10: Поліноми
- Page ID
- 57868
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Вирази, відомі як поліноми, широко використовуються в алгебрі. Застосування цих виразів має важливе значення для багатьох кар'єр, включаючи економістів, інженерів та вчених. У цьому розділі ми дізнаємося, що таке поліноми і як маніпулювати ними за допомогою основних математичних операцій.
- 10.1: Додавання та віднімання поліномів
- У цьому розділі ми будемо працювати з поліномами, які мають лише одну змінну в кожному члені. Ступінь многочлена і ступінь його членів визначаються показниками змінної. Працювати з поліномами простіше, коли ви перераховуєте терміни в порядку спадання градусів. Коли многочлен пишеться таким чином, він, як кажуть, в стандартній формі. Додавання та віднімання поліномів можна розглядати як просто додавання та віднімання подібних термінів.
- 10.2: Використовуйте властивості множення показників (частина 1)
- У цьому розділі ми почнемо роботу зі змінними виразами, що містять показники. Пам'ятайте, що показник вказує на повторне множення однієї і тієї ж величини. Ви бачили, що коли ви комбінуєте подібні терміни шляхом додавання та віднімання, вам потрібно мати однакову базу з однаковим показником. Але коли ви множите і ділите, показники можуть бути різними, а іноді основи можуть бути різними, теж. Ми виведемо властивості експонентів, шукаючи шаблони в декількох прикладах.
- 10.3: Використовуйте властивості множення показників (частина 2)
- Усі властивості експоненти мають значення true для будь-яких дійсних чисел, але зараз ми будемо використовувати лише цілі показники чисел. Властивість добутку експонентів дозволяє нам множити вирази з подібними основами, додаючи їх експоненти разом. Власна властивість експонентів стверджує, що, щоб підняти силу до степені, помножте показники. Нарешті, продукт до властивості влади експонентів описує, як підвищення продукту до влади здійснюється шляхом підвищення кожного фактора до цієї влади.
- 10.4: Множення многочленів (частина 1)
- У цьому розділі ми почнемо множення многочленів на ступінь перший, два та/або три. Так само, як існують різні способи представлення множення чисел, існує кілька методів, які можуть бути використані для множення многочлена на інший многочлен. Дистрибутивна властивість - це перший метод, з яким ви вже стикалися і використовували для пошуку добутку будь-яких двох поліномів.
- 10.5: Множення многочленів (частина 2)
- Метод FOIL, як правило, є найшвидшим методом множення двох біноміалів, але він працює лише для біноміалів. Коли ви множите біном на біноміал, ви отримуєте чотири члени. Іноді ви можете комбінувати подібні терміни, щоб отримати триноміал, але іноді немає подібних термінів для поєднання. Ще один метод, який працює для всіх поліномів, - це Вертикальний метод. Це дуже схоже на метод, який ви використовуєте для множення цілих чисел.
- 10.6: Розділити мономи (частина 1)
- У цьому розділі ми розглянемо властивості показника для ділення. Особливий випадок часткового властивості - це коли показники чисельника та знаменника рівні. Це призводить нас до визначення нульового показника, який стверджує, що якщо a є ненульовим числом, то a^0 = 1. Будь-яке ненульове число, підняте до нульової потужності, дорівнює 1. Коефіцієнт до властивості степеня експонентів стверджує, що, щоб підняти дріб до степеня, ви піднімаєте чисельник і знаменник до цієї степені.
- 10.7: Розділити мономи (частина 2)
- Зараз ми побачили всі властивості експонентів. Ми будемо використовувати їх, щоб розділити мономи. Пізніше ви будете використовувати їх для поділу многочленів. Коли ми ділимо мономіали з більш ніж однією змінною, ми пишемо один дріб для кожної змінної. Після того, як ви ознайомитеся з процесом і практикуєте його крок за кроком кілька разів, ви можете спростити частку за один крок.
- 10.8: Цілочисельні показники та наукові позначення (частина 1)
- Негативний показник говорить нам переписати вираз, взявши взаємну основу, а потім змінивши знак експоненти. Будь-який вираз, що має негативні показники, не вважається в простій формі. Ми будемо використовувати визначення негативного показника та інші властивості експонент для написання виразу тільки з додатними показниками.
- 10.9: Цілочисельні показники та наукові позначення (частина 2)
- Коли число записується як добуток двох чисел, де перший множник - це число більше або дорівнює одиниці, але менше 10, а другий коефіцієнт - це ступінь 10, написана в експоненціальній формі, воно, як кажуть, знаходиться в науковому позначенні. Прийнято використовувати × як знак множення, хоча ми уникаємо використання цього знака в інших місцях алгебри. Наукові позначення - корисний спосіб написання дуже великих або дуже маленьких чисел. Він використовується часто в науках, щоб полегшити розрахунки.
- 10.10: Вступ до факторингових поліномів
- Раніше ми множили коефіцієнти разом, щоб отримати продукт. Тепер ми змінимо цей процес; ми почнемо з продукту, а потім розбиваємо його на фактори. Розбиття продукту на фактори називається факторингом. У Мові алгебри ми враховували числа, щоб знайти найменш поширене кратне (LCM) двох або більше чисел. Тепер ми будемо факторні вирази і знайдемо найбільший спільний фактор двох або більше виразів. Метод, який ми використовуємо, схожий на те, що ми використовували для пошуку LCM.
Малюнок 10.1 - Шляхи ракет обчислюються за допомогою поліномів. (кредит: NASA, суспільне надбання)