Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1E: Лінійні рівняння першого порядку (вправи)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62369

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Q2.1.1

    У вправах 2.1.1-2.1.5 знайти загальне рішення.

    1. \(y'+ay=0\)(\(a\)= постійна)

    2. \(y'+3x^2y=0\)

    3. \(xy'+(\ln x)y=0\)

    4. \(xy'+3y=0\)

    5. \(x^2y'+y=0\)

    Q2.1.2

    У вправах 2.1.6-2.1.11 розв'яжіть початкову задачу значення.

    6. \( {y'+\left({1+x\over x}\right)y=0,\quad y(1)=1}\)

    7. \( {xy'+\left(1+{1\over\ln x}\right)y=0,\quad y(e)=1}\)

    8. \( {xy'+(1+ x\cot x)y=0,\quad y\left({\pi\over 2} \right)=2}\)

    9. \( {y'-\left({2x\over 1+x^2}\right)y=0,\quad y(0)=2}\)

    10. \( y'+\frac{k}{x}y=0,\quad y(1)=3\quad(k=\text{constant})\)

    11. \( y'+(\tan kx)y=0,\quad y(0)=2\quad (k=\text{constant})\)

    Q2.1.3

    У вправах 2.1.12-2.1.15 знайдіть загальне рішення. Крім того, побудуйте поле напряму та деякі інтегральні криві на прямокутній області\(\{−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2\}\).

    12. \(y'+3y=1\)

    13. \( {y'+\left({1\over x}- 1\right)y=-{2\over x}}\)

    14. \(y'+2xy=xe^{-x^2}\)

    15. \( {y'+{2x\over1+x^2}y={e^{-x}\over1+x^2}}\)

    Q2.1.4

    У вправах 2.1.16-2.1.24 знайдіть загальне рішення.

    16. \( {y'+{1\over x}y={7\over x^2}+3}\)

    17. \( {y'+{4\over x-1}y = {1\over (x-1)^5}+{\sin x\over (x-1)^4}}\)

    18. \(xy'+(1+2x^2)y=x^3e^{-x^2}\)

    19. \( {xy'+2y={2\over x^2}+1}\)

    20. \(y'+(\tan x)y=\cos x\)

    21. \( {(1+x)y'+2y={\sin x \over 1 + x}}\)

    22. \((x-2)(x-1)y'-(4x-3)y=(x-2)^3\)

    23. \(y'+(2\sin x\cos x) y=e^{-\sin^2x}\)

    24. \(x^2y'+3xy=e^x\)

    Q2.1.5

    У вправах 2.1.25-2.1.29 розв'яжіть початкове значення задачі та накидайте графік розв'язку.

    25. \(y'+7y=e^{3x},\quad y(0)=0\)

    26. \( {(1+x^2)y'+4xy={2\over 1+x^2},\quad y(0)=1}\)

    27. \( {xy'+3y={2\over x(1+x^2)},\quad y(-1)=0}\)

    28. \( {y'+ (\cot x)y=\cos x,\quad y\left({\pi\over 2}\right)=1}\)

    29. \( {y'+{1\over x}y={2\over x^2}+1,\quad y(-1)=0}\)

    Q2.1.6

    У вправах 2.1.30-2.1.37 розв'яжіть задачу початкового значення.

    30. \( {(x-1)y'+3y={1\over (x-1)^3} + {\sin x\over (x-1)^2},\quad y(0)=1}\)

    31. \(xy'+2y=8x^2,\quad y(1)=3\)

    32. \(xy'-2y=-x^2,\quad y(1)=1\)

    33. \(y'+2xy=x,\quad y(0)=3\)

    34. \( {(x-1)y'+3y={1+(x-1)\sec^2x\over (x-1)^3},\quad y(0)=-1}\)

    35. \( {(x+2)y'+4y={1+2x^2\over x(x+2)^3},\quad y(-1)=2}\)

    36. \((x^2-1)y'-2xy=x(x^2-1),\quad y(0)=4\)

    37. \((x^2-5)y'-2xy=-2x(x^2-5),\quad y(2)=7\)

    Q2.1.7

    У вправах 2.1.28-2.1.42 розв'яжіть початкову задачу значення і залиште відповідь у формі, що включає певний інтеграл. (Ви можете вирішити ці проблеми чисельно методами, розглянутими в главі 3.)

    38. \(y'+2xy=x^2,\quad y(0)=3\)

    39. \( {y'+{1\over x}y={\sin x\over x^2},\quad y(1)=2}\)

    40. \( {y'+y={e^{-x}\tan x\over x},\quad y(1)=0}\)

    41. \( {y'+{2x\over 1+x^2}y={e^x\over (1+x^2)^2}, \quad y(0)=1}\)

    42. \(xy'+(x+1)y=e^{x^2},\quad y(1)=2\)

    43. Експерименти показують, що глюкоза засвоюється організмом зі швидкістю, пропорційною кількості глюкози, присутньої в крові. Нехай\(\lambda\) позначають (позитивну) константу пропорційності. Тепер припустимо, глюкоза вводиться в кров пацієнта з постійною швидкістю\(r\) одиниць в одиницю часу. \(G=G(t)\)Дозволяти кількість одиниць в крові пацієнта в той час\(t>0\). Тоді\[G'=-\lambda G+r,\] де перший термін праворуч обумовлений поглинанням глюкози організмом пацієнта, а другий термін - за рахунок ін'єкції. Визначте\(G\) для\(t>0\), враховуючи, що\(G(0)=G_0\). Також знайдіть\(\lim_{t\to\infty}G(t)\).

    44.

    (а) Покладіть поле напряму та деякі інтегральні\[xy'-2y=-1 \tag{A} \] криві для прямокутної області\(\{-1\le x\le 1, -.5\le y\le 1.5\}\). Що спільного у всіх інтегральних кривих?

    (b) Показати, що загальне рішення (A) на\((-\infty,0)\) і\((0,\infty)\) є

    \[y={1\over2}+cx^2.\]

    (c) Показати, що\(y\) є розв'язком (A) на\((-\infty,\infty)\) якщо і тільки якщо\[y=\left\{\begin{array}{ll} {{1\over2}+c_1x^2}, &x \ge 0,\\[4pt] {{1\over2}+c_2x^2}, &x < 0,\end{array}\right.\] де\(c_1\) і\(c_2\) є довільними константами.

    (d) зробити висновок з c, що всі розв'язки (A) on\((-\infty,\infty)\) є розв'язками початкової задачі\[xy'-2y=-1,\quad y(0)={1\over2}.\]

    (e) Використовуйте (b), щоб показати, що якщо\(x_0\ne0\) і\(y_0\) є довільним, то проблема початкового значення\[xy'-2y=-1,\quad y(x_0)=y_0\] має нескінченно багато рішень на (\(-\infty,\infty\)). Поясніть, чому це не суперечить теоремі 2.1.1.

    45. Припустимо\(f\) is continuous on an open interval \((a,b)\) and \(\alpha\) is a constant.

    (a) Вивести формулу для розв'язку задачі початкового значення

    \[y'+\alpha y=f(x),\quad y(x_0)=y_0, \tag{A} \]

    де\(x_0\) знаходиться в\((a,b)\) і\(y_0\) - довільне дійсне число.

    (б) Припустимо\((a,b)=(a,\infty)\),\(\alpha > 0\) і\(\displaystyle{\lim_{x\to\infty} f(x)=L}\). Показати, що якщо\(y\) це рішення (A), то\(\displaystyle{\lim_{x\to \infty} y(x)=L/\alpha}\).

    46. Припустимо, що всі функції в цій вправі визначені на загальному інтервалі\((a,b)\).

    (а) Доведіть: Якщо\(y_1\) і\(y_2\) є рішеннями

    \[y'+p(x)y=f_1(x)\]

    і

    \[y'+p(x)y=f_2(x)\]

    відповідно, і\(c_1\) і\(c_2\) є константами, то\(y=c_1y_1+c_2y_2\) є розв'язком

    \[y'+p(x)y=c_1f_1(x)+c_2f_2(x).\]

    (Це принцип суперпозиції.)

    (b) Використовуйте (a), щоб показати, що якщо\(y_1\) і\(y_2\) є розв'язками неоднорідного рівняння

    \[y'+p(x)y=f(x), \quad{\rm (A)}\]

    \(y_1-y_2\)то - рішення однорідного рівняння

    \[y'+p(x)y=0. \quad{\rm (B)}\]

    (c) Використовуйте (а), щоб показати, що якщо\(y_1\) є розв'язком (A) і\(y_2\) є розв'язком (B), то\(y_1+y_2\) є рішенням (A).

    47. Деякі нелінійні рівняння можуть бути перетворені в лінійні рівняння шляхом зміни залежної змінної. Покажіть, що якщо

    \[g'(y)y'+p(x)g(y)=f(x)\]

    де функція\(x\) і\(y\)\(g\) є функцією\(y\), то нова залежна змінна\(z=g(y)\) задовольняє лінійному рівнянню

    \[z'+p(x)z=f(x).\]

    48. Вирішити методом, розглянутим у вправі 47.

    (а)\((\sec^2y)y'- 3\tan y=-1\)

    (б)\( {e^{y^2}\left(2yy'+ {2\over x}\right) ={1\over x^2}}\)

    (c)\( {{xy'\over y} + 2\ln y=4x^2}\)

    (г)\( {{y'\over (1+y)^2} - {1\over x(1+y)}=-{3\over x^2}}\)

    49. Ми показали, що якщо\(p\) і\(f\) є безперервними,\((a,b)\) то кожне рішення

    \[y'+p(x)y=f(x) \tag{A}\]

    on\((a,b)\) можна записати як\(y=uy_1\), де\(y_1\) нетривіальне рішення комплементарного рівняння для (А) і\(u'=f/y_1\). Тепер припустимо\(f\)\(f'\),,...,\(f^{(m)}\) і\(p\),\(p'\),...,\(p^{(m-1)}\) безперервні на\((a,b)\), де\(m\) є додатним цілим числом, і визначити

    \[\begin{aligned} f_0&=f,\\ f_j&=f_{j-1}'+pf_{j-1},\quad 1\le j\le m.\end{aligned}\]

    Покажіть, що

    \[u^{(j+1)}={f_j\over y_1},\quad 0\le j\le m.\]