10.2: Використовуйте властивості множення показників (частина 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57912

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Спрощення виразів за допомогою експонентів
Спрощення виразів за допомогою властивості добутку експонентів
Спрощення виразів за допомогою властивості Power показників
Спрощення виразів за допомогою продукту до властивості живлення
Спрощення виразів за допомогою застосування декількох властивостей
Множення мономіалів

будьте готові!

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Спростити:$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4}$. Якщо ви пропустили проблему, перегляньте приклад 4.3.7.
Спростити: (−2) (−2) (−2). Якщо ви пропустили проблему, перегляньте приклад 3.7.6.

Спрощення виразів за допомогою експонентів

Пам'ятайте, що показник вказує на повторне множення однієї і тієї ж величини. Наприклад, 2 ⁴ означає помножити чотири множники на 2, тому 2 ⁴ означає 2 • 2 • 2 • 2 • 2. Цей формат відомий як експоненціальне позначення.

Визначення: Експоненціальне позначення

$З лівого боку показана піднята до м. M позначено синім кольором як показник. А позначено червоним кольором як основа. Праворуч, він говорить a до m означає помножити m множники a Нижче цього, він говорить a до m дорівнює раз раз на раз a, з m факторів, написаних нижче синім кольором.$

Це читається як до м ^го потужності.

У виразі a ^m показник вказує нам, скільки разів ми використовуємо базу a як фактор.

$З лівого боку показано 7 на 3-й потужності. Нижче 7 разів 7 разів 7, з 3 факторами, написаними нижче. З правого боку показані дужки негативні 8 до 5-го ступеня. Нижче негативний 8 разів негативний 8 разів негативний 8 разів негативний 8 разів негативний 8 разів негативний 8, з 5 факторами, написаними нижче.$

Перш ніж ми почнемо працювати зі змінними виразами, що містять експоненти, давайте спростимо кілька виразів, що включають тільки числа.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Спрощення: (a) 5 ³ (b) 9 ¹

Рішення

(а) 5 ³

Помножте 3 множника на 5.	5 • 5 • 5
Спростити.	125

(б) 9 ¹

Помножте на 1 коефіцієнт 9.

Вправа$\PageIndex{1}$:

Спрощення: (a) 4 ³ (b) 11 ¹

Відповідь: 64

Відповідь б: 11

Вправа$\PageIndex{2}$:

Спрощення: (a) 3 ⁴ (b) 21 ¹

Відповідь: 81

Відповідь б: 21

Приклад$\PageIndex{2}$:

Спрощення: (a)$\left(\dfrac{7}{8}\right)^{2}$ (b) (0.74) ²

Рішення

(а)$\left(\dfrac{7}{8}\right)^{2}$

Помножте два фактори.	$$\ ліворуч (\ dfrac {7} {8}\ праворуч)\ ліворуч (\ dfrac {7} {8}\ праворуч) $$
Спростити.	$$\ фрак {49} {64} $$

(б) (0,74⁾

Помножте два фактори.	(0.74) (0.74)
Спростити.	0.5476

Вправа$\PageIndex{3}$:

Спрощення: (а)$\left(\dfrac{5}{8}\right)^{2}$ (b) (^0.672)

Відповідь: $\frac{25}{64}$

Відповідь б: 0,4489

Вправа$\PageIndex{4}$:

Спрощення: (а)$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3}$ (b) (^0.1272)

Відповідь: $\frac{8}{125}$

Відповідь б: 0.016129

Приклад$\PageIndex{3}$:

Спрощення: (a) (−3) ⁴ (b) −3 ⁴

Рішення

(а) (⁻³⁴)

Помножте чотири множники −3.	(−3) (−3) (−3) (−3)
Спростити.	81

(б) −3 ⁴

Помножте два фактори.	− (3 • 3 • 3)
Спростити.	−81

Зверніть увагу на подібності та відмінності частин (a) та (b). Чому відповіді різні? У частині (a) дужки говорять нам про те, щоб підняти (−3) до ^4-ї степені. У частині (б) піднімаємо тільки 3 до ^4-ї потужності, а потім знаходимо протилежне.

Вправа$\PageIndex{5}$:

Спрощення: (a) (−2) ⁴ (b) −2 ⁴

Відповідь: 16

Відповідь б: -16

Вправа$\PageIndex{6}$:

Спрощення: (a) (−8) ² (b) −8 ²

Відповідь: 64

Відповідь б: -64

Спрощення виразів за допомогою властивості добутку експонентів

Ви бачили, що коли ви комбінуєте подібні терміни шляхом додавання та віднімання, вам потрібно мати однакову базу з однаковим показником. Але коли ви множите і ділите, показники можуть бути різними, а іноді основи можуть бути різними, теж. Ми виведемо властивості експонентів, шукаючи шаблони в декількох прикладах. Усі властивості експоненти мають значення true для будь-яких дійсних чисел, але зараз ми будемо використовувати лише цілі показники числа.

Для початку ми розглянемо приклад, який веде до Product Product Property.

	$x^ {2}\ точка х ^ {2} $$
Що це означає? Скільки факторів взагалі?	$CNX_BMath_Figure_10_02_015_img-02.png$
Отже, у нас є	$х^ {5} $$
Зверніть увагу, що 5 - це сума показників, 2 і 3.	$x^ {2}\ cdot x^ {3}\; є\; x^ {2+3},\; або\; x^ {5} $$
Пишемо:	$\ почати {спліт} &x^ {2}\ cdot x^ {3}\\ &x^ {2+3}\\ &x^ {5}\ кінець {спліт} $$

База залишилася такою ж, і ми додали експоненти. Це призводить до властивості продукту для експонентів.

Визначення: Властивість добутку експонентів

Якщо a - дійсне число, а m, n підраховують числа, то

\[a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\]

Щоб помножити з подібними основами, додайте показники.

Приклад з цифрами допомагає перевірити цю властивість.

\[\begin{split} 2^{2} \cdot 2^{3} &\stackrel{?}{=} 2^{2+3} \\ 4 \cdot 8 &\stackrel{?}{=} 2^{5} \\ 32 &= 32\; \checkmark \end{split}\]

Приклад$\PageIndex{4}$:

Спрощення: x ⁵ • x ⁷.

Рішення

Використовуйте властивість продукту, a ^m • a ⁿ = a ^{m + n}.	$x^ {\ колір тексту {червоний} {5+7}} $$
Спростити.	$х^ {12} $$

Вправа$\PageIndex{7}$:

Спрощення: x ⁷ • x ⁸.

Відповідь: х ¹⁵

Вправа$\PageIndex{8}$:

Спрощення: x ⁵ • x ¹¹.

Відповідь: х ¹⁶

Приклад$\PageIndex{5}$:

Спрощення: b ⁴ • б.

Рішення

Перепишіть, b = b ¹.	$$b^ {4}\ точка b^ {1} $$
Використовуйте властивість продукту, a ^m • a ⁿ = a ^{m + n}.	$$b^ {\ колір тексту {червоний} {4+1}} $$
Спростити.	$$b^ {5} $$

Вправа$\PageIndex{9}$:

Спрощення: p ⁹ • с.

Відповідь: р. ¹⁰

Вправа$\PageIndex{10}$:

Спрощення: m • м ⁷.

Відповідь: м ⁸

Приклад$\PageIndex{6}$:

Спрощення: 2 ⁷ • 2 ⁹.

Рішення

Використовуйте властивість продукту, a ^m • a ⁿ = a ^{m + n}.	$2^ {\ колір тексту {червоний} {7+9}} $$
Спростити.	$2^ {16} $$

Вправа$\PageIndex{11}$:

Спрощення: 6 • 6 ⁹.

Відповідь: 6 ¹⁰

Вправа$\PageIndex{12}$:

Спрощення: 9 ⁶ • 9 ⁹.

Відповідь: 9 ¹⁵

Приклад$\PageIndex{7}$:

Спрощення: y ¹⁷ • y ²³.

Рішення

Зверніть увагу, основи однакові, тому додайте експоненти.	$$y^ {\ колір тексту {червоний} {17+23}} $$
Спростити.	$р^ {40} $$

Вправа$\PageIndex{13}$:

Спрощення: y ²⁴ • y ¹⁹.

Відповідь: на ⁴³

Вправа$\PageIndex{14}$:

Спрощення: z ¹⁵ • z ²⁴.

Відповідь: з ³⁹

Ми можемо розширити властивість продукту експонентів до більш ніж двох факторів.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Спрощення: х ³ • х ⁴ • х ².

Рішення

Додайте експоненти, так як основи однакові.	$x^ {\ колір тексту {червоний} {3+4+2}} $$
Спростити.	$х^ {9} $$

Вправа$\PageIndex{15}$:

Спрощення: х ⁷ • х ⁵ • х ⁹.

Відповідь: х ²¹

Вправа$\PageIndex{16}$:

Спрощення: y ³ • y ⁸ • y ⁴.

Відповідь: на ¹⁵

Спрощення виразів за допомогою властивості степенів експонентів

Тепер давайте розглянемо експоненціальний вираз, який містить владу, підняту до влади. Подивіться, чи зможете ви відкрити загальну власність.

	$$ (x^ {2}) ^ {3} $$
Що це означає?	$x^ {2}\ крапка x^ {2}\ крапка x^ {2} $$
Скільки факторів взагалі?	$CNX_BMath_Figure_10_02_021_img-03.png$
Отже, у нас є	$х^ {6} $$
Зверніть увагу, що 6 є добутком показників, 2 і 3.	$ (x^ {2}) ^ {3}\; є\; x^ {2\ cdot 3}\; або\; x^ {6} $$
Пишемо:	$\ почати {спліт} & (x^ {2}) ^ {3}\\ &x^ {2\ cdot 3}\\ &x^ {6}\ кінець {спліт} $$

Ми помножили показники. Це призводить до властивості влади для експонентів.

Визначення: Власна властивість експонентів

Якщо a - дійсне число, а m, n - цілі числа, то

\[(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\]

Щоб підняти силу до сили, помножте показники.

Приклад з цифрами допомагає перевірити цю властивість.

\[\begin{split} (5^{2})^{3} &\stackrel{?}{=} 5^{2 \cdot 3} \\ (25)^{3} &\stackrel{?}{=} 5^{6} \\ 15,625 &= 15,625\; \checkmark \end{split}\]

Приклад$\PageIndex{9}$:

Спрощення: (а) (x ⁵) ⁷ (b) (3 ⁶) ⁸

Рішення

(а) (х ⁵) ⁷

Використовуйте властивість Потужність, (a ^m) ⁿ = a ^{m • n}.	$x^ {\ колір тексту {червоний} {5\ крапка 7}} $$
Спростити.	$х^ {35} $$

(б) (3 ^⁶⁸)

Використовуйте властивість Потужність, (a ^m) ⁿ = a ^{m • n}.	$3^ {\ колір тексту {червоний} {6\ крапка 8}} $$
Спростити.	$х^ {48} $$

Вправа$\PageIndex{17}$:

^{Спрощення: (а) (x ⁷) ⁴ (b) (7) ⁴⁸}

Відповідь: х ²⁸

Відповідь б: 7 ³²

Вправа$\PageIndex{18}$:

Спрощення: (а) (х ⁶) ⁹ (b) (8 ⁶) ⁷

Відповідь: на ⁵⁴

Відповідь б: 8 ⁴²

Автори та атрибуція

Template:ContribOpenStaxPreAlgebra

Визначення: Експоненціальне позначення

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Вправа\(\PageIndex{1}\):

Вправа\(\PageIndex{2}\):

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Вправа\(\PageIndex{3}\):

Вправа\(\PageIndex{4}\):

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Вправа\(\PageIndex{5}\):

Вправа\(\PageIndex{6}\):

Визначення: Властивість добутку експонентів

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Вправа\(\PageIndex{7}\):

Вправа\(\PageIndex{8}\):

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Вправа\(\PageIndex{9}\):

Вправа\(\PageIndex{10}\):

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Вправа\(\PageIndex{11}\):

Вправа\(\PageIndex{12}\):

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Вправа\(\PageIndex{13}\):

Вправа\(\PageIndex{14}\):

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Вправа\(\PageIndex{15}\):

Вправа\(\PageIndex{16}\):

Визначення: Власна властивість експонентів

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Вправа\(\PageIndex{17}\):

Вправа\(\PageIndex{18}\):