Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5E: Точні рівняння (вправи)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62335

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Q2.5.1

    У вправах 2.5.1-2.5.17 визначте, які рівняння точні, і розв'яжіть їх.

    1. \(6x^2y^2\,dx+4x^3y\,dy=0\)

    2. \((3y\cos x+4xe^x+2x^2e^x)\,dx+(3\sin x+3)\,dy=0\)

    3. \(14x^2y^3\,dx+21 x^2y^2\,dy=0\)

    4. \((2x-2y^2)\,dx+(12y^2-4xy)\,dy=0\)

    5. \((x+y)^2\,dx+(x+y)^2\,dy=0\)

    6. \((4x+7y)\,dx+(3x+4y)\,dy=0\)

    7. \((-2y^2\sin x+3y^3-2x)\,dx+(4y\cos x+9xy^2)\,dy=0\)

    8. \((2x+y)\,dx+(2y+2x)\,dy=0\)

    9. \((3x^2+2xy+4y^2)\,dx+(x^2+8xy+18y)\,dy=0\)

    10. \((2x^2+8xy+y^2)\,dx+(2x^2+xy^3/3)\,dy=0\)

    11. \( {\left({1\over x}+2x\right)\,dx+ \left({1\over y}+2y\right)\,dy=0}\)

    12. \((y\sin xy+xy^2\cos xy)\,dx+(x\sin xy+xy^2\cos xy)\,dy=0\)

    13. \( {{x\,dx\over(x^2+y^2)^{3/2}}+{y\,dy \over(x^2+y^2)^{3/2}}=0}\)

    14. \(\left(e^x(x^2y^2+2xy^2)+6x\right)\,dx+(2x^2ye^x+2)\,dy=0\)

    15. \(\left(x^2e^{x^2+y}(2x^2+3)+4x\right)\,dx+(x^3e^{x^2+y}-12y^2)\,dy=0\)

    16. \(\left(e^{xy}(x^4y+4x^3)+3y\right)\,dx+(x^5e^{xy}+3x)\,dy=0\)

    17. \((3x^2\cos xy-x^3y\sin xy+4x)\,dx+(8y-x^4\sin xy)\,dy=0\)

    Q2.5.2

    У вправах 2.5.18-2.5.22 розв'яжіть задачу початкового значення.

    18. \((4x^3y^2-6x^2y-2x-3)\,dx+(2x^4y-2x^3)\,dy=0,\quad y(1)=3\)

    19. \((-4y\cos x+4\sin x\cos x+\sec^2x)\,dx+ (4y-4\sin x)\,dy=0,\quad y(\pi/4)=0\)

    20. \((y^3-1)e^x\,dx+3y^2(e^x+1)\,dy=0,\quad y(0)=0\)

    21. \((\sin x-y\sin x-2\cos x)\,dx+\cos x\,dy=0,\quad y(0)=1\)

    22. \((2x-1)(y-1)\,dx+(x+2)(x-3)\,dy=0,\quad y(1)=-1\)

    Q2.5.3

    23. Розв'яжіть точне\[(7x+4y)\,dx+(4x+3y)\,dy=0.\nonumber \] рівняння Покладіть поле напряму та деякі інтегральні криві для цього рівняння на прямокутник\[\{-1\le x\le1,-1\le y\le1\}.\nonumber \]

    24. Розв'яжіть точне\[e^x(x^4y^2+4x^3y^2+1)\,dx+(2x^4ye^x+2y)\,dy=0.\nonumber \] рівняння Покладіть поле напряму та деякі інтегральні криві для цього рівняння на прямокутник\[\{-2\le x\le2,-1\le y\le1\}.\nonumber \]

    25. Побудуйте поле напряму та деякі інтегральні криві для точного рівняння\[(x^3y^4+x)\,dx+(x^4y^3+y)\,dy=0\nonumber \] на прямокутник\(\{-1\le x\le 1,-1\le y\le1\}\). (Див. Вправу 2.5.37 (a)).

    26. Побудуйте поле напряму та деякі інтегральні криві для точного рівняння\[(3x^2+2y)\,dx+(2y+2x)\,dy=0\nonumber \] на прямокутник\(\{-2\le x\le 2,-2\le y\le2\}\). (Див. Вправа Е 2.5.37 (b)).

    27.

    1. Вирішити точне рівняння\[(x^3y^4+2x)\,dx+(x^4y^3+3y)\,dy=0 \tag{A} \] неявно.
    2. Для якого вибору\((x_0,y_0)\) теореми 2.3.1 означає, що початкова задача\[(x^3y^4+2x)\,dx+(x^4y^3+3y)\,dy=0,\quad y(x_0)=y_0, \tag{B}\] має унікальний розв'язок на відкритому інтервалі\((a,b)\), який містить\(x_0\)?
    3. Покладіть поле напряму та деякі інтегральні криві для (A) на прямокутній області, зосередженій на початку координат. Який інтервал дії розчину (В)?

    28.

    1. Вирішити точне рівняння\[(x^2+y^2)\,dx+2xy\,dy=0 \tag{A} \] неявно.
    2. Для якого вибору\((x_0,y_0)\) теореми 2.3.1 означає, що початкова задача значення\[(x^2+y^2)\,dx+2xy\,dy=0,\quad y(x_0)=y_0, \tag{B} \] має унікальний розв'язок\(y=y(x)\) на деякому відкритому інтервалі\((a,b)\), який містить\(x_0\)?
    3. Побудуйте поле напряму та деякі інтегральні криві для (A). З сюжету визначають, інтервал\((a,b)\) b, властивості монотонності (якщо такі є) розчину (В),\(\lim_{x\to a+}y(x)\) і\(\lim_{x\to b-}y(x)\).

    29. Знайти всі функції\(M\) такі, щоб рівняння було точним.

    1. \(M(x,y)\,dx+(x^2-y^2)\,dy=0\)
    2. \(M(x,y)\,dx+2xy\sin x\cos y\,dy=0\)
    3. \(M(x,y)\,dx+(e^x-e^y\sin x)\,dy=0\)

    30. Знайти всі функції\(N\) такі, щоб рівняння було точним.

    1. \((x^3y^2+2xy+3y^2)\,dx+N(x,y)\,dy=0\)
    2. \((\ln xy+2y\sin x)\,dx+N(x,y)\,dy=0\)
    3. \((x\sin x+y\sin y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\)

    31. Припустимо,\(M,N,\) і їх часткові похідні\(G\) є неперервними на відкритому прямокутник\(R\), і є\(M\) антипохідним по відношенню до\(x\); тобто\[{\partial G\over\partial x}=M.\nonumber \] Показати, що якщо\(M_y\ne N_x\) в\(R\) то функція не\[N-{\partial G\over\partial y}\nonumber \] є незалежною від\(x\).

    32. Довести: Якщо рівняння\(M_1\,dx+N_1\,dy=0\) і\(M_2\, dx+N_2\,dy=0\) точні на відкритому прямокутник\(R\), так це рівняння\[(M_1+M_2)\,dx+(N_1+N_2)\,dy=0.\nonumber \]

    33. Знайти умови на константи\(A\),,\(B\), і\(D\) такі\(C\), щоб\[(Ax+By)\,dx+(Cx+Dy)\,dy=0\nonumber \] рівняння було точним.

    34. Знайти умови на константи\(A\),,\(B\),\(C\)\(D\), і\(F\) такі\(E\), щоб рівняння було\[(Ax^2+Bxy+Cy^2)\,dx+(Dx^2+Exy+Fy^2)\,dy=0\nonumber \] точним.

    35. Припустимо\(N\),\(M\) і є неперервними і мають неперервні часткові похідні\(M_y\) і\(N_x\) які задовольняють умові точності\(M_y=N_x\) на відкритому прямокутник\(R\). Покажіть, що якщо\((x,y)\) знаходиться в,\(R\) а\[F(x,y)=\int^x_{x_0}M(s,y_0)\,ds+\int^y_{y_0}N(x,t)\,dt,\nonumber \] потім\(F_x=M\) і\(F_y=N\).

    36. За припущеннями вправи 2.5.35 показати, що\[F(x,y)=\int^y_{y_0}N(x_0,s)\,ds+\int^x_{x_0}M(t,y)\,dt.\nonumber \]

    37. Використовуйте метод, запропонований Вправою 2.5.35, з\((x_0,y_0)=(0,0)\), щоб вирішити ці точні рівняння:

    1. \((x^3y^4+x)\,dx+(x^4y^3+y)\,dy=0\)
    2. \((x^2+y^2)\,dx+2xy\,dy=0\)
    3. \((3x^2+2y)\,dx+(2y+2x)\,dy=0\)

    38. Вирішити початкову задачу\[y'+{2\over x}y=-{2xy\over x^2+2x^2y+1},\quad y(1)=-2.\nonumber \]

    39. Вирішити початкову задачу\[y'-{3\over x}y={2x^4(4x^3-3y)\over3x^5+3x^3+2y},\quad y(1)=1.\nonumber \]

    40. Вирішити початкову задачу\[y'+2xy=-e^{-x^2}\left({3x+2ye^{x^2}\over2x+3ye^{x^2}}\right),\quad y(0)=-1.\nonumber \]

    41. Перепишіть роздільне рівняння\[h(y)y'=g(x) \tag{A} \] як точне рівняння\[M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. \tag{B} \] Показати, що застосування методу цього розділу до (B) дає ті самі розв'язки, які були б отримані шляхом застосування методу поділу змінних до (A)

    42. Припустимо, всі другі часткові\(N=N(x,y)\) похідні\(M=M(x,y)\) і є\(-N\,dx+M\,dy=0\) неперервними\(M\,dx+N\,dy=0\) і і точні на відкритому прямокутник\(R\). Покажіть, що\(M_{xx}+M_{yy}=N_{xx}+N_{yy}=0\) на\(R\).

    43. Припустимо, всі другі часткові\(F=F(x,y)\) похідні безперервні і\(F_{xx}+F_{yy}=0\) на відкритому прямокутник\(R\). (Функція з цими властивостями вважається гармонічною; див. Також Вправа 2.5.42.) Показати,\(-F_y\,dx+F_x\,dy=0\) що точно на\(R\), і тому є функція\(G\) така, що\(G_x=-F_y\) і\(G_y=F_x\) в\(R\). (Функція\(G\) з цією властивістю, як кажуть, є гармонійним сполученням\(F\).)

    44. Переконайтеся, що наступні функції є гармонійними, і знайдіть всі їх гармонійні сполучення. (Див. Вправу 2.5.43.)

    1. \(x^2-y^2\)
    2. \(e^x\cos y\)
    3. \(x^3-3xy^2\)
    4. \(\cos x\cosh y\)
    5. \(\sin x\cosh y\)