6.10: Глава 6 Огляд вправ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61725

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Правда чи брехня? Обгрунтуйте свою відповідь доказом або контрприкладом.

1) Обсяг робіт по відкачуванню води з напівповного циліндра становить половину обсягу роботи по відкачуванню води з повного циліндра.

Відповідь: Помилковий

2) Якщо сила постійна, обсяг роботи по переміщенню об'єкта від$x=a$ до$x=b$ є$F(b−a)$.

3) Дисковий метод може бути використаний в будь-якій ситуації, при якій метод шайби успішно знаходить обсяг твердого тіла обороту.

Відповідь: Помилковий

4) Якщо період напіврозпаду$seaborgium-266$ становить$360$ мс, то$k=\dfrac{\ln 2}{360}.$

Для вправ 5 - 8 використовуйте запитуваний метод для визначення обсягу твердого тіла.

5) Обсяг, який має підставу еліпса$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ і поперечні перерізи рівностороннього трикутника перпендикулярно$y$ -осі. Скористайтеся способом нарізки.

Відповідь: $V = 32\sqrt{3}\, \text{units}^3$

6)$y=x^2−x$, від$x=1$ до$x=4$, обертається навколо$y$ -осі методом шайби

7)$x=y^2$ і$x=3y$ обертається навколо$y$ -осі методом шайби

Відповідь: $V = \frac{162π}{5}\, \text{units}^3$

8)$x=2y^2−y^3,\; x=0$, і$y=0$ обертається навколо$x$ -осі за допомогою циліндричних оболонок

Для вправ 9 - 14 знайдіть

a. площа області,

б. Обсяг твердого тіла при обертанні навколо$x$ -осі, і

c. обсяг твердого тіла при обертанні навколо$y$ -осі. Використовуйте той спосіб, який вам здається найбільш підходящим.

9)$y=x^3,x=0,y=0$, і$x=2$

Відповідь: а.$A = 4$ одиниці ²
б.$V = \frac{128π}{7}$ од. ³
c.$V = \frac{64π}{5}$ одиниці ³

10)$y=x^2−x$ і$x=0$

11) [Т]$y=\ln(x)+2$ і$y=x$

Відповідь: а.$A \approx 1.949$ одиниці ²
б.$V \approx 21.952$ од. ³
c.$V = \approx 17.099$ одиниці ³

12)$y=x^2$ і$y=\sqrt{x}$

13)$y=5+x, y=x^2, x=0$, і$x=1$

Відповідь: а.$A = \frac{31}{6}$ одиниці ²
б.$V = \frac{452π}{15}$ од. ³
c.$V = \frac{31π}{6}$ одиниці ³

14) Внизу$x^2+y^2=1$ і вище$y=1−x$

15) Знайти масу$ρ=e^{−x}$ на диску з центром у початковій точці з радіусом$4$.

Відповідь: $m \approx 245.282$

16) Знайдіть центр маси для$ρ=\tan^2x$ на$x\in (−\frac{π}{4},\frac{π}{4})$.

17) Знайти масу і центр маси$ρ=1$ на області, обмеженої$y=x^5$ і$y=\sqrt{x}$.

Відповідь: Маса:$\frac{1}{2},$
Центр маси:$(\frac{18}{35},\frac{9}{11})$

Для вправ 18 - 19 знайдіть запитувані довжини дуги.

18) Довжина$x$ для$y=\cosh(x)$ від$x=0$ до$x=2$.

19) Довжина$y$ для$x=3−\sqrt{y}$ від$y=0$ до$y=4$

Відповідь: $s = \big[\sqrt{17}+\frac{1}{8}\ln(33+8\sqrt{17})\big]$одиниць

Для вправ 20 - 21 знайдіть площу поверхні і обсяг, коли задані криві обертаються навколо зазначеної осі.

20) Форма, створена обертанням області між$y=4+x, \;y=3−x, \;x=0,$ і$x=2$ обертається навколо$y$ -осі.

21) Гучномовець, створений шляхом обертання$y=\dfrac{1}{x}$ від$x=1$ до$x=4$ навколо$x$ -осі.

Відповідь: Об'єм:$V = \frac{3π}{4}$ од. ³ Площа
поверхні:$A = π\left(\sqrt{2}−\sinh^{−1}(1)+\sinh^{−1}(16)−\frac{\sqrt{257}}{16}\right)$ одиниці ²

Для навчання 22 розглянемо греблю Карун-3 в Ірані. Його форму можна наблизити у вигляді рівнобедреного трикутника висотою$205$$388$ m і шириною м Припустимо поточну глибину води -$180$ м Щільність води$1000$ кг/м ³.

22) Знайдіть сумарну силу на стіні греблі.

23) Ви є слідчим на місці злочину, який намагається визначити час смерті потерпілого. Це полудень і$45$° F зовні, а температура тіла -$78$° F, ви знаєте, постійна охолодження$k=0.00824$ °F/хв. Коли жертва померла, припускаючи, що температура людини дорівнює$98$ °F?

Відповідь: 11:02 ранку

Для наступних вправ розглянемо крах фондового ринку в 1929 році в США. У таблиці наведено середнє промислове значення Dow Jones за рік, що призвело до аварії.

Рік після 1920	Значення ($)
1	63.90
3	100
5	110
7	160
9	381.17

Джерело: http:/stockcharts.com/freecharts/hi...a19201940.html

24) [T] Найбільш підходяща експоненціальна крива для цих даних задається$y=40.71+1.224^x$. Чому, на вашу думку, прибутки ринку були нестійкими? Використовуйте перші та другі похідні, щоб виправдати свою відповідь. Що б ця модель прогнозувала середнє промислове значення Dow Jones у 2014 році?

Для вправ 25 - 26 розгляньте катеноїд, єдине тверде тіло обертання, яке має мінімальну поверхню, або нульову середню кривизну. Катеноїд в природі можна зустріти при розтягуванні мила між двома кільцями.

25) Знайдіть об'єм катеноїда$y=\cosh(x)$ від$x=−1$ до$x=1$, який створюється обертанням цієї кривої навколо $x$-осі, як показано тут.

$Ця фігура є зображенням катеноїда. Він був утворений обертанням контактної кривої навколо вертикальної осі.$

Відповідь: $V = π\big(1+\sinh(1)\cosh(1)\big)$одиниць ³

26) Знайдіть площу поверхні катеноїда$y=\cosh(x)$ від$x=−1$ до$x=1$, яка створюється обертанням цієї кривої навколо $x$-осі.