10.6: Розділити мономи (частина 1)

Цілі навчання

• Спрощення виразів за допомогою властивості коефіцієнтів
• Спрощення виразів з нульовими показниками
• Спрощення виразів за допомогою коефіцієнта до властивості живлення
• Спрощення виразів за допомогою застосування декількох властивостей
• Розділити мономи

будьте готові!

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Спростити:$\dfrac{8}{24}$. Якщо ви пропустили проблему, перегляньте приклад 4.3.1.
2. Спрощення: (2м ³) ⁵. Якщо ви пропустили проблему, перегляньте приклад 10.3.13.
3. Спростити:$\dfrac{12x}{12y}$. Якщо ви пропустили проблему, перегляньте приклад 4.3.5.

Спрощення виразів за допомогою коефіцієнтної властивості експонентів

Раніше в цьому розділі ми розробили властивості експонент для множення. Ми підсумовуємо ці властивості тут.

Резюме властивостей експоненти для множення

Якщо a, b - дійсні числа, а m, n - цілі числа, то

Властивість продукту	а ^м • а ^н = а ^м + н
Власність влади	(А ^м) ^n = а ^м • н
Продукт до влади	(аб) ^м = а ^м б ^м

Тепер ми розглянемо властивості показника для ділення. Швидке оновлення пам'яті може допомогти, перш ніж ми почнемо роботу. У «Дроби» ви дізналися, що дроби можна спростити шляхом поділу спільних множників від чисельника та знаменника за допомогою властивості еквівалентних дробів. Ця властивість також допоможе нам працювати з алгебраїчними дробами, які також є частками.

Визначення: Властивість еквівалентних дробів

Якщо a, b, c - цілі числа, де b ≠ 0, c ≠ 0, то

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c}\quad and\quad \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{a}{b}$$

Як і раніше, ми спробуємо виявити нерухомість, розглянувши деякі приклади.

Розглянемо	$$\ дфрак {x^ {5}} {x^ {2}}$$	і	$$\ дфрак {x^ {2}} {x^ {3}}$$
Що вони означають?	$\ drac {х\ точка х\ точка х\ точка х\ точка х\ точка х} {х\ точка х} $$		$\ dfrac {х\ точка х} {х\ точка х\ точка х} $$
Використовувати властивість еквівалентних дробів	$\ dfrac {\ скасувати {x}\ cdot\ скасувати {x}\ точка х\ точка х\ точка x} {\ скасувати {x}\ cdot\ скасувати {x}\ cdot 1} $$		$$\ dfrac {\ скасувати {x}\ cdot\ скасувати {x}\ dot 1} {\ скасувати {x}\ cdot\ скасувати {x}\ dot x}$$
Спростити.	$х^ {3} $$		$$\ дфрак {1} {x}$$

Зверніть увагу, що в кожному випадку основи були однаковими, і ми віднімали показники.

• Коли більший показник був у чисельнику, ми залишилися з множниками в чисельнику і 1 в знаменнику, який ми спростили.
• Коли більший показник знаходився в знаменнику, ми залишалися з множниками в знаменнику, і 1 в чисельнику, який не вдалося спростити.

Пишемо:

$$\begin{split} \dfrac{x^{5}}{x^{2}} \qquad &\quad \dfrac{x^{2}}{x^{3}} \\ x^{5-2} \qquad &\; \dfrac{1}{x^{3-2}} \\ x^{3} \qquad \quad &\quad \dfrac{1}{x} \end{split}$$

Визначення: Коефіцієнтна властивість експонентів

Якщо a є дійсним числом, a ≠ 0, а m, n - цілі числа, то

$$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \; m>n \quad and \quad \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n-m}},\; n>m$$

Пара прикладів з цифрами може допомогти перевірити цю властивість.

$$\begin{split} \dfrac{3^{4}}{3^{2}} &\stackrel{?}{=} 3^{4-2} \qquad \; \dfrac{5^{2}}{5^{3}} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{5^{3-2}} \\ \dfrac{81}{9} &\stackrel{?}{=} 3^{2} \qquad \; \; \dfrac{25}{125} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{5^{1}} \\ 9 &= 9\; \checkmark \qquad \; \; \; \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{5}\; \checkmark \end{split}$$

Коли ми працюємо з числами, а показник менше або дорівнює 3, ми застосуємо показник. Коли показник більше 3, ми залишаємо відповідь в експоненціальній формі.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Спростити: (a)$\dfrac{x^{10}}{x^{8}}$ (b)$\dfrac{2^{9}}{2^{2}}$

Рішення

Щоб спростити вираз з часткою, нам потрібно спочатку порівняти показники в чисельнику і знаменнику.

(а)

Починаючи з 10 > 8, є більше множників х в чисельнику.	$$\ дфрак {x^ {10}} {x^ {8}}$$
Використовуйте властивість частки з m > n,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}$.	$x^ {\ колір тексту {червоний} {10-8}} $$
Спростити.	$х^ {2} $$

(б)

Починаючи з 9 > 2, в чисельнику більше множників 2.	$$\ дфрак {2^ {9}} {2^ {2}}$$
Використовуйте властивість частки з m > n,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}$.	$2^ {\ колір тексту {червоний} {9-2}} $$
Спростити.	$2^ {7} $$

Зверніть увагу, що коли більший показник знаходиться в чисельнику, ми залишаємося з множниками в чисельнику.

Вправа$\PageIndex{1}$:

Спростити: (a)$\dfrac{x^{12}}{x^{9}}$ (b)$\dfrac{7^{14}}{7^{5}}$

Відповідь

$x^3$

Відповідь б

$7^9$

Вправа$\PageIndex{2}$:

Спростити: (a)$\dfrac{y^{23}}{y^{17}}$ (b)$\dfrac{8^{15}}{8^{7}}$

Відповідь

$y^6$

Відповідь б

$8^8$

Приклад$\PageIndex{2}$:

Спростити: (a)$\dfrac{b^{10}}{b^{15}}$ (b)$\dfrac{3^{3}}{3^{5}}$

Рішення

Щоб спростити вираз з часткою, нам потрібно спочатку порівняти показники в чисельнику і знаменнику.

(а)

Починаючи з 15 > 10, в знаменнику більше факторів b.	$$\ дфрак {b^ {10}} {b^ {15}}$$
Використовуйте частку властивість з n > m,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n − m}}$.	$$\ dfrac {\ колір тексту {червоний} {1}} {b^ {\ textcolor {червоний} {15-10}}}$$
Спростити.	$$\ дфрак {1} {b^ {5}}$$

(б)

Починаючи з 5 > 3, в знаменнику більше факторів 3.	$$\ дфрак {3^ {3}} {3^ {5}}$$
Використовуйте частку властивість з n > m,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n − m}}$.	$$\ dfrac {\ колір тексту {червоний} {1}} {3^ {\ колір тексту {червоний} {5-3}}}$$
Спростити.	$$\ дфрак {1} {3^ {2}}$$
Застосовуємо показник.	$$\ фрак {1} {9}$$

Зверніть увагу, що коли більший показник знаходиться в знаменнику, ми залишаємося з множниками в знаменнику і 1 в чисельнику.

Вправа$\PageIndex{3}$:

Спростити: (a)$\dfrac{x^{8}}{x^{15}}$ (b)$\dfrac{12^{11}}{12^{21}}$

Відповідь

$\frac{1}{x^7}$

Відповідь б

$\frac{1}{12^10}$

Вправа$\PageIndex{4}$:

Спростити: (a)$\dfrac{m^{17}}{m^{26}}$ (b)$\dfrac{7^{8}}{7^{14}}$

Відповідь

$\frac{1}{m^9}$

Відповідь б

$\frac{1}{7^6}$

Приклад$\PageIndex{3}$:

Спростити: (a)$\dfrac{a^{5}}{a^{9}}$ (b)$\dfrac{x^{11}}{x^{7}}$

Рішення

(а)

Починаючи з 9 > 5, є більше а в знаменнику, і тому ми закінчимо з факторами в знаменнику.	$$\ дфрак {a^ {5}} {a^ {9}}$$
Використовуйте частку властивість з n > m,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = \dfrac{1}{a^{n − m}}$.	$$\ dfrac {\ колір тексту {червоний} {1}} {a^ {\ textcolor {червоний} {9-5}}}$$
Спростити.	$$\ дфрак {1} {a^ {4}}$$

(б)

Зверніть увагу, що в чисельнику більше множників х, оскільки 11 > 7. Таким чином, ми закінчимо з факторами в чисельнику.	$$\ дфрак {x^ {11}} {x^ {97}}$$
Використовуйте властивість частки з m > n,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m − n}$.	$a^ {\ колір тексту {червоний} {11-7}} $$
Спростити.	$х^ {4} $$

Вправа$\PageIndex{5}$:

Спростити: (a)$\dfrac{b^{19}}{b^{11}}$ (b)$\dfrac{z^{5}}{z^{11}}$

Відповідь

$b^8$

Відповідь б

$\frac{1}{z^6}$

Вправа$\PageIndex{6}$:

Спростити: (a)$\dfrac{p^{9}}{p^{17}}$ (b)$\dfrac{w^{13}}{w^{9}}$

Відповідь

$\frac{1}{p^8}$

Відповідь б

$w^4$

Спрощення виразів з нульовими показниками

Особливий випадок часткового властивості - це коли показники чисельника та знаменника рівні, наприклад, вираз на кшталт$\dfrac{a^{m}}{a^{m}}$. З більш ранніх робіт з дробами ми знаємо, що

$$\dfrac{2}{2} = 1 \qquad \dfrac{17}{17} = 1 \qquad \dfrac{-43}{-43} = 1$$

У словах число, розділене саме по собі, дорівнює 1. Отже$\dfrac{x}{x}$ = 1, для будь-якого x (x ≠ 0), так як будь-яке число, розділене саме по собі, дорівнює 1.

Коефіцієнтна властивість показників показує нам, як спростити,$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}$ коли m > n і коли n < m шляхом віднімання показників. Що робити, якщо m = n?

Тепер ми спростимо двома$\dfrac{a^{m}}{a^{m}}$ способами, щоб привести нас до визначення нульового показника. Розглянемо спочатку$\dfrac{8}{8}$, який ми знаємо 1.

	$$\ фрак {8} {8} = 1$$
Напишіть 8 як 2 ^3.	$$\ дфрак {2^ {3}} {2^ {3}} = 1$$
Відніміть показники.	$2^ {3-3} = 1$$
Спростити.	$2^ {0} = 1$$

Ми бачимо$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}$ спрощує до ⁰ і до 1. Отже, а ⁰ = 1.

Визначення: Нульовий показник

Якщо a - ненульове число, то ⁰ = 1. Будь-яке ненульове число, підняте до нульової потужності, дорівнює 1.

У цьому тексті ми припускаємо, що будь-яка змінна, яку ми піднімаємо до нульової потужності, не дорівнює нулю.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Спрощення: (a) 12 ⁰ (b) y ⁰

Рішення

Визначення говорить, що будь-яке ненульове число, підняте до нульової потужності, дорівнює 1.

(а) 12 ⁰

Використовуйте визначення нульового показника.

1

(б) у ⁰

Використовуйте визначення нульового показника.

1

Вправа$\PageIndex{7}$:

Спрощення: (а) 17 ⁰ (б) м ⁰

Відповідь

1

Відповідь б

1

Вправа$\PageIndex{8}$:

Спрощення: (a) k ⁰ (b) 29 ⁰

Відповідь

1

Відповідь б

1

Тепер, коли ми визначили нульовий показник, ми можемо розширити всі властивості експонентів, щоб включити ціле число експонентів.

Як щодо підняття виразу до нульової потужності? Давайте подивимося на (2x) ⁰. Ми можемо використовувати продукт до правила влади, щоб переписати цей вираз.

	(2х) ^0
Використовуйте продукт до правила живлення.	2 ^0 х ^0
Використовуйте властивість нульового показника.	1 • 1
Спростити.	1

Це говорить нам про те, що будь-який ненульовий вираз, піднятий до нульової потужності, дорівнює одиниці.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Спрощення: (7z) ⁰.

Рішення

Використовуйте визначення нульового показника.

1

Вправа$\PageIndex{9}$:

Спрощення: (−4y) ⁰.

Відповідь

1

Вправа$\PageIndex{10}$:

Спростити:$\left(\dfrac{2}{3} x\right)^{0}$.

Відповідь

1

Приклад$\PageIndex{6}$:

Спрощення: (a) (−3x ² y) ⁰ (b) −3x ² y ⁰

Рішення

(а) (−3х ² у) ⁰

Виріб піднімається на нульову потужність.	(−3х ^2 г) ^0
Використовуйте визначення нульового показника.	1

(б) −3x ² y ⁰

Зверніть увагу, що тільки змінна y піднімається до нульової потужності.	−3x ^2 у ^0
Використовуйте визначення нульового показника.	−3х ^2 • 1
Спростити.	−3х ^2

Вправа$\PageIndex{11}$:

Спрощення: (а) (7x ² y) ⁰ (b) 7x ² y ⁰

Відповідь

1

Відповідь б

$7x^2$

Вправа$\PageIndex{12}$:

Спрощення: (a) −23x ² y ⁰ (b) (−23x ² y) ⁰

Відповідь

$-23x^2$

Відповідь б

1

Спрощення виразів за допомогою коефіцієнта до властивості влади

Тепер ми розглянемо приклад, який приведе нас до частки до власності влади.

	$\ ліворуч (\ dfrac {x} {y}\ праворуч) ^ {3} $$
Це означає	$\ dfrac {x} {y}\ ddot\ dfrac {x} {y}\ ddot\ drac {x} {y} $$
Множимо дроби.	$\ dfrac {х\ точка х\ точка х} {y\ точка у\ точка у} $$
Пишіть з показниками.	$$\ дфрак {x^ {3}} {y^ {3}}$$

Зверніть увагу, що показник застосовується як до чисельника, так і до знаменника. Ми бачимо, що$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{3}$ є$\dfrac{x^{3}}{y^{3}}$. Пишемо:

$$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{3} = \dfrac{x^{3}}{y^{3}}$$

Це призводить до частки до властивості влади для експонентів.

Визначення: Коефіцієнт до енергетичної властивості експонентів

Якщо a і b є дійсними числами, b ≠ 0, а m - лічильне число, то

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$$

Щоб підняти дріб до степеня, підніміть чисельник і знаменник до цієї міри.

Приклад з цифрами може допомогти розібратися в цій властивості:

$$\begin{split} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} &\stackrel{?}{=} \dfrac{2^{3}}{3^{3}} \\ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} &\stackrel{?}{=} \dfrac{8}{27} \\ \dfrac{8}{27} &= \dfrac{8}{27}\; \checkmark \end{split}$$

Приклад$\PageIndex{7}$:

Спростити: (a)$\left(\dfrac{5}{8}\right)^{2}$ (b)$\left(\dfrac{x}{3}\right)^{4}$ (c)$\left(\dfrac{y}{m}\right)^{3}$

Рішення

(а)$\left(\dfrac{5}{8}\right)^{2}$

Використовуйте частку до властивості влади,$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$.	$$\ dfrac {5^ {\ колір тексту {червоний} {2}}} {8^ {\ колір тексту {червоний} {2}}$$
Спростити.	$$\ фрак {25} {64}$$

(б)$\left(\dfrac{x}{3}\right)^{4}$

Використовуйте частку до властивості влади,$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$.	$$\ dfrac {x^ {\ колір тексту {червоний} {4}}} {3^ {\ колір тексту {червоний} {4}}$$
Спростити.	$$\ дфрак {x^ {4}} {81}$$

(c)$\left(\dfrac{y}{m}\right)^{3}$

Підняти чисельник і знаменник до третього ступеня.

$$\ dfrac {y^ {\ колір тексту {червоний} {3}}} {m^ {\ колір тексту {червоний} {3}}$$

Вправа$\PageIndex{13}$:

Спростити: (a)$\left(\dfrac{7}{9}\right)^{2}$ (b)$\left(\dfrac{y}{8}\right)^{3}$ (c)$\left(\dfrac{p}{q}\right)^{6}$

Відповідь

$\dfrac{49}{81}$

Відповідь б

$\dfrac{y^3}{512}$

Відповідь c

$\dfrac{p^6}{q^6}$

Вправа$\PageIndex{14}$:

Спростити: (a)$\left(\dfrac{1}{8}\right)^{2}$ (b)$\left(\dfrac{-5}{m}\right)^{3}$ (c)$\left(\dfrac{r}{s}\right)^{4}$

Відповідь

$\dfrac{1}{64}$

Відповідь б

$-\dfrac{125}{m^3}$

Відповідь c

$\dfrac{r^4}{s^4}$

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribOpenStaxPreAlgebra