10.6: Розділити мономи (частина 1)
- Page ID
- 57901
- Спрощення виразів за допомогою властивості коефіцієнтів
- Спрощення виразів з нульовими показниками
- Спрощення виразів за допомогою коефіцієнта до властивості живлення
- Спрощення виразів за допомогою застосування декількох властивостей
- Розділити мономи
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Спростити:\(\dfrac{8}{24}\). Якщо ви пропустили проблему, перегляньте приклад 4.3.1.
- Спрощення: (2м 3) 5. Якщо ви пропустили проблему, перегляньте приклад 10.3.13.
- Спростити:\(\dfrac{12x}{12y}\). Якщо ви пропустили проблему, перегляньте приклад 4.3.5.
Спрощення виразів за допомогою коефіцієнтної властивості експонентів
Раніше в цьому розділі ми розробили властивості експонент для множення. Ми підсумовуємо ці властивості тут.
Якщо a, b - дійсні числа, а m, n - цілі числа, то
| Властивість продукту | а м • а н = а м + н |
| Власність влади | (А м) n = а м • н |
| Продукт до влади | (аб) м = а м б м |
Тепер ми розглянемо властивості показника для ділення. Швидке оновлення пам'яті може допомогти, перш ніж ми почнемо роботу. У «Дроби» ви дізналися, що дроби можна спростити шляхом поділу спільних множників від чисельника та знаменника за допомогою властивості еквівалентних дробів. Ця властивість також допоможе нам працювати з алгебраїчними дробами, які також є частками.
Якщо a, b, c - цілі числа, де b ≠ 0, c ≠ 0, то
\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c}\quad and\quad \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{a}{b}\]
Як і раніше, ми спробуємо виявити нерухомість, розглянувши деякі приклади.
| Розглянемо | $$\ дфрак {x^ {5}} {x^ {2}} $$ | і | $$\ дфрак {x^ {2}} {x^ {3}} $$ |
| Що вони означають? | $\ drac {х\ точка х\ точка х\ точка х\ точка х\ точка х} {х\ точка х} $$ | $\ dfrac {х\ точка х} {х\ точка х\ точка х} $$ | |
| Використовувати властивість еквівалентних дробів | $\ dfrac {\ скасувати {x}\ cdot\ скасувати {x}\ точка х\ точка х\ точка x} {\ скасувати {x}\ cdot\ скасувати {x}\ cdot 1} $$ | $$\ dfrac {\ скасувати {x}\ cdot\ скасувати {x}\ dot 1} {\ скасувати {x}\ cdot\ скасувати {x}\ dot x} $$ | |
| Спростити. | $х^ {3} $$ | $$\ дфрак {1} {x} $$ |
Зверніть увагу, що в кожному випадку основи були однаковими, і ми віднімали показники.
- Коли більший показник був у чисельнику, ми залишилися з множниками в чисельнику і 1 в знаменнику, який ми спростили.
- Коли більший показник знаходився в знаменнику, ми залишалися з множниками в знаменнику, і 1 в чисельнику, який не вдалося спростити.
Пишемо:
\[\begin{split} \dfrac{x^{5}}{x^{2}} \qquad &\quad \dfrac{x^{2}}{x^{3}} \\ x^{5-2} \qquad &\; \dfrac{1}{x^{3-2}} \\ x^{3} \qquad \quad &\quad \dfrac{1}{x} \end{split}\]
Якщо a є дійсним числом, a ≠ 0, а m, n - цілі числа, то
\[\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \; m>n \quad and \quad \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n-m}},\; n>m\]
Пара прикладів з цифрами може допомогти перевірити цю властивість.
\[\begin{split} \dfrac{3^{4}}{3^{2}} &\stackrel{?}{=} 3^{4-2} \qquad \; \dfrac{5^{2}}{5^{3}} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{5^{3-2}} \\ \dfrac{81}{9} &\stackrel{?}{=} 3^{2} \qquad \; \; \dfrac{25}{125} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{5^{1}} \\ 9 &= 9\; \checkmark \qquad \; \; \; \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{5}\; \checkmark \end{split}\]
Коли ми працюємо з числами, а показник менше або дорівнює 3, ми застосуємо показник. Коли показник більше 3, ми залишаємо відповідь в експоненціальній формі.
Спростити: (a)\(\dfrac{x^{10}}{x^{8}}\) (b)\(\dfrac{2^{9}}{2^{2}}\)
Рішення
Щоб спростити вираз з часткою, нам потрібно спочатку порівняти показники в чисельнику і знаменнику.
(а)
| Починаючи з 10 > 8, є більше множників х в чисельнику. | $$\ дфрак {x^ {10}} {x^ {8}} $$ |
| Використовуйте властивість частки з m > n,\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}\). | $x^ {\ колір тексту {червоний} {10-8}} $$ |
| Спростити. | $х^ {2} $$ |
(б)
| Починаючи з 9 > 2, в чисельнику більше множників 2. | $$\ дфрак {2^ {9}} {2^ {2}} $$ |
| Використовуйте властивість частки з m > n,\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}\). | $2^ {\ колір тексту {червоний} {9-2}} $$ |
| Спростити. | $2^ {7} $$ |
Зверніть увагу, що коли більший показник знаходиться в чисельнику, ми залишаємося з множниками в чисельнику.
Спростити: (a)\(\dfrac{x^{12}}{x^{9}}\) (b)\(\dfrac{7^{14}}{7^{5}}\)
- Відповідь
-
\(x^3\)
- Відповідь б
-
\(7^9\)
Спростити: (a)\(\dfrac{y^{23}}{y^{17}}\) (b)\(\dfrac{8^{15}}{8^{7}}\)
- Відповідь
-
\(y^6\)
- Відповідь б
-
\(8^8\)
Спростити: (a)\(\dfrac{b^{10}}{b^{15}}\) (b)\(\dfrac{3^{3}}{3^{5}}\)
Рішення
Щоб спростити вираз з часткою, нам потрібно спочатку порівняти показники в чисельнику і знаменнику.
(а)
| Починаючи з 15 > 10, в знаменнику більше факторів b. | $$\ дфрак {b^ {10}} {b^ {15}} $$ |
| Використовуйте частку властивість з n > m,\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n − m}}\). | $$\ dfrac {\ колір тексту {червоний} {1}} {b^ {\ textcolor {червоний} {15-10}}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {1} {b^ {5}} $$ |
(б)
| Починаючи з 5 > 3, в знаменнику більше факторів 3. | $$\ дфрак {3^ {3}} {3^ {5}} $$ |
| Використовуйте частку властивість з n > m,\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n − m}}\). | $$\ dfrac {\ колір тексту {червоний} {1}} {3^ {\ колір тексту {червоний} {5-3}}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {1} {3^ {2}} $$ |
| Застосовуємо показник. | $$\ фрак {1} {9} $$ |
Зверніть увагу, що коли більший показник знаходиться в знаменнику, ми залишаємося з множниками в знаменнику і 1 в чисельнику.
Спростити: (a)\(\dfrac{x^{8}}{x^{15}}\) (b)\(\dfrac{12^{11}}{12^{21}}\)
- Відповідь
-
\(\frac{1}{x^7}\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{12^10}\)
Спростити: (a)\(\dfrac{m^{17}}{m^{26}}\) (b)\(\dfrac{7^{8}}{7^{14}}\)
- Відповідь
-
\(\frac{1}{m^9}\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{7^6}\)
Спростити: (a)\(\dfrac{a^{5}}{a^{9}}\) (b)\(\dfrac{x^{11}}{x^{7}}\)
Рішення
(а)
| Починаючи з 9 > 5, є більше а в знаменнику, і тому ми закінчимо з факторами в знаменнику. | $$\ дфрак {a^ {5}} {a^ {9}} $$ |
| Використовуйте частку властивість з n > m,\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n − m}}\). | $$\ dfrac {\ колір тексту {червоний} {1}} {a^ {\ textcolor {червоний} {9-5}}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {1} {a^ {4}} $$ |
(б)
| Зверніть увагу, що в чисельнику більше множників х, оскільки 11 > 7. Таким чином, ми закінчимо з факторами в чисельнику. | $$\ дфрак {x^ {11}} {x^ {97}} $$ |
| Використовуйте властивість частки з m > n,\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}\). | $a^ {\ колір тексту {червоний} {11-7}} $$ |
| Спростити. | $х^ {4} $$ |
Спростити: (a)\(\dfrac{b^{19}}{b^{11}}\) (b)\(\dfrac{z^{5}}{z^{11}}\)
- Відповідь
-
\(b^8\)
- Відповідь б
-
\(\frac{1}{z^6}\)
Спростити: (a)\(\dfrac{p^{9}}{p^{17}}\) (b)\(\dfrac{w^{13}}{w^{9}}\)
- Відповідь
-
\(\frac{1}{p^8}\)
- Відповідь б
-
\(w^4\)
Спрощення виразів з нульовими показниками
Особливий випадок часткового властивості - це коли показники чисельника та знаменника рівні, наприклад, вираз на кшталт\(\dfrac{a^{m}}{a^{m}}\). З більш ранніх робіт з дробами ми знаємо, що
\[\dfrac{2}{2} = 1 \qquad \dfrac{17}{17} = 1 \qquad \dfrac{-43}{-43} = 1\]
У словах число, розділене саме по собі, дорівнює 1. Отже\(\dfrac{x}{x}\) = 1, для будь-якого x (x ≠ 0), так як будь-яке число, розділене саме по собі, дорівнює 1.
Коефіцієнтна властивість показників показує нам, як спростити,\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\) коли m > n і коли n < m шляхом віднімання показників. Що робити, якщо m = n?
Тепер ми спростимо двома\(\dfrac{a^{m}}{a^{m}}\) способами, щоб привести нас до визначення нульового показника. Розглянемо спочатку\(\dfrac{8}{8}\), який ми знаємо 1.
| $$\ фрак {8} {8} = 1$$ | |
| Напишіть 8 як 2 3. | $$\ дфрак {2^ {3}} {2^ {3}} = 1$$ |
| Відніміть показники. | $2^ {3-3} = 1$$ |
| Спростити. | $2^ {0} = 1$$ |
Ми бачимо\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\) спрощує до 0 і до 1. Отже, а 0 = 1.
Якщо a - ненульове число, то 0 = 1. Будь-яке ненульове число, підняте до нульової потужності, дорівнює 1.
У цьому тексті ми припускаємо, що будь-яка змінна, яку ми піднімаємо до нульової потужності, не дорівнює нулю.
Спрощення: (a) 12 0 (b) y 0
Рішення
Визначення говорить, що будь-яке ненульове число, підняте до нульової потужності, дорівнює 1.
(а) 12 0
| Використовуйте визначення нульового показника. | 1 |
(б) у 0
| Використовуйте визначення нульового показника. | 1 |
Спрощення: (а) 17 0 (б) м 0
- Відповідь
-
1
- Відповідь б
-
1
Спрощення: (a) k 0 (b) 29 0
- Відповідь
-
1
- Відповідь б
-
1
Тепер, коли ми визначили нульовий показник, ми можемо розширити всі властивості експонентів, щоб включити ціле число експонентів.
Як щодо підняття виразу до нульової потужності? Давайте подивимося на (2x) 0. Ми можемо використовувати продукт до правила влади, щоб переписати цей вираз.
| (2х) 0 | |
| Використовуйте продукт до правила живлення. | 2 0 х 0 |
| Використовуйте властивість нульового показника. | 1 • 1 |
| Спростити. | 1 |
Це говорить нам про те, що будь-який ненульовий вираз, піднятий до нульової потужності, дорівнює одиниці.
Спрощення: (7z) 0.
Рішення
| Використовуйте визначення нульового показника. | 1 |
Спрощення: (−4y) 0.
- Відповідь
-
1
Спростити:\(\left(\dfrac{2}{3} x\right)^{0}\).
- Відповідь
-
1
Спрощення: (a) (−3x 2 y) 0 (b) −3x 2 y 0
Рішення
(а) (−3х 2 у) 0
| Виріб піднімається на нульову потужність. | (−3х 2 г) 0 |
| Використовуйте визначення нульового показника. | 1 |
(б) −3x 2 y 0
| Зверніть увагу, що тільки змінна y піднімається до нульової потужності. | −3x 2 у 0 |
| Використовуйте визначення нульового показника. | −3х 2 • 1 |
| Спростити. | −3х 2 |
Спрощення: (а) (7x 2 y) 0 (b) 7x 2 y 0
- Відповідь
-
1
- Відповідь б
-
\(7x^2\)
Спрощення: (a) −23x 2 y 0 (b) (−23x 2 y) 0
- Відповідь
-
\(-23x^2\)
- Відповідь б
-
1
Спрощення виразів за допомогою коефіцієнта до властивості влади
Тепер ми розглянемо приклад, який приведе нас до частки до власності влади.
| $\ ліворуч (\ dfrac {x} {y}\ праворуч) ^ {3} $$ | |
| Це означає | $\ dfrac {x} {y}\ ddot\ dfrac {x} {y}\ ddot\ drac {x} {y} $$ |
| Множимо дроби. | $\ dfrac {х\ точка х\ точка х} {y\ точка у\ точка у} $$ |
| Пишіть з показниками. | $$\ дфрак {x^ {3}} {y^ {3}} $$ |
Зверніть увагу, що показник застосовується як до чисельника, так і до знаменника. Ми бачимо, що\(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{3}\) є\(\dfrac{x^{3}}{y^{3}}\). Пишемо:
\[\left(\dfrac{x}{y}\right)^{3} = \dfrac{x^{3}}{y^{3}}\]
Це призводить до частки до властивості влади для експонентів.
Якщо a і b є дійсними числами, b ≠ 0, а m - лічильне число, то
\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}\]
Щоб підняти дріб до степеня, підніміть чисельник і знаменник до цієї міри.
Приклад з цифрами може допомогти розібратися в цій властивості:
\[\begin{split} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} &\stackrel{?}{=} \dfrac{2^{3}}{3^{3}} \\ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} &\stackrel{?}{=} \dfrac{8}{27} \\ \dfrac{8}{27} &= \dfrac{8}{27}\; \checkmark \end{split}\]
Спростити: (a)\(\left(\dfrac{5}{8}\right)^{2}\) (b)\(\left(\dfrac{x}{3}\right)^{4}\) (c)\(\left(\dfrac{y}{m}\right)^{3}\)
Рішення
(а)\(\left(\dfrac{5}{8}\right)^{2}\)
| Використовуйте частку до властивості влади,\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}\). | $$\ dfrac {5^ {\ колір тексту {червоний} {2}}} {8^ {\ колір тексту {червоний} {2}} $$ |
| Спростити. | $$\ фрак {25} {64} $$ |
(б)\(\left(\dfrac{x}{3}\right)^{4}\)
| Використовуйте частку до властивості влади,\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}\). | $$\ dfrac {x^ {\ колір тексту {червоний} {4}}} {3^ {\ колір тексту {червоний} {4}} $$ |
| Спростити. | $$\ дфрак {x^ {4}} {81} $$ |
(c)\(\left(\dfrac{y}{m}\right)^{3}\)
| Підняти чисельник і знаменник до третього ступеня. | $$\ dfrac {y^ {\ колір тексту {червоний} {3}}} {m^ {\ колір тексту {червоний} {3}} $$ |
Спростити: (a)\(\left(\dfrac{7}{9}\right)^{2}\) (b)\(\left(\dfrac{y}{8}\right)^{3}\) (c)\(\left(\dfrac{p}{q}\right)^{6}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{49}{81}\)
- Відповідь б
-
\(\dfrac{y^3}{512}\)
- Відповідь c
-
\(\dfrac{p^6}{q^6}\)
Спростити: (a)\(\left(\dfrac{1}{8}\right)^{2}\) (b)\(\left(\dfrac{-5}{m}\right)^{3}\) (c)\(\left(\dfrac{r}{s}\right)^{4}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{1}{64}\)
- Відповідь б
-
\(-\dfrac{125}{m^3}\)
- Відповідь c
-
\(\dfrac{r^4}{s^4}\)