10.8: Цілочисельні показники та наукові позначення (частина 1)
- Page ID
- 57911
- Використовуйте визначення негативного показника
- Спрощення виразів з цілими показниками
- Перетворення з десяткових позначень в наукові позначення
- Перетворення наукового позначення в десяткову форму
- Множення і ділення за допомогою наукових позначень
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Що таке значення місця 6 в числі 64 891? Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.1.3.
- Назвіть десяткове число 0.0012. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 5.1.1.
- Відніміть: 5 − (−3). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.5.8.
Використання визначення негативного показника
Коефіцієнтна властивість експонентів, введена в Divide Monomials, мала дві форми залежно від того, чи була експонента в чисельнику чи знаменнику більшою.
Якщо a є дійсним числом, a ≠ 0, а m, n - цілі числа, то
\[\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},\; m>n \quad and \quad \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n-m}},\; n>m\]
Що робити, якщо ми просто віднімаємо показники, незалежно від того, який більший? Розглянемо\(\dfrac{x^{2}}{x^{5}}\). Віднімаємо показник в знаменнику від показника в чисельнику.
\[\begin{split} &\; \dfrac{x^{2}}{x^{5}} \\ &x^{2-5} \\ &x^{-3} \end{split}\]
Ми також можемо спростити\(\dfrac{x^{2}}{x^{5}}\), розділивши загальні фактори:\(\dfrac{x^{2}}{x^{5}}\).
\[\begin{split} &\dfrac{\cancel{x} \cdot \cancel{x}}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot x \cdot x} \\ &\qquad \quad \dfrac{1}{x^{3}} \end{split}\]
Це означає, що\(x^{-3} = \dfrac{1}{x^{3}}\) і це призводить нас до визначення негативного показника.
Якщо n - натуральне число і a ≠ 0, то\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\).
Негативний показник говорить нам переписати вираз, взявши взаємну основу, а потім змінивши знак експоненти. Будь-який вираз, що має негативні показники, не вважається в простій формі. Ми будемо використовувати визначення негативного показника та інші властивості експонент для написання виразу тільки з додатними показниками.
Спрощення: (a) 4 −2 (b) 10 −3
Рішення
(а) 4 −2
| Використовуйте визначення негативного показника,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ дфрак {1} {4^ {2}} $$ |
| Спростити. | $$\ фрак {1} {16} $$ |
(б) 10 −3
| Використовуйте визначення негативного показника,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ дфрак {1} {10^ {3}} $$ |
| Спростити. | $$\ фрак {1} {100} $$ |
Спрощення: (a) 2 −3 (b) 10 −2
- Відповідь на
-
\(\frac{1}{8}\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{100}\)
Спрощення: (a) 3 −2 (b) 10 −4
- Відповідь на
-
\(\frac{1}{9}\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{10,000}\)
Спрощуючи будь-який вираз з показниками, ми повинні бути обережними, щоб правильно визначити базу, яка піднімається до кожного показника.
Спрощення: (a) (−3) −2 (b) −3 −2
Рішення
Негатив в показнику не впливає на знак підстави.
а) (−3) −2
| Показник застосовується до основи, −3. | $$ (-3) ^ {-2} $$ |
| Візьміть зворотну базу і змініть знак показника. | $$\ дфрак {1} {(-3) ^ {2}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {1} {9} $$ |
(б) −3 −2
| Вираз −3 −2 означає «знайти протилежне 3 −2. Показник застосовується тільки до бази, 3. | $$-3^ {-2} $$ |
| Перепишіть як продукт з −1. | $-1\ точка 3^ {-2} $$ |
| Візьміть зворотну базу і змініть знак показника. | $-1\ точка\ фрак {1} {3^ {2}} $$ |
| Спростити. | $$-\ дфрак {1} {9} $$ |
Спрощення: (a) (−5) −2 (b) −5 −2
- Відповідь на
-
\(\frac{1}{25}\)
- Відповідь б
-
\(-\frac{1}{25}\)
Спрощення: (a) (−2) −2 (b) −2 −2
- Відповідь на
-
\(\frac{1}{4}\)
- Відповідь б
-
\(-\frac{1}{4}\)
Треба уважно стежити за порядком операцій. У наступному прикладі частини (a) і (b) виглядають аналогічно, але ми отримуємо різні результати.
Спрощення: (a) 4 • 2 −1 (b) (4 • 2) −1
Рішення
Пам'ятайте завжди стежити за порядком операцій.
(а) 4 • 2 −1
| Робіть показники перед множенням. | $4\ точка 2^ {-1} $$ |
| Використовувати\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $4\ точка\ фрак {1} {2^ {1}} $$ |
| Спростити. | $2$$ |
(б) (4 • 2) −1
| Спочатку спрощуйте всередині дужок. | $$ (8) ^ {-1} $$ |
| Використовувати\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ дфрак {1} {8^ {1}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {1} {8} $$ |
Спрощення: (a) 6 • 3 −1 (b) (6 • 3) −1
- Відповідь на
-
\(2\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{18}\)
Спрощення: (a) 8 • 2 −2 (b) (8 • 2) −2
- Відповідь на
-
\(2\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{256}\)
Коли змінна піднімається до негативного показника, ми застосовуємо визначення так само, як і з числами.
Спрощення: x −6.
Рішення
| Використовуйте визначення негативного показника,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ дфрак {1} {x^ {6}} $$ |
Спрощення: y −7.
- Відповідь
-
\(\frac{1}{y^7}\)
Спрощення: z -8.
- Відповідь
-
\(\frac{1}{z^8}\)
Коли є продукт і показник, ми повинні бути обережними, щоб застосувати показник до правильної кількості. Відповідно до порядку операцій вирази в дужках спрощуються перед застосуванням експонент. Ми побачимо, як це працює в наступному прикладі.
Спрощення: (a) 5y −1 (b) (5y) −1 (c) (−5y) −1
Рішення
(а) 5й −1
| Зверніть увагу, що показник застосовується лише до бази y. | $5й^ {-1} $$ |
| Візьміть зворотний y і змініть знак показника. | $5\ точка\ фрак {1} {y^ {1}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {5} {y} $$ |
(б) (5й) −1
| Тут дужки роблять показник застосовуватися до основи 5y. | $$ (5 років) ^ {-1} $$ |
| Візьміть зворотний 5y і змініть знак показника. | $$\ дфрак {1} {(5 років) ^ {1}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {1} {5} $$ |
(c) (−5y) −1
| Базою є −5y. Візьміть відповідне значення −5y і змініть знак показника. | $$\ дфрак {1} {(-5й) ^ {1}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {1} {-5y} $$ |
| Використовувати\(\dfrac{a}{-b} = - \dfrac{a}{b}\). | $$-\ дфрак {1} {5y} $$ |
Спрощення: (a) 8p −1 (b) (8p) −1 (c) (−8p) −1
- Відповідь на
-
\(\frac{8}{p}\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{8p}\)
- Відповідь c
-
\(-\frac{1}{8p}\)
Спрощення: (a) 11q −1 (b) (11q) −1 (c) (−11q) −1
- Відповідь на
-
\(\frac{11}{q}\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{11q}\)
- Відповідь c
-
\(-\frac{1}{11q}\)
Тепер, коли ми визначили від'ємні показники, часткове властивість експонентів потребує лише однієї форми\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}\), де a ≠ 0 і m і n - цілі числа.
Коли показник у знаменнику більше показника в чисельнику, показник частки буде від'ємним. Якщо результат дасть нам негативний показник, ми перепишемо його, використовуючи визначення негативних показників,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\).
Спрощення виразів з цілими показниками
Усі властивості експоненти, які ми розробили раніше в цій главі з цілими числовими показниками, також застосовуються до цілих показників. Ми повторюємо їх тут для довідки.
Якщо a, b - дійсні числа, а m, n - цілі числа, то
| Властивість продукту | а м • а н = а м + н |
| Власна власність | (А м) n = а м • н |
| Продукт у власність влади | (аб) м = а м б м |
| Частка власності | \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\)= a m − n, a ≠ 0, м > n |
| \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n-m}}\), a ≠ 0, n > м | |
| Нульова властивість показника | a 0 = 1, a ≠ 0 |
| Коефіцієнт до власності влади | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}\), b ≠ 0 |
| Визначення негативного показника | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\) |
Спрощення: (a) x −4 • x 6 (b) y −6 • y 4 (c) z −5 • z −3
Рішення
(а) х −4 • х 6
| Використовуйте властивість продукту, a m • a n = a m + n. | $х^ {-4+6} $$ |
| Спростити. | $х^ {2} $$ |
(б) у −6 • у 4
| Бази однакові, тому додайте експоненти. | $$р^ {-6+4} $$ |
| Спростити. | $$р^ {-2} $$ |
| Використовуйте визначення негативного показника,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ дфрак {1} {y^ {2}} $$ |
(c) z −5 • z −3
| Бази однакові, тому додайте експоненти. | $$з^ {-5-3} $$ |
| Спростити. | $$з^ {-8} $$ |
| Використовуйте визначення негативного показника,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $$\ дфрак {1} {z^ {8}} $$ |
Спрощення: (a) x −3 • x 7 (b) y −7 • y 2 (c) z −4 • z −5
- Відповідь на
-
\(x^4\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{y^5}\)
- Відповідь c
-
\(\frac{1}{z^9}\)
Спрощення: (a) a −1 • a 6 (b) b −6 • b 4 (c) c −8 • c −7
- Відповідь на
-
\(a^5\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{b^4}\)
- Відповідь c
-
\(\frac{1}{c^{15}}\)
У наступних двох прикладах ми почнемо з використання Commutative Property, щоб згрупувати однакові змінні разом. Це полегшує ідентифікацію подібних баз перед використанням Product Property of Exponents.
Спростити: (m 4 n −3) (m −5 n −2).
Рішення
| Використовуйте Комутативну властивість, щоб отримати подібні основи разом. | $$м^ {4} м^ {-5}\ cdot n^ {-2} n^ {-3} $$ |
| Додайте експоненти для кожної бази. | $$м^ {-1}\ крапка n^ {-5} $$ |
| Приймайте взаємні і міняйте знаки показників. | $$\ dfrac {1} {м^ {1}}\ ddot\ dfrac {1} {n^ {5}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {1} {mn^ {5}} $$ |
Спростити: (p 6 q −2) (p −9 q −1).
- Відповідь
-
\(\frac{1}{p^3q^3}\)
Спростити: (r 5 s −3) (r −7 s −5).
- Відповідь
-
\(\frac{1}{r^2 s^8}\)
Якщо мономи мають числові коефіцієнти, ми множимо коефіцієнти, так само, як ми це робили в Використовувати властивості множення показників.
Спростити: (2x −6 y 8) (−5x 5 y −3).
Рішення
| Перепишіть з подібними основами разом. | $2 (-5)\ точка (x^ {-6} x^ {5})\ точка (y^ {8} y^ {-3}) $$ |
| Спростити. | $-10\ точка x ^ {-1}\ точка y^ {5} $$ |
| Використовуйте визначення негативного показника,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $-10\ точка\ drac {1} {x^ {1}}\ точка y^ {5} $$ |
| Спростити. | $$\ dfrac {-10y^ {5}} {x} $$ |
Спростити: (3u −5 v 7) (−4u 4 v −2).
- Відповідь
-
\(-\frac{12v^5}{u}\)
Спростити: (−6c −6 d 4) (−5c −2 d −1).
- Відповідь
-
\(\frac{30d^3}{c^8}\)
У наступних двох прикладах ми будемо використовувати властивість живлення та продукт до властивості живлення.
Спростити: (k 3) −2.
Рішення
| Використовуйте продукт для властивості потужності, (ab) m = a m b m. | $$к^ {3 (-2)} $$ |
| Спростити. | $$к^ {-6} $$ |
| Перепишіть з позитивним показником. | $$\ дфрак {1} {k^ {6}} $$ |
Спрощення: (x 4) −1.
- Відповідь
-
\(\frac{1}{x^4}\)
Спростити: (y 2) −2.
- Відповідь
-
\(\frac{1}{y^4}\)
Спрощення: (5x −3) 2.
Рішення
| Використовуйте продукт для властивості потужності, (ab) m = a m b m. | $5^ {2} (x^ {-3}) ^ {2} $$ |
| Спростити 5 2 і помножити показники x за допомогою властивості Power, (a m) n = a m • n. | $25к^ {-6} $$ |
| Перепишіть x −6 за допомогою визначення від'ємного показника,\(a^{−n} = \dfrac{1}{a^{n}}\). | $25\ точка\ фрак {1} {x^ {6}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {25} {x^ {6}} $$ |
Спрощення: (8a −4) 2.
- Відповідь
-
\(\frac{64}{a^8}\)
Спростити: (2c −4) 3.
- Відповідь
-
\(\frac{8}{c^12}\)
Щоб спростити дріб, ми використовуємо властивість Коефіцієнт.
Спростити:\(\dfrac{r^{5}}{r^{−4}}\).
Рішення
| Використовуйте властивість частки,\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}\). | $r^ {5- (\ колір тексту {червоний} {-4})} $$ |
| Будьте обережні, щоб відняти 5 - (\ textcolor {червоний} {-4}). | |
| Спростити. | $$р^ {9} $$ |
Спростити:\(\dfrac{x^{8}}{x^{−3}}\).
- Відповідь
-
\(x^{11}\)
Спростити:\(\dfrac{y^{7}}{y^{-6}}\).
- Відповідь
-
\(y^{13}\)