1.3E: Поля напряму для рівнянь першого порядку (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61903

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Вправи для розділу 1.3

У Вправах 1—11 для даного рівняння малюється поле напряму. Намалюйте деякі інтегральні криві.

1.
$clipboard_ecaa0db6f1fdef51a705e90b878c02022.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$y'= {\frac{x}{y}}$

2.
$clipboard_e36fdf613776a431b1e8191cecfb75d19.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$ {y'= {2xy^2\over1+x^2}}$

3.
$clipboard_e2e0f78fd7d0281deeb3df372a3dd82bf.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$y'=x^2(1+y^2)$

4.
$clipboard_eaeb583fc57656cdd45141b50283234ba.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$y'= {1\over1+x^2+y^2}$

5.

$clipboard_e773af5b2db36a2716990bc6547ea8350.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$y'=-(2xy^2+y^3)$

6.
$clipboard_e608ddd48ea3de96fabef8c8dbc9f2b95.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$y'=(x^2+y^2)^{1/2}$

7.
$clipboard_e4c24dceacf5c04358243ff0dbcfab51f.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$y'=\sin xy$

8.
$clipboard_ea448bb2833068eee5327e80c03f3bc30.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$y'=e^{xy}$

9.
$clipboard_e994c3c42adb6dd58d08b10ccb5b0549c.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$y'=(x-y^2)(x^2-y)$

10.
$clipboard_e06d564a692a46e7905532a83d418f113.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$y'=x^3y^2+xy^3$

11.
$clipboard_e1a0943243a0e768584defadf1c51a9d4.png$
Рисунок Template:index: Поле напряму для$y'=\sin(x-2y)$

У вправах 12 - 22 побудувати напрямок поля і побудувати деякі інтегральні криві в зазначеній прямокутній області.

12. $y'=y(y-1); \quad \{-1\le x\le 2,\ -2\le y\le2\}$

13. $y'=2-3xy; \quad \{-1\le x\le 4,\ -4\le y\le4\}$

14. $y'=xy(y-1); \quad \{-2\le x\le2,\ -4\le y\le 4\}$

15. $y'=3x+y; \quad \{-2\le x\le2,\ 0\le y\le 4\}$

16. $y'=y-x^3; \quad \{-2\le x\le2,\ -2\le y\le 2\}$

17. $y'=1-x^2-y^2; \quad \{-2\le x\le2,\ -2\le y\le 2\}$

18. $y'=x(y^2-1); \quad \{-3\le x\le3,\ -3\le y\le 2\}$

19. $y'= {x\over y(y^2-1)}; \quad \{-2\le x\le2,\ -2\le y\le 2\}$

20. $y'= {xy^2\over y-1}; \quad \{-2\le x\le2,\ -1\le y\le 4\}$

21. $y'= {x(y^2-1)\over y}; \quad \{-1\le x\le1,\ -2\le y\le 2\}$

22. $y'=- {x^2+y^2\over1-x^2-y^2}; \quad \{-2\le x\le2,\ -2\le y\le 2\}$

23. Шляхом відповідного перейменування констант і залежних змінних у рівняннях

\[T' = -k(T-T_m) \tag{A}\]

\[G'=-\lambda G+r\tag{B}\]

обговорюється в розділі 1.2 у зв'язку з законом Ньютона охолодження і всмоктування глюкози в організмі, ми можемо записати і те, і інше

\[y'=- ay+b, \tag{C}\]

де$a$ позитивна константа і$b$ є довільною константою. Таким чином, (A) має форму (C) з$y=T$$a=k$, і$b=kT_m$, і (B) має форму (С) з$y=G$$a=\lambda$, і$b=r$. Ми зіткнемося з рівняннями форми (C) у багатьох інших додатках у розділі 2.

Вибирайте позитивне$a$ і довільне$b$. Побудувати поле напряму і побудувати деякі інтегральні криві для (C) в прямокутній області форми\[\{0\le t\le T,\ c\le y\le d\}\]

$ty$-площині. Варіюйте$T$$c$, і$d$ поки не виявите спільну властивість всіх рішень (С). Повторіть цей експеримент з різними варіантами$a$ і$b$ до тих пір, поки ви не зможете точно вказати цю властивість з точки зору$a$ і$b$.

24. Шляхом відповідного перейменування констант і залежних змінних у рівняннях

\[P'=aP(1-\alpha P) \tag{A}\]

\[I'=rI(S-I) \tag{B}\]

обговорюється в розділі 1.1 у зв'язку з моделлю населення Верхульста та поширенням епідемії, ми можемо написати як у формі

\[y'=ay-by^2, \tag{C}\]

де$a$ і$b$ є позитивними константами. Таким чином, (A) має форму (C) з$y=P$$a=a$, і$b=a\alpha$, і (B) має форму (С) з$y=I$$a=rS$, і$b=r$. У розділі 2 ми зіткнемося з рівняннями виду (C) в інших додатках..

Вибирайте позитивні числа$a$ і$b$. Побудувати поле напряму і побудувати деякі інтегральні криві для (C) в прямокутній області форми\[\{0\le t\le T,\ 0\le y\le d\}\]

$ty$-площині. $T$Змінюватися і$d$ поки ви не виявите спільну властивість всіх рішень (С) с$y(0)>0$. Повторіть цей експеримент з різними варіантами$a$ і$b$ до тих пір, поки ви не зможете точно вказати цю властивість з точки зору$a$ і$b$.

Вибирайте позитивні числа$a$ і$b$. Побудувати поле напряму і побудувати деякі інтегральні криві для (C) в прямокутній області форми\[\{0\le t\le T,\ c\le y\le 0\}\]

$ty$-площині. $a$Змінюватися$b$,$T$ і$c$ поки не виявите спільну властивість всіх рішень (С) с$y(0)<0$.

Ви можете перевірити свої результати пізніше, виконавши вправу 2.2.27.