5.8: Глава 5 Огляд вправи

У вправах 1 - 4 відповідайте True або False. Обгрунтуйте свою відповідь доказом або контрприкладом. Припустіть всі функції$f$ і$g$ є безперервними над їх доменами.

1) Якщо$f(x)>0,\;f′(x)>0$ для всіх$x$, то правило правого боку недооцінює інтеграл$\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx.$ Використовуйте графік, щоб обґрунтувати свою відповідь.

Відповідь

Помилковий

2)$\displaystyle ∫^b_af(x)^2\,dx=∫^b_af(x)\,dx$

3) Якщо$f(x)≤g(x)$ для всіх$x∈[a,b]$, то$\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx≤∫^b_ag(x)\,dx.$

Відповідь

Правда

4) Всі безперервні функції мають антидериватив.

У вправах 5 - 8 оцінюємо суми Рімана$L_4$ і$R_4$ для заданих функцій за заданий інтервал. Порівняйте свою відповідь з точною відповіддю, коли це можливо, або скористайтеся калькулятором, щоб визначити відповідь.

5)$y=3x^2−2x+1)$ над$[−1,1]$

Відповідь

$L_4=5.25, \;R_4=3.25,$точна відповідь: 4

6)$y=\ln(x^2+1)$ над$[0,e]$

7)$y=x^2\sin x$ над$[0,π]$

Відповідь

$L_4=5.364,\;R_4=5.364,$точну відповідь:$5.870$

8)$y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ над$[1,4]$

У вправах 9 - 12 оцінюйте інтеграли.

9)$\displaystyle ∫^1_{−1}(x^3−2x^2+4x)\,dx$

Відповідь

$−\frac{4}{3}$

10)$\displaystyle ∫^4_0\frac{3t}{\sqrt{1+6t^2}}\,dt$

11)$\displaystyle ∫^{π/2}_{π/3}2\sec(2θ)\tan(2θ)\,dθ$

Відповідь

$1$

12)$\displaystyle ∫^{π/4}_0e^{\cos^2x}\sin x\cos x\,dx$

У вправах 13 - 16 знайдіть антидериватив.

13)$\displaystyle ∫\frac{dx}{(x+4)^3}$

Відповідь

$−\dfrac{1}{2(x+4)^2}+C$

14)$\displaystyle ∫x\ln(x^2)\,dx$

15)$\displaystyle ∫\frac{4x^2}{\sqrt{1−x^6}}\,dx$

Відповідь

$\displaystyle \frac{4}{3}\sin^{−1}(x^3)+C$

16)$\displaystyle ∫\frac{e^{2x}}{1+e^{4x}}\,dx$

У вправах 17 - 20 знайдіть похідну.

17)$\displaystyle \frac{d}{dt}∫^t_0\frac{\sin x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$

Відповідь

$\dfrac{\sin t}{\sqrt{1+t^2}}$

18)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{x^3}_1\sqrt{4−t^2}\,dt$

19)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\ln(x)}_1(4t+e^t)\,dt$

Відповідь

$4\dfrac{\ln x}{x}+1$

20)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\cos x}_0e^{t^2}\,dt$

У вправах 21 - 23 розглянемо історичну середню вартість за гігабайт оперативної пам'яті на комп'ютері.

Рік	5-річна зміна ($)
1980	$0$
1985	$−5,468,750$
1990	$-755,495$
1995	$−73,005$
2000	$−29,768$
2005	$−918$
2010	$−177$

21) Якщо середня вартість одного гігабайта оперативної пам'яті в 2010 році становить$$12$, знайдіть середню вартість за гігабайт оперативної пам'яті в 1980 році.

Відповідь

$$6,328,113$

Рішення: $6,328,113

22) Середня вартість за гігабайт оперативної пам'яті може бути наближена функцією$C(t)=8,500,000(0.65)^t$, де$t$ вимірюється роками з 1980 року, і$C$ коштує в доларах США. Знайдіть середню вартість одного гігабайта оперативної пам'яті за період з 1980 по 2010 рік.

23) Знайти середню вартість$1$ ГБ оперативної пам'яті з 2005 по 2010 рік.

Відповідь

$$73.36$

24) Швидкість кулі з гвинтівки може бути наближена тим,$v(t)=6400t^2−6505t+2686,$ де$t$ знаходиться секунди після пострілу, а v - швидкість, виміряна в футах в секунду. Це рівняння моделює лише швидкість протягом першої половини секунди після пострілу:$0≤t≤0.5.$ Яку загальну відстань проходить куля за$0.5$ сек?

25) Яка середня швидкість кулі за перше півсекунди?

Відповідь

$\frac{19117}{12}$ft/sec, або близько$1593$ ft/sec