2: Рівняння першого порядку
- Page ID
- 62320
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У цьому розділі ми вивчаємо диференціальні рівняння першого порядку, для яких існують загальні методи розв'язання.
- 2.1: Лінійні рівняння першого порядку
- У цьому розділі розглядаються лінійні рівняння, найпростіший вид рівнянь першого порядку. У цьому розділі ми познайомимо з методом варіації параметрів. Ідея, що лежить в основі цього методу, буде об'єднуючою темою для нашого підходу до вирішення багатьох різних видів диференціальних рівнянь по всій книзі.
- 2.2: Роздільні рівняння
- У розділі розглядаються роздільні рівняння, найпростіші нелінійні рівняння. У цьому розділі ми введемо уявлення про неявні та постійні розв'язки диференціальних рівнянь, а також вкажемо на деякі відмінності між властивостями лінійних і нелінійних рівнянь.
- 2.3: Існування та єдиність розв'язків нелінійних рівнянь
- Хоча існують методи вирішення деяких нелінійних рівнянь, знайти корисні формули для розв'язків більшості неможливо. Незалежно від того, чи шукаємо ми точні розв'язки чи числові наближення, корисно знати умови, які передбачають існування та єдиність розв'язків задач початкового значення для нелінійних рівнянь. У цьому розділі ми викладемо таку умову і проілюструємо його прикладами.
- 2.4: Перетворення нелінійних рівнянь у роздільні рівняння
- У цьому розділі розглядаються нелінійні рівняння, які не є роздільними, але можуть бути перетворені в роздільні рівняння за процедурою, подібною до варіації параметрів.
- 2.5: Точні рівняння
- У цьому розділі розглядаються точні диференціальні рівняння, яким дано таку назву, оскільки метод їх вирішення використовує ідею точного диференціала від числення.
- 2.6: Інтеграційні фактори
- У цьому розділі розглядаються рівняння, які не є точними, але можуть бути зроблені точними, множивши їх на функцію, відому як інтегруючий коефіцієнт.