Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4E: Перетворення нелінійних рівнянь у роздільні рівняння (вправи)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62350

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Q2.4.1

    У вправах 2.4.1-2.4.4 розв'яжіть задане рівняння Бернуллі.

    1. \(y'+y=y^2\)

    2. \( {7xy'-2y=-{x^2 \over y^6}}\)

    3. \(x^2y'+2y=2e^{1/x}y^{1/2}\)

    4. \( {(1+x^2)y'+2xy ={1 \over (1+x^2)y}}\)

    Q2.4.2

    У Вправи 2.4.5 і 2.4.6 знайдіть всі рішення. Крім того, побудуйте поле напряму та деякі інтегральні криві на зазначеній прямокутній області.

    5. \(y'-xy=x^3y^3; \quad \{-3\le x\le 3, 2\le y\ge 2\}\)

    6. \( {y'-{1+x\over 3x}y=y^4}; \quad \{-2\le x\le2,-2\le y \le2\}\)

    Q2.4.3

    У вправах 2.4.7-2.4.11 розв'яжіть початкову задачу значення.

    7. \(y'-2y=xy^3,\quad y(0)=2\sqrt2\)

    8. \(y'-xy=xy^{3/2},\quad y(1)=4\)

    9. \(xy'+y=x^4y^4,\quad y(1)=1/2\)

    10. \(y'-2y=2y^{1/2},\quad y(0)=1\)

    11. \( {y'-4y={48x\over y^2},\quad y(0)=1}\)

    Q2.4.4

    У вправах 2.4.12 та 2.4.13 розв'яжіть початкове значення задачі та графуйте розв'язок.

    12. \(x^2y'+2xy=y^3,\quad y(1)=1/\sqrt2\)

    13. \(y'-y=xy^{1/2},\quad y(0)=4\)

    Q2.4.5

    14. Можливо, ви помітили, що логістичне рівняння\[P'=aP(1-\alpha P)\] з моделі Верхулста для зростання населення може бути записано у формі Бернуллі, оскільки\[P'-aP=-a\alpha P^2.\] Це не особливо цікаво, оскільки логістичне рівняння відокремлене, а отже, розв'язане методом, вивченим у розділі 2.2. Отже, розглянемо більш складну модель, де позитивна константа і\(a\)\(\alpha\) є позитивною безперервною функцією\(t\) на\([0,\infty)\). Рівняння для цієї моделі є\[P'-aP=-a\alpha(t) P^2,\] нероздільним рівнянням Бернуллі.

    1. Припускаючи\(P(0)=P_0>0\), що, знайдіть\(P\) для\(t>0\).
    2. Переконайтеся, що ваш результат зводиться до відомих результатів для мальтузіанської моделі де і моделі Верхулста\(\alpha=0\), де\(\alpha\) є ненульовою константою.
    3. Припускаючи, що\[\lim_{t\to\infty}e^{-at}\int_0^t\alpha(\tau)e^{a\tau}\,d\tau=L\] існує (скінченне або нескінченне), знайдіть\(\lim_{t\to\infty}P(t)\).

    Q2.4.6

    У вправах 2.4.15-2.4.18 розв'яжіть рівняння явно.

    15. \(y'= {y+x\over x}\)

    16. \(y'= {y^2+2xy \over x^2}\)

    17. \(xy^3y'=y^4+x^4\)

    18. \(y'= {y\over x}+\sec{y\over x}\)

    Q2.4.7

    У вправах 2.4.19-2.4.21 розв'яжіть рівняння явно. Крім того, побудуйте поле напряму та деякі інтегральні криві на зазначеній прямокутній області.

    19. \(x^2y'=xy+x^2+y^2; \quad \{-8\le x\le 8,-8\le y\le 8\}\)

    20. \(xyy'=x^2+2y^2; \quad \{-4\le x\le 4,-4\le y\le 4\}\)

    21. \(y'= {2y^2+x^2e^{-(y/x)^2}\over 2xy}; \quad \{-8\le x\le 8,-8\le y\le 8\}\)

    Q2.4.8

    У вправах 2.4.22-2.4.27 розв'яжіть задачу початкового значення.

    22. \(y'= {xy+y^2\over x^2}, \quad y(-1)=2\)

    23. \(y'= {x^3+y^3\over xy^2}, \quad y(1)=3\)

    24. \(xyy'+x^2+y^2=0, \quad y(1)=2\)

    25. \(y'= {y^2-3xy-5x^2 \over x^2}, \quad y(1)=-1\)

    26. \(x^2y'=2x^2+y^2+4xy, \quad y(1)=1\)

    27. \(xyy'=3x^2+4y^2, \quad y(1)=\sqrt{3}\)

    Q2.4.9

    У вправах 2.4.28-2.4.34 розв'яжіть задане однорідне рівняння неявно.

    28. \(y'= {x+y \over x-y}\)

    29. \((y'x-y)(\ln |y|-\ln |x|)=x\)

    30. \(y'= {y^3+2xy^2+x^2y+x^3\over x(y+x)^2}\)

    31. \(y'= {x+2y \over 2x+y}\)

    32. \(y'= {y \over y-2x}\)

    33. \(y'= {xy^2+2y^3\over x^3+x^2y+xy^2}\)

    34. \(y'= {x^3+x^2y+3y^3 \over x^3+3xy^2}\)

    КВ 2.4.10

    35.

    1. Знайти розв'язку початкової задачі\[x^2y'=y^2+xy-4x^2, \quad y(-1)=0 \tag{A} \] на інтервалі\((-\infty,0)\). Переконайтеся, що це рішення дійсно на\((-\infty,\infty)\).
    2. Скористайтеся теоремою 2.3.1, щоб показати, що (A) має унікальне рішення на\((-\infty,0)\).
    3. Покладіть поле напряму для диференціального рівняння в (A) на квадраті,\[\{-r\le x\le r, -r\le y\le r\},\] де\(r\) є будь-яке додатне число. Графік рішення, отриманого в (a) на цьому полі.
    4. Графік інших розв'язків (A), які визначені на\((-\infty,\infty)\).
    5. Графік інших розв'язків (A), які визначені тільки на інтервалах форми\((-\infty,a)\), де є скінченне додатне число.

    36.

    1. Вирішити рівняння\[xyy'=x^2-xy+y^2 \tag{A} \] неявно.
    2. Покладіть поле напряму для (A) на квадраті,\[\{0\le x\le r,0\le y\le r\}\] де\(r\) є будь-яке додатне число.
    3. \(K\)Дозволяти бути натуральним числом. (Можливо, вам доведеться спробувати кілька варіантів\(K\).) Графічні розв'язки початкових задач\[xyy'=x^2-xy+y^2,\quad y(r/2)={kr\over K},\] для\(k=1\),\(2\),...,\(K\). Виходячи з ваших спостережень, знайдіть умови за додатними числами\(x_0\) і\(y_0\) такі, щоб початкова задача значення\[xyy'=x^2-xy+y^2,\quad y(x_0)=y_0, \tag{B} \] мала унікальний розв'язок (i) на\((0,\infty)\) або (ii) тільки на інтервалі\((a,\infty)\), де\(a>0\)?
    4. Що можна сказати про графік розв'язку (Б) як\(x\to\infty\)? (Знову ж таки, припустимо, що\(x_0>0\) і\(y_0>0\).)

    37.

    1. Вирішити рівняння\[y'={2y^2-xy+2x^2 \over xy+2x^2} \tag{A} \] неявно.
    2. Покладіть поле напряму для (A) на квадраті,\[\{-r\le x\le r,-r\le y\le r\}\] де\(r\) є будь-яке додатне число. Шляхом побудови графіків розв'язків (А) визначити необхідні і достатні умови на\((x_0,y_0)\) такі, що (А) має рішення на (i)\((-\infty,0)\) або (ii)\((0,\infty)\) такі, що\(y(x_0)=y_0\).

    38. Дотримуйтесь інструкцій вправи 2.4.37 для рівняння\[y'={xy+x^2+y^2 \over xy}.\]

    39. Виберіть будь-яке нелінійне однорідне рівняння, яке\(y'=q(y/x)\) вам подобається, і побудуйте напрямки поля на\(\{-r\le x\le r,\ -r\le y\le r\}\) квадраті, де\(r>0\). Що відбувається з полем напряму, коли ви змінюєтеся\(r\)? Чому?

    40. Довести: Якщо\(ad-bc\ne 0\) рівняння\[y'={ax+by+\alpha \over cx+dy+\beta}\] може бути перетворено в однорідне нелінійне рівняння\[{dY \over dX}={aX+bY \over cX+dY}\] шляхом заміщення\(x=X-X_0,\ y=Y-Y_0\), де\(X_0\) і\(Y_0\) відповідним чином обрані константи.

    КВ 2.4.11

    У вправах 2.4.21-2.4.43 використовувати метод, запропонований Вправою 2.4.40 для розв'язання заданого рівняння неявно.

    41. \(y'= {-6x+y-3 \over 2x-y-1}\)

    42. \(y'= {2x+y+1 \over x+2y-4}\)

    43. \(y'= {-x+3y-14 \over x+y-2}\)

    КВ 2.4,12

    У вправах 2.4.44-2.4.51 знайдіть\(y_{1}\) таку функцію, що заміщення\(y = uy_{1}\) перетворює дане рівняння в роздільне рівняння виду (2.4.6). Потім вирішіть задане рівняння явно.

    44. \(3xy^2y'=y^3+x\)

    45. \(xyy'=3x^6+6y^2\)

    46. \(x^3y'=2(y^2+x^2y-x^4)\)

    47. \(y'=y^2e^{-x}+4y+2e^x\)

    48. \(y'= {y^2+y\tan x+\tan^2 x\over\sin^2x}\)

    49. \(x(\ln x)^2y'=-4(\ln x)^2+y\ln x+y^2\)

    50. \(2x(y+2\sqrt x)y'=(y+\sqrt x)^2\)

    51. \((y+e^{x^2})y'=2x(y^2+ye^{x^2}+e^{2x^{2}}\)

    КВ 2.4,13

    52. Вирішити початкову задачу значення\[y'+{2\over x}y={3x^2y^2+6xy+2\over x^2(2xy+3)},\quad y(2)=2.\]

    53. Вирішити початкову задачу значення\[y'+{3\over x}y={3x^4y^2+10x^2y+6\over x^3(2x^2y+5)},\quad y(1)=1.\]

    54. Довести: Якщо\(y\) є розв'язком однорідного нелінійного рівняння\(y'=q(y/x)\), так є\(y_1=y(ax)/a\), де\(a\) будь-яка ненульова константа.

    55. Узагальнене рівняння Ріккаті має вигляд\[y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^2. \tag{A} \] (If\(R\equiv-1\), (A) - рівняння Ріккаті.) \(y_1\)Дозволяти бути відомим рішенням і\(y\) довільним рішенням (A). Нехай\(z=y-y_1\). Показати, що\(z\) є розв'язком рівняння Бернуллі с\(n=2\).

    КВ 2.4,14

    У вправах 2.4.56-2.4.59, враховуючи, що\(y_{1}\) це рішення даного рівняння, використовуйте метод, запропонований Вправою 2.4.55, щоб знайти інші рішення.

    56. \(y'=1+x - (1+2x)y+xy^2\);\(y_1=1\)

    57. \(y'=e^{2x}+(1-2e^x)y+y^2\);\(y_1=e^x\)

    58. \(xy'=2-x+(2x-2)y-xy^2\);\(y_1=1\)

    59. \(xy'=x^3+(1-2x^2)y+xy^2\);\(y_1=x\)