5.2: Поліноми
Починаємо з визначення терміна.
Визначення: Термін
Термін - це або одне число (зване постійним терміном), або добуток числа і однієї або декількох змінних.
Наприклад, кожне з наступних є терміном.
-5 \quad-3 x^{2} \quad 12 y^{2} z^{3} \quad 13 a^{2} b c^{3} \nonumber
Зверніть увагу, що перший термін є єдиним числом, тоді як інші терміни є добутком числа та однієї або декількох змінних. Наприклад,−3x^2 це продукт−3x, іx.
Визначення: коефіцієнт
Коли термін є добутком числа і однієї або декількох змінних, число називається коефіцієнтом терміна. У випадку терміна, який є єдиним числом, саме число називається коефіцієнтом.
Так, наприклад, коефіцієнти термінів-5 \quad-3 x^{2} \quad 12 y^{2} z^{3} \quad 13 a^{2} b c^{3} \nonumber є−5,−3, і1213, відповідно.
Визначення: Ступінь
Ступінь члена - це сума показників на кожній змінній терміна. Постійний член (єдине число без змінних) має нульовий ступінь.
Таким чином, наприклад, ступені термінів-5 \quad-3 x^{2} \quad 12 y^{2} z^{3} \quad 13 a^{2} b c^{3} \nonumber є0,25, і6, відповідно. В останньому прикладі зверніть увагу,13a^2bc^3 що еквівалентно13a^2b^1c^3, тому додаючи експоненти, ми отримуємо:
\begin{aligned} \text { Degree of } 13 a^{2} b c^{3} &=\text { Degree of } 13 a^{2} b^{1} c^{3} \\ &=2+1+3 \\ &=6 \end{aligned} \nonumber
Визначення: Мономіальний
Слова мономіальний і термін еквівалентні.
Таким чином,-5 \quad-3 x^{2} \quad 12 y^{2} z^{3} \quad 13 a^{2} b c^{3} \nonumber є мономи.
Визначення: Біноміальний
Біноміал - це математичний вираз, що містить рівно два члени, розділені знаками плюс або мінус.
Наприклад, кожне з математичних виразів2 x+3 y \quad-3 a^{2}-3 b^{2} \quad x y+7 \quad-3 x^{2} y+5 x y^{2} \nonumber є біноміальним. Кожен вираз має рівно два члени.
Визначення: Триноміал
Триноміал - це математичний вираз, що містить рівно три члени, розділені знаками плюс або мінус.
Наприклад, кожне з математичних виразів2 x^{2}+3 x+7 \quad a^{2}+2 a b+b^{2} \quad x^{4}-2 x^{2} y^{2}+3 y^{4} \nonumber є триноміальним. Кожен вираз має рівно три терміни.
Велосипед має два колеса, двочлен - два терміни. Триколісний велосипед має три колеса, триноміал - три терміни. Але як тільки ми пройдемо три терміни, присвоєння спеціальних імен припиняється, і ми використовуємо родове слово polynomial, що означає «багато термінів».
Визначення: Поліном
Многочлен - це багатоіменний математичний вираз, члени розділені знаками плюс або мінус. Коефіцієнти полінома є коефіцієнтами його термінів.
Кожне з попередніх виразів,12 y^{2} z^{3} \quad-3 a^{2}-3 b^{2} \quad x^{4}-2 x^{2} y^{2}+3 y^{4} \nonumber хоча і присвоєно конкретні імена мономіальні, біноміальні та триноміальні відповідно, також є «багатоіменними» виразами і також можуть називатися поліномами. Однак, оскільки слово поліном означає «багато термінів», ми також можемо використовувати слово поліном для опису математичних виразів з більш ніж трьома термінами, такими як:x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4} \nonumber Коефіцієнтиx^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4} є1−4,6,−4, і1.
Висхідні та низхідні сили
Коли просять спростити поліноміальний вираз, ми повинні об'єднати будь-які подібні терміни, які ми знаходимо, і, коли це можливо, організувати відповідь у висхідній або спадній силах.
Приклад\PageIndex{1}
Спростіть наступний поліноміальний вираз, розташувавши свою відповідь у спадних степеняхx. Після того, як ви виконали це завдання, зробіть другу домовленість, упорядкувавши свої умови в висхідних силахx. 2 x^{3}+7 x-3 x^{2}+11 x+8 x^{2}+11+15 x \nonumber
Рішення
Для того, щоб організувати нашу відповідь у спадних силахx, ми хочемо помістити термін з найвищоюx силою першого і термін з найменшою силоюx останнього. Ми використовуємо комутативні та асоціативні властивості, щоб змінити порядок і перегрупувати, потім об'єднуємо подібні терміни.
\begin{aligned} 2 x^{3}+7 x &-3 x^{2}+11 x+8 x^{2}+11+15 x \\ &=2 x^{3}+\left(-3 x^{2}+8 x^{2}\right)+(7 x+11 x+15 x)+11 \\ &=2 x^{3}+5 x^{2}+33 x+11 \end{aligned} \nonumber
Зверніть увагу, як повноваженняx починаються з3, потім опускаються по порядку.
Щоб організувати нашу остаточну відповідь у висхідних силахx, ми ставимо найнижчуx силу першої, потім найвищу силуx останнього, перегрупуючи та поєднуючи подібні терміни.
\begin{aligned} 2 x^{3}+7 x &-3 x^{2}+11 x+8 x^{2}+11+15 x \\ &=11+(7 x+11 x+15 x)+\left(-3 x^{2}+8 x^{2}\right)+2 x^{3} \\ &=11+33 x+5 x^{2}+2 x^{3} \end{aligned} \nonumber
Зверніть увагу, як ми починаємо з постійного терміну, потім повноваженняx збільшуються по порядку.
Вправа\PageIndex{1}
Спростіть наступний многочлен та організуйте свою відповідь у висхідних силах3 x^{2}-5 x^{3}+8 x+9 x^{2}-7 x+2 x^{3} \nonumber
- Відповідь
-
x+12 x^{2}-3 x^{3}
Коли ми маємо многочлен в одній змінній, наприклад, многочлен у прикладі\PageIndex{1}, упорядкування термінів у порядку зростання або спадання є досить простим. Однак многочлен в двох і більше змінних трохи складніше, а іноді і неможливо, розташувати в пристойному порядку.
Приклад\PageIndex{2}
Спростіть наступний поліноміальний вираз, а потім організуйте свою відповідь у спадних степеняхx. x^{3}+2 x y^{2}-6 x^{2} y+y^{3}-3 x y^{2}+4 x^{2} y \nonumber
Рішення
Ми знову використаємо комутативні та асоціативні властивості, щоб змінити порядок та перегрупувати, поставивши терміни з найвищими повноваженнямиx першого, а потім слідуємо термінам, що містять нижчі повноваженняx в порядку.
\begin{aligned} x^{3}+2 x y^{2} &-6 x^{2} y+y^{3}-3 x y^{2}+4 x^{2} y \\ &=x^{3}+\left(-6 x^{2} y+4 x^{2} y\right)+\left(2 x y^{2}-3 x y^{2}\right)+y^{3} \\ &=x^{3}-2 x^{2} y-x y^{2}+y^{3} \end{aligned} \nonumber
Відзначимо, що це дуже природний порядок, повноваженняx зменшуються при одночасномуy збільшенні повноважень.
Вправа\PageIndex{2}
Спростіть наступний многочлен та організуйте свою відповідь у спадних степеняхx:-4 x^{2} y^{2}+3 x y^{3}+6 x^{3} y-x y^{3}+2 x^{2} y^{2} \nonumber
- Відповідь
-
6 x^{3} y-2 x^{2} y^{2}+2 x y^{3}
Не всі приклади матимуть приємне впорядкування, представлене в прикладі\PageIndex{2}, зі степенями однієї змінної за спаданням, тоді як повноваження іншої змінної одночасно зростають. Іноді нам доводиться робити дуже суб'єктивний вибір щодо упорядкування термінів.
Приклад\PageIndex{3}
Спростіть наступний поліноміальний вираз, а потім розташуйте свою відповідь у якомусь розумному порядку. a^{3} b^{3}+2 a^{2} b-3 a^{2} b^{3}+4 a^{3} b^{3}+5 a^{4}+3 a^{2} b+b^{5} \nonumber
Рішення
Спробуємо розташувати терміни так, щоб сили опускалися. Знову ж таки, ми використовуємо комутативні та асоціативні властивості, щоб змінити порядок і перегрупувати.
\begin{aligned} a^{3} b^{3}+2 a^{2} b &-3 a^{2} b^{3}+4 a^{3} b^{3}+5 a^{4}+3 a^{2} b+b^{5} \\ &=5 a^{4}+\left(a^{3} b^{3}+4 a^{3} b^{3}\right)+\left(2 a^{2} b+3 a^{2} b\right)-3 a^{2} b^{3}+b^{5} \\ &=5 a^{4}+5 a^{3} b^{3}+5 a^{2} b-3 a^{2} b^{3}+b^{5} \end{aligned} \nonumber
Зауважте, що в нашій остаточній домовленості силиa опускаються, але силиb відскакують вгору і вниз, але принаймні ми маємо силиa спадного. Це повинно допомогти нам визначити, якщо ми пропустили термін, спрощуючи дану проблему.
Вправа\PageIndex{3}
Спростіть наступний многочлен та організуйте свою відповідь у висхідних силахb: 5 a^{3} b^{2}+4 a b^{3}-2 a^{2} b+3 a^{3} b^{2}-a b^{3} \nonumber
- Відповідь
-
-2 a^{2} b+8 a^{3} b^{2}+3 a b^{3}
Ступінь многочлена
Щоб знайти ступінь многочлена, знайдіть термін многочлена, що має найвищий ступінь.
Ступінь многочлена
Ступінь многочлена - це ступінь терміна, що має найвищу ступінь.
Знайти ступінь многочлена однієї змінної досить легко.
Приклад\PageIndex{4}
Що таке ступінь многочленаx^{3}-4 x^{2}+5-6 x+2 x^{7}?
Рішення
Спочатку розставимо многочлен в спадних степенях x.
2 x^{7}+x^{3}-4 x^{2}-6 x+5 \nonumber
Впорядкування многочлена в спадних ступеняхx полегшує побачити, що термін многочлена з найвищим ступенем є2x^7. Тому ступінь многочлена є7.
Вправа\PageIndex{4}
Що таке ступінь многочлена2 x^{3}+8 x^{2}+3 x^{4}+2 x+10?
- Відповідь
-
4
Знайти ступінь многочлена більше однієї змінної трохи складніше.
Приклад\PageIndex{5}
Що таке ступінь многочленаx^{4}-2 x^{3} y^{7}+y^{5}?
Рішення
Зверніть увагу, що многочлен вже влаштований у спадних степеняхx, розташування, яке, ймовірно, так добре, як ми збираємося отримати. У наступній таблиці ми перерахуємо ступінь кожного члена. Пам'ятайте, ступінь будь-якого терміна знаходить шляхом підсумовування показників за його змінними.
\begin{array}{cc}{\text { Term }} & {\text { Degree }} \\ \hline x^{4} & {4} \\ {-2 x^{3} y^{7}} & {10} \\ {y^{5}} & {5} \\ \hline\end{array} \nonumber
Отже, термін з найвищим ступенем є-2 x^{3} y^{7}, роблячи10 ступінь многочлена.
Вправа\PageIndex{5}
Що таке ступінь многочленаx^{2} y^{4}-6 x^{2} y^{2}+5 x^{2} y^{5}-2 x y?
- Відповідь
-
7
Функції поліномів
Спочатку ми визначаємо, що ми маємо на увазі під поліноміальною функцією.
Функція полінома
Поліноміальна функція - це функція, визначена правилом, яке присвоює кожному об'єкту області об'єкт діапазону, який визначається поліноміальним виразом.
Просунуті курси, такі як багатовимірне числення, часто використовують поліноміальні функції більш ніж однієї змінної, такі якf(x, y)=x^{2}+y^{2}. Однак у цьому курсі наша увага буде зосереджена на поліноміальних функціях однієї змінної, таких якp(x)=3-4 x-9 x^{2} іq(x)=x^{3}-9 x^{2}+11.
Приклад\PageIndex{6}
Дано поліноміальну функціюp(x)=x^{3}-8 x-11, оцінітьp(−3).
Рішення
Для оцінкиp(−3) спочатку перевстановіть визначення функції, а потім замініть кожне входження змінноїx відкритими дужками.
\begin{aligned} p(x) &= x^{3}-8 x-11 \quad \color {Red} \text { Original function definition. } \\ p(\;\;) &= (\;\;)^{3}-8(\;\;)-11 \quad \color {Red} \text { Replace each occurrence of } x \text { with open parentheses. } \end{aligned} \nonumber
Далі−3 підставляємоx в відкриті дужки підготовлені на останньому кроці.
\begin{aligned} p(-3) &= (-3)^{3}-8(-3)-11 \quad \color {Red} \text { Substitute }-3 \text { for } x \text { in the open parentheses positions.} \\ p(-3) &= -27-8(-3)-11 \quad \color {Red} \text { Exponent first: }(-3)^{3}=-27 \\ p(-3) &= -27+24-11 \quad \color {Red} \text { Multiply: }-8(-3)=24 \\ p(-3) &= -14 \quad \color {Red} \text { Add. } \end{aligned} \nonumber
Отже,p(−3) = −14. Ви можете легко перевірити цей результат на своєму калькуляторі (див. Малюнок\PageIndex{1}).

Вправа\PageIndex{6}
Задано поліноміальну функціюp(x)=-3 x^{2}+7 x+4, оцінюємоp(2).
- Відповідь
-
6
Графік поліноміальної функції
Однією з найважливіших поліноміальних функцій у всій математиці та науці є поліном, що має ступінь два.
Квадратичний многочлен
Многочлен другого ступеня, що має вигляд,p(x)=a x^{2}+b x+c \nonumber називається квадратичним многочленом. Графік цього многочлена називається параболою.
Парабола має приблизно П-подібну форму. Деякі відкриваються вгору, деякі відкриваються вниз, в залежності від знака провідного терміна.
На малюнку\PageIndex{2} провідний термін параболиp(x)=2 x^{2}-8 x+6 має позитивні два як коефіцієнт, тому він відкривається вгору.

На малюнку\PageIndex{3} провідний термін параболиp(x)=-2 x^{2}-8 x-6 має негативні два як коефіцієнт, тому він відкривається вниз.

Примітка
Ознака провідного термінуp(x)=ax^2 +bx+c визначає, чи відкривається парабола вгору або вниз.
- Якщоa>0, парабола відкривається вгору.
- Якщоa<0, парабола відкривається вниз.
Переломний момент параболи має особливу назву.
Вершина параболи
Графік многочлена другого ступеняp(x)=ax^2+bx+c має єдину точку повороту, звану вершиною параболи.
Приклад\PageIndex{7}
Використовуйте графічний калькулятор, щоб намалювати графік квадратичного многочленаp(x)=−3x^2 + 12x + 25.
Рішення
Ступінь многочленаp(x)=−3x^2 + 12x + 25 - два, тому це квадратичний многочлен, а його графік - парабола. Більше того, його провідний термін має негативні три як коефіцієнт, тому ми знаємо, що парабола відкривається вниз. Введітьy = −3x^2 + 12x + 25 якY 1=-3 * X \wedge 2+12 * X+25 у меню Y = (див. Перше зображення на малюнку\PageIndex{4}), потім виберіть 6:ZStandard з меню ZOOM, щоб створити третє зображення на малюнку\PageIndex{4}.

Зауважте, що графік\PageIndex{4} на малюнку має U-подібну форму параболи, яка відкривається вниз. Його вершина (поворотна точка) не видно, але можна було б припустити, що вона лежить oу верхній частині екрана. Нам потрібно налаштувати параметри WINDOW так, щоб на екрані перегляду була видна вершина параболи. Після деяких експериментів ми зупинимося на параметрах, показаних на першому зображенні на малюнку\PageIndex{5}, а потім натискаємо кнопку GRAPH, щоб створити друге зображення на малюнку\PageIndex{5}.

Повідомляючи про свій результат на домашнє завдання, дотримуйтесь вказівок щодо подання калькулятора з розділу 3, Розділ 2.
- Малюємо осі за допомогою лінійки.
- Позначте горизонтальну вісьx і вертикальну вісьy.
- Вкажіть параметри \mathrm{Xmin}, \mathrm{Xmax}, \mathrm{Ymin}WINDOW, і\mathrm{Ymax}\) в кінці кожної осі.
- Від руки криву і позначте її рівнянням.
Вправа\PageIndex{7}
Використовуйте ваш графічний калькулятор, щоб намалювати графік квадратичного поліно mialp(x)=2x^2 −5x−4.
- Відповідь
-
Коли ступінь многочлена більше двох, кількість поворотних точок графіка може збільшуватися. Це робить для деяких дуже цікавих кривих. У більш просунутих курсах, таких як проміжна та коледжська алгебра, ви познайомитеся з різноманітними техніками, які допоможуть вам визначити відповідні вікна перегляду для графіків цих поліномів вищого ступеня. Однак у цьому вступному розділі ми допоможемо вам, запропонувавши гарне оглядове вікно для кожного полінома, таке, яке дозволить вам побачити всі поворотні точки графіка многочлена.
Приклад\PageIndex{8}
Використовуйте графічний калькулятор, щоб намалювати графік функції поліномаp(x)=x^{4}-37 x^{2}+24 x+180. Встановіть параметри вікна наступним чином:\mathbf{X} \min =-10, \mathbf{X} \max =10, \mathbf{X} \operatorname{scl}=1, \mathbf{Y} \min =-1000, \mathbf{Y} \max = 1000, і\mathbf{Y} \operatorname{scl} =100.
Рішення
Введіть поліноміальну функцію в\mathbf{Y} \mathbf{1} меню Y=, потім введіть запропоновані параметри вікна в меню WINDOW (див. Рис.\PageIndex{6}).

Натисніть кнопку GRAPH у верхньому рядку калькулятора, щоб створити графік функції полінома, показаний на малюнку\PageIndex{7}.

Солодкий на вигляд крива!
Вправа\PageIndex{8}
Скористайтеся вашим графічним калькулятором, щоб намалювати графік квадратичного многочлена p (x) =x3 −14x2 + 20x + 60. Встановіть параметри вікна наступним чином:\mathbf{X} \min =-10, \mathbf{X} \max =20, \mathbf{X} \operatorname{scl}=1, \mathbf{Y} \min =-200, \mathbf{Y} \max = 200, і\mathbf{Y} \operatorname{scl} =20.
- Відповідь
-