Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.9: Цілочисельні показники та наукові позначення (частина 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57894

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Перетворити з десяткового позначення на наукові позначення

    Пам'ятайте, що робота з місцем значення для цілих чисел і десяткових знаків? Наша система числення заснована на повноваженнях 10. Ми використовуємо десятки, сотні, тисячі і так далі. Наші десяткові числа також засновані на степенях десятків - десятих, сотих, тисячних і так далі.

    Розглянемо цифри 4000 і 0,004. Ми знаємо, що 4000 означає 4 × 1000 і 0,004 означає 4 ×\(\dfrac{1}{1000}\). Якщо ми запишемо 1000 як ступінь десяти в експоненціальній формі, ми можемо переписати ці числа таким чином:

    \[\begin{split} &4000 \qquad \qquad 0.004 \\ &4 \times 1000 \qquad 4 \times \dfrac{1}{1000} \\ &4 \times 10^{3} \qquad \; \; 4 \times \dfrac{1}{10^{3}} \\ &\qquad \qquad \quad \; \; \; 4 \times 10^{-3} \end{split}\]

    Коли число записується як добуток двох чисел, де перший множник - це число більше або дорівнює одиниці, але менше 10, а другий коефіцієнт - це ступінь 10, написана в експоненціальній формі, воно, як кажуть, знаходиться в науковому позначенні.

    Визначення: Наукові позначення

    Число виражається в науковому позначенні, коли воно має вигляд a × 10 n, де a ≥ 1 і a < 10 і n - ціле число.

    У науковому позначенні прийнято використовувати × як знак множення, хоча ми уникаємо використання цього знака в інших місцях алгебри.

    Наукові позначення - корисний спосіб написання дуже великих або дуже маленьких чисел. Він використовується часто в науках, щоб полегшити розрахунки.

    Якщо ми подивимося на те, що сталося з десятковою крапкою, ми можемо побачити метод легко перетворити з десяткового позначення в наукові позначення.

    CNX_BMath_Figure_10_05_008_img.jpg

    В обох випадках десяткова кома була переміщена на 3 місця, щоб отримати перший множник, 4, сам по собі.

    • Потужність 10 позитивна, коли число більше 1:4000 = 4 × 10 3.
    • Потужність 10 є від'ємною, коли число знаходиться в межах від 0 до 1:0,004 = 4 × 10 −3.
    Приклад\(\PageIndex{12}\):

    Напишіть 37 000 у науковому позначенні.

    Рішення

    Крок 1: Перемістіть десяткову крапку так, щоб перший множник був більшим або дорівнював 1, але менше 10. CNX_BMath_Figure_10_05_009_img-01.png
    Крок 2: Підрахуйте кількість десяткових знаків, n, щоб десяткова крапка була переміщена.

    3.70000

    4 місця
    Крок 3: Напишіть число у вигляді добутку зі степеню 10. 3,7×10 4

    Якщо початковий номер:

    • більше 1, потужність 10 складе 10 н
    • між 0 і 1, потужність 10 буде дорівнює 10 −n
    		  
    Крок 4: Перевірка.10 4 становить 10 000, а 10 000 разів 3.7 буде 37 000. 37,000 = 3,7×10 4
    Вправа\(\PageIndex{23}\):

    Напишіть в науковій позначенні: 96 000.

    Відповідь

    9,6 × 10 4

    Вправа\(\PageIndex{24}\):

    Напишіть в науковій позначенні: 48 300.

    Відповідь

    4,83 × 10 4

    ЯК: ПЕРЕТВОРИТИ З ДЕСЯТКОВОГО ПОЗНАЧЕННЯ В НАУКОВІ ПОЗНАЧЕННЯ

    Крок 1. Перемістіть десяткову крапку так, щоб перший множник був більшим або дорівнював 1, але менше 10.

    Крок 2. Підрахуйте кількість десяткових знаків, n, щоб десяткова крапка була переміщена.

    Крок 3. Напишіть число у вигляді добутку зі степеню 10.

    Якщо початковий номер:

    • більше 1, потужність 10 складе 10 п.
    • між 0 і 1, потужність 10 буде дорівнює 10 −n.

    Крок 4. Перевірте.

    Приклад\(\PageIndex{13}\):

    Напишіть в науковому позначенні: 0.0052.

    Рішення

    Перемістіть десяткову крапку, щоб отримати 5,2, число від 1 до 10. CNX_BMath_Figure_10_05_010_img-01.png
    Підрахуйте кількість знаків після коми, в яку була переміщена точка. 3 місця
    Пишіть як продукт з потужністю 10. 5,2 × 10 −3
    Перевірте свою відповідь: $\ почати {спліт} 5.2 &\ раз 10^ {-3}\\ 5.2 &\ times\ dfrac {1} {10^ {3}}\\ 5.2 &\ times\ dfrac {1} {1000}\\ 5.2 &\ times 0,001\\ 0. &0052\ кінець {спліт} $$
      0,0052 = 5,2 × 10 −3
    Вправа\(\PageIndex{25}\):

    Напишіть в науковому позначенні: 0.0078.

    Відповідь

    7,8 × 10 -3

    Вправа\(\PageIndex{26}\):

    Напишіть в науковій позначенні: 0.0129.

    Відповідь

    1,29 × 10 -2

    Перетворити наукове позначення на десяткову форму

    Як ми можемо перетворити з наукового позначення в десяткову форму? Давайте розглянемо два числа, написані в науковому позначенні, і подивимося.

    \[\begin{split} &9.12 \times 10^{4} \qquad \qquad 9.12 \times 10^{-4} \\ &9.12 \times 10,000 \qquad 9.12 \times 0.0001 \\ &91,200 \qquad \qquad \quad 0.000912 \end{split}\]

    Якщо ми подивимося на розташування десяткової крапки, ми можемо побачити простий метод перетворення числа з наукового позначення в десяткову форму.

    CNX_BMath_Figure_10_05_011_img.jpg

    В обох випадках десяткова крапка перемістилася на 4 місця. Коли показник був додатним, десяткова кома переміщається вправо. Коли показник був від'ємним, десяткова крапка переміщається вліво.

    Приклад\(\PageIndex{14}\):

    Перетворити в десяткову форму: 6,2 × 10 3.

    Рішення

    Крок 1: Визначте показник, n, на коефіцієнт 10. 6,2 × 10 3
    Крок 2: Перемістіть десяткову крапку n, додавши нулі, якщо це необхідно. CNX_BMath_Figure_10_05_012_img-01.png
    • Якщо показник позитивний, пересуньте десяткову крапку на n розрядів вправо.
    • Якщо показник від'ємний, перемістіть десяткову крапку |n| місця вліво.
    		 6 200
    Крок 3: Перевірте, чи має сенс ваша відповідь.  
    10 3 1000 і 1000 разів 6,2 буде 6200. 6,2 × 10 3 = 6200
    Вправа\(\PageIndex{27}\):

    Перетворення в десяткову форму: 1.3 × 10 3.

    Відповідь

    1 300

    Вправа\(\PageIndex{28}\):

    Перетворити в десяткову форму: 9,25 × 10 4.

    Відповідь

    92 500

    ЯК: ПЕРЕТВОРИТИ НАУКОВІ ПОЗНАЧЕННЯ В ДЕСЯТКОВУ ФОРМУ

    Крок 1. Визначте показник, n, на коефіцієнт 10.

    Крок 2. Перемістіть десяткові n знаків, при необхідності додаючи нулі.

    • Якщо показник позитивний, пересуньте десяткову крапку на n розрядів вправо.
    • Якщо показник від'ємний, перемістіть десяткову крапку |n| місця вліво.

    Крок 3. Перевірте.

    Приклад\(\PageIndex{15}\):

    Перетворити на десяткову форму: 8,9 × 10 −2.

    Рішення

    Визначте показник n, на коефіцієнт 10. Показник дорівнює −2.
    Перемістіть десяткову крапку на 2 розряди вліво. CNX_BMath_Figure_10_05_013_img-01.png
    Додайте нулі, якщо потрібно для заповнювачів. 0.089
      8,9 × 10 −2 = 0,089
    Чек залишається за вами.  
    Вправа\(\PageIndex{29}\):

    Перетворити на десяткову форму: 1,2 × 10 −4.

    Відповідь

    0.00012

    Вправа\(\PageIndex{30}\):

    Перетворити на десяткову форму: 7,5 × 10 −2.

    Відповідь

    0,075

    Множення та ділення за допомогою наукових позначень

    Ми використовуємо Властивості експонентів для множення та ділення чисел у наукових позначеннях.

    Приклад\(\PageIndex{16}\):

    Помножити. Напишіть відповіді в десятковому вигляді: (4 × 10 5) (2 × 10 −7).

    Рішення

    Використовуйте Комутативну властивість для перестановки факторів. 4 • 2 • 10 5 • 10 −7
    Помножте 4 на 2 і скористайтеся властивістю Product, щоб помножити 10 5 на 10 −7. 8 × 10 −2
    Перейдіть на десяткову форму, перемістивши десяткові два розряди вліво. 0,08
    Вправа\(\PageIndex{31}\):

    Помножити. Напишіть відповіді в десятковому вигляді: (3 × 10 6) (2 × 10 −8).

    Відповідь

    0,06

    Вправа\(\PageIndex{32}\):

    Помножити. Запишіть відповіді в десятковому вигляді: (3 × 10 −2) (3 × 10 −1).

    Відповідь

    0,009

    Приклад\(\PageIndex{17}\):

    Розділити. Напишіть відповіді в десятковій формі:\(\dfrac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}}\).

    Рішення

    Відокремте фактори. $$\ dfrac {9} {3}\ раз\ dfrac {10^ {3}} {10^ {-2}} $$
    Розділіть 9 на 3 і використовуйте властивість частки, щоб розділити 10 3 на 10 −2. 3 × 10 5
    Перейдіть на десяткову форму, перемістивши десяткові п'ять знаків вправо. 300 000
    Вправа\(\PageIndex{33}\):

    Розділити. Запишіть відповіді десятковими для m:\dfrac {8\ times 10^ {4}} {2\ times 10^ {-1}}.

    Відповідь

    400 000

    Вправа\(\PageIndex{34}\):

    Розділити. Запишіть відповіді десятковими для m:\dfrac {8\ times 10^ {2}} {4\ times 10^ {-2}}.

    Відповідь

    20 000

    ДОСТУП ДО ДОДАТКОВИХ ОНЛАЙН-РЕСУРСІВ

    Негативні показники

    Приклади спрощення виразів з негативними показниками

    Наукові позначення

    Практика робить досконалим

    Використання визначення негативного показника

    У наступних вправах спростити.

    1. 5 −3
    2. 8 −2
    3. 3 −4
    4. 2 −5
    5. 7 −1
    6. 10 −1
    7. 2 −3 + 2 −2
    8. 3 −2 + 3 −1
    9. 3 −1 + 4 −1
    10. 10 −1 + 2 −1
    11. 10 0 − 10 −1 + 10 −2
    12. 2 0 − 2 −1 + 2 −2
    13. (a) (−6) −2 (b) −6 −2
    14. (a) (−8) −2 (b) −8 −2
    15. (a) (−10) −4 (b) −10 −4
    16. (a) (−4) −6 (b) −4 −6
    17. (а) 5 • 2 −1 (b) (5 • 2) −1
    18. (а) 10 • 3 −1 (б) (10 • 3) −1
    19. (а) 4 • 10 −3 (б) (4 • 10) −3
    20. (а) 3 • 5 −2 (b) (3 • 5) −2
    21. n −4
    22. р −3
    23. c −10
    24. м −5
    25. (a) 4х −1 (b) (4x) −1 (c) (−4x) −1
    26. (a) 3q −1 (b) (3q) −1 (c) (−3q) −1
    27. (а) 6м −1 (б) (6м) −1 (c) (−6м) −1
    28. (a) 10k −1 (b) (10k) −1 (c) (−10k) −1

    Спрощення виразів з цілими показниками

    У наступних вправах спростити.

    1. р −4 • р. 8
    2. р −2 • р 5
    3. n −10 • n 2
    4. q −8 • q 3
    5. к −3 • к −2
    6. z −6 • z −2
    7. a • a −4
    8. м • м −2
    9. р 5 • п −2 • п −4
    10. x 4 • х −2 • х −3
    11. a 3 б −3
    12. u 2 в−2
    13. (x 5 y −1) (x −10 y −3)
    14. (a 3 b −3) (a −5 b −1)
    15. (ув −2) (u −5 v −4)
    16. (pq −4) (p −6 q −3)
    17. (−2r −3 с 9) (6р 4 с −5)
    18. (−3p −5 q 8) (7p 2 q −3)
    19. (−6м −8 n −5) (−9м 4 п 2)
    20. (−8a −5 b −4) (−4a 2 b 3)
    21. (a 3) −3
    22. (q 10) −10
    23. (n 2) −1
    24. (x 4) −1
    25. (y −54)
    26. (p −3) 2
    27. (q −5) −2
    28. (м−2) −3
    29. (4й −32)
    30. (3кв −52)
    31. (10р −2) −5
    32. (2n −3) −6
    33. u 9 у −2
    34. б 5 б −3
    35. х −6 х 4
    36. м 5 м −2
    37. кв. 3 кв. 12
    38. р 6 або 9
    39. n −4 n −10
    40. р −3 р −6

    Перетворити з десяткового позначення на наукові позначення

    У наступних вправах запишіть кожне число в науковому позначенні.

    1. 45 000
    2. 280 000
    3. 8 750 000
    4. 1 290 000
    5. 0,036
    6. 0.041
    7. 0.00000924
    8. 0.0000103
    9. Населення США на 4 липня 2010 року становило майже 310 000 000 чоловік.
    10. Населення світу на 4 липня 2010 року становило понад 6 850 000 000 чоловік.
    11. Середня ширина людського волоса становить 0,0018 сантиметрів.
    12. Імовірність виграшу 2010 Megamillions лотереї становить близько 0.0000000057.

    Перетворити наукове позначення на десяткову форму

    У наступних вправах перетворіть кожне число в десяткову форму.

    1. 4,1 × 10 2
    2. 8,3 × 10 2
    3. 5,5 × 10 8
    4. 1,6 × 10
    5. 3,5 × 10 −2
    6. 2,8 × 10 −2
    7. 1,93 × 10−5
    8. 6,15 × 10−8
    9. У 2010 році кількість користувачів Facebook щодня, які змінювали свій статус на «залучені», становила 2 × 10 4.
    10. На початку 2012 року федеральний бюджет США мав дефіцит понад $1,5 × 10 13.
    11. Концентрація вуглекислого газу в атмосфері становить 3,9 × 10 −4.
    12. Ширина протона становить 1 × 10 −5 ширини атома.

    Множення та ділення за допомогою наукових позначень

    У наступних вправах помножте або діліть і запишіть свою відповідь в десятковій формі.

    1. (2 × 10 5) (2 × 10 −9)
    2. (3 × 10 2) (1 × 10 −5)
    3. (1,6 × 10 −2) (5,2 × 10 −6)
    4. (2,1 × 10 −4) (3,5 × 10 −2)
    5. \(\dfrac{6 \times 10^{4}}{3 \times 10^{−2}}\)
    6. \(\dfrac{8 \times 10^{6}}{4 \times 10^{−1}}\)
    7. \(\dfrac{7 \times 10^{-2}}{1 \times 10^{−8}}\)
    8. \(\dfrac{5 \times 10^{-3}}{1 \times 10^{−10}}\)

    Щоденна математика

    1. Калорії У травні 2010 року виробники продуктів харчування та напоїв пообіцяли скоротити свою продукцію на 1,5 трлн калорій до кінця 2015 року.
      1. Запишіть 1,5 трильйона десяткових позначень.
      2. Напишіть 1,5 трлн в науковому позначенні.
    2. Довжина року Різниця між календарним роком і астрономічним роком становить 0.000125 день.
      1. Запишіть це число в науковому позначенні.
      2. Скільки років потрібно, щоб різниця стала 1 день?
    3. Дисплей калькулятора Багато калькуляторів автоматично показують відповіді в наукових позначеннях, якщо цифр більше, ніж може поміститися на дисплеї калькулятора. Щоб знайти ймовірність отримання тієї чи іншої 5-карткової руки з колоди карт, Маріо розділив 1 на 2 598 960 і побачив відповідь 3,848 × 10 −7. Запишіть число в десятковому численні.
    4. Дисплей калькулятора Багато калькуляторів автоматично показують відповіді в наукових позначеннях, якщо цифр більше, ніж може поміститися на дисплеї калькулятора. Щоб знайти кількість способів, якими Барбара могла зробити колаж з 6 з 50 своїх улюблених фотографій, вона помножила 50 • 49 • 48 • 47 • 46 • 45. Її калькулятор дав відповідь 1,141304 × 10 10. Запишіть число в десятковому численні.

    Письмові вправи

    1. (а) Поясніть значення показника у виразі 2 3. (b) Пояснити значення показника у виразі 2 −3.
    2. Коли ви перетворюєте число з десяткового позначення в наукові позначення, як дізнатися, чи буде показник позитивним чи негативним?

    Самостійна перевірка

    (а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    CNX_BMath_Figure_AppB_064.jpg

    (b) Подивившись на контрольний список, ви вважаєте, що добре підготовлені до наступного розділу? Чому чи чому ні?

    Дописувачі та авторства