfrac{1}{\ln a}a^x+C. \nonumber \]

    Якщо\(a≠1\),\(a^x\) то функція один-на-один і має чітко визначену зворотну. Його зворотна позначається символом\(\log_a x\). Потім,

    \( y=\log_a x\)якщо і тільки якщо\(x=a^y.\)

    Зверніть увагу, що загальні функції логарифма можуть бути записані через натуральний логарифм. Нехай\(y=\log_a x.\) тоді,\(x=a^y\). Взявши натуральний логарифм обох сторін цього другого рівняння, отримаємо

    \ [\ почати {вирівнювати*}\ ln x &=\ ln (a^y)\\\ [5pt]
    \ ln x &=y\ n a\\ [5pt]
    y&=\ dfrac {\ ln x} {\ ln a}\\ [5pt]\ log_a x&=
    \ dfrac {\ ln x} {\ ln a} {\ ln a}. \ end {вирівнювати*}\]

    Таким чином, ми бачимо, що всі логарифмічні функції є постійними кратними одна одній. Далі ми використовуємо цю формулу, щоб знайти формулу диференціації логарифма з основою\(a\). Знову нехай\(y=\log_a x\). Потім,

    \ [\ почати {вирівнювати*}\ dfrac {dh} {dx} &=\ dfrac {d} {dx}\ Великий (\ log_a x\ Великий)\\ [5pt]
    &=\ dfrac {d} {dx}\ ліворуч (\ dfrac {\ ln x} {\ на а}\ праворуч)\\ [5pt]
    & =(\ dfrac {1} {\ ln a})\ dfrac {d} {dx}\ Великий (\ ln x\ Великий)\\ [5pt]
    &=\ dfrac {1} {\ ln a} ⋅\ dfrac {1} =\ dfrac {1} {x\ ln a}\ кінець {align*}\]

    Похідні функцій загального логарифму

    Нехай\(a>0.\) тоді,

    \[\dfrac{d}{dx}\Big(\log_a x\Big)=\dfrac{1}{x\ln a}. \nonumber \]

    Приклад\(\PageIndex{6}\): Calculating Derivatives of General Exponential and Logarithm Functions

    Оцініть наступні похідні:

    1. \(\dfrac{d}{dt}\Big(4^t⋅2^{t^2}\Big)\)
    2. \(\dfrac{d}{dx}\Big(\log_8(7x^2+4)\Big)\)

    Рішення: Нам потрібно застосувати правило ланцюга в міру необхідності.

    1. \(\dfrac{d}{dt}\Big(4^t⋅2^{t^2}\Big)=\dfrac{d}{dt}\Big(2^{2t}⋅2^{t^2}\Big)=\dfrac{d}{dt}\Big(2^{2t+t^2}\Big)=2^{2t+t^2}\ln (2)(2+2t)\)
    2. \(\dfrac{d}{dx}\Big(\log_8(7x^2+4)\Big)=\dfrac{1}{(7x^2+4)(\ln 8)}(14x)\)
    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Оцініть наступні похідні:

    1. \(\dfrac{d}{dt}\Big(4^{t^4}\Big)\)
    2. \(\dfrac{d}{dx}\Big(\log_3(\sqrt{x^2+1})\Big)\)
    Підказка

    Використовуйте формули і застосовуйте правило ланцюга в міру необхідності.

    Відповідь

    а.\(\dfrac{d}{dt}\Big(4^{t^4}\Big)=4^{t^4}(\ln 4)(4t^3)\)

    б.\(\dfrac{d}{dx}\Big(\log_3(\sqrt{x^2+1})\Big)=\dfrac{x}{(\ln 3)(x^2+1)}\)

    Приклад\(\PageIndex{7}\): Integrating General Exponential Functions

    Оцініть наступний інтеграл:\(\displaystyle ∫\dfrac{3}{2^{3x}}\,dx.\)

    Рішення

    Використовуйте\(u-substitution\) і нехай\(u=−3x\). Тоді\(du=−3\,dx\) і у нас

    \[ ∫\dfrac{3}{2^{3x}}\,dx=∫3⋅2^{−3x}\,dx=−∫2^u\,du=−\dfrac{1}{\ln 2}2^u+C=−\dfrac{1}{\ln 2}2^{−3x}+C.\nonumber \]

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Оцініть наступний інтеграл:\(\displaystyle ∫x^2 2^{x^3}\,dx.\)

    Підказка

    Використання властивостей експоненціальних функцій та u-підстановки

    Відповідь

    \(\displaystyle ∫x^2 2^{x^3}\,dx=\dfrac{1}{3\ln 2}2^{x^3}+C\)

    Ключові концепції

    • Раніше обробка логарифмів і експоненціальних функцій не визначала функції точно і формально. Цей розділ розробляє поняття математично суворо.
    • Наріжним каменем розвитку є визначення натурального логарифма через інтеграл.
    • Потім функція\(e^x\) визначається як обернена натуральним логарифмом. Загальні експоненціальні функції визначаються\(e^x\) термінами, а відповідні обернені функції є загальними логарифмами.
    • Знайомі властивості логарифмів і експонентів все ще тримаються в цьому більш суворому контексті.

    Ключові рівняння

    • Функція натурального логарифма
    • \(\displaystyle \ln x=∫^x_1\dfrac{1}{t}\,dt\)
    • Експоненціальна функція\(y=e^x\)
    • \(\ln y=\ln (e^x)=x\)