2: Рівняння першого порядку

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.3E: Поля напряму для рівнянь першого порядку (вправи)
- 2.1: Лінійні рівняння першого порядку

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми вивчаємо диференціальні рівняння першого порядку, для яких існують загальні методи розв'язання.

2.1: Лінійні рівняння першого порядку
У цьому розділі розглядаються лінійні рівняння, найпростіший вид рівнянь першого порядку. У цьому розділі ми познайомимо з методом варіації параметрів. Ідея, що лежить в основі цього методу, буде об'єднуючою темою для нашого підходу до вирішення багатьох різних видів диференціальних рівнянь по всій книзі.
- 2.1E: Лінійні рівняння першого порядку (вправи)
2.2: Роздільні рівняння
У розділі розглядаються роздільні рівняння, найпростіші нелінійні рівняння. У цьому розділі ми введемо уявлення про неявні та постійні розв'язки диференціальних рівнянь, а також вкажемо на деякі відмінності між властивостями лінійних і нелінійних рівнянь.
- 2.2E: Роздільні рівняння (вправи)
2.3: Існування та єдиність розв'язків нелінійних рівнянь
Хоча існують методи вирішення деяких нелінійних рівнянь, знайти корисні формули для розв'язків більшості неможливо. Незалежно від того, чи шукаємо ми точні розв'язки чи числові наближення, корисно знати умови, які передбачають існування та єдиність розв'язків задач початкового значення для нелінійних рівнянь. У цьому розділі ми викладемо таку умову і проілюструємо його прикладами.
- 2.3E: Існування та єдиність розв'язків нелінійних рівнянь (вправи)
2.4: Перетворення нелінійних рівнянь у роздільні рівняння
У цьому розділі розглядаються нелінійні рівняння, які не є роздільними, але можуть бути перетворені в роздільні рівняння за процедурою, подібною до варіації параметрів.
- 2.4E: Перетворення нелінійних рівнянь у роздільні рівняння (вправи)
2.5: Точні рівняння
У цьому розділі розглядаються точні диференціальні рівняння, яким дано таку назву, оскільки метод їх вирішення використовує ідею точного диференціала від числення.
- 2.5E: Точні рівняння (вправи)
2.6: Інтеграційні фактори
У цьому розділі розглядаються рівняння, які не є точними, але можуть бути зроблені точними, множивши їх на функцію, відому як інтегруючий коефіцієнт.
- 2.6E: Інтеграція факторів (вправи)