2.6E: Інтеграція факторів (вправи)

Q2.6.1

1.

1. Переконайтеся, що\(\mu(x,y)=y\) це інтегруючий коефіцієнт для\[y dx+\left(2x+\frac{1}{y} \right) dy=0 \tag{A} \] будь-якого відкритого прямокутника, який не перетинає\(x\) вісь або, що еквівалентно, що\[y^{2} dx +(2xy+1) dy=0 \tag{B} \] є точним для будь-якого такого прямокутника.
2. Переконайтеся, що\(y\equiv0\) це рішення (B), але не з (A).
3. Покажіть, що\[y(xy+1)=c \tag{C}\] це неявне рішення (B), і поясніть, чому кожна диференційовна функція,\(y=y(x)\) відмінна від того\(y\equiv0\), що задовольняє (C), також є розв'язком (A).

2.

1. Переконайтеся, що\(\mu(x,y)=1/(x-y)^2\) це інтеграційний коефіцієнт для\[-y^{2}dx+x^{2}dy=0 \tag{A}\] будь-якого відкритого прямокутника, який не перетинає пряму\(y=x\) або, що еквівалентно, що\[-\frac{y^{2}}{(x-y)^{2}}dx + \frac{x^{2}}{(x-y)^{2}}dy=0 \tag{B}\] є точним для будь-якого такого прямокутника.
2. Використовуйте теорему 2.2.1, щоб показати, що\[\frac{xy}{(x-y)}=c\tag{C}\] це неявне рішення (B), і пояснити, чому це також неявне рішення (A)
3. Переконайтеся, що\(y=x\) це рішення (A), хоча його неможливо отримати з (C).

КВ 2.6.2

У вправах 2.6.3-2.6.16 знайти інтегруючий коефіцієнт; тобто функцію лише однієї змінної, і вирішити задане рівняння.

3. \(ydx-xdy=0\)

4. \(3x^{2}ydx +2x^{3}dy=0\)

5. \(2y^{3}dx+3y^{2}dy=0\)

6. \((5xy+2y+5)dx+2xdy=0\)

7. \((xy+x+2y+1)\,dx+(x+1)\,dy=0\)

8. \((27xy^2+8y^3)\,dx+(18x^2y+12xy^2)\,dy=0\)

9. \((6xy^2+2y)\,dx+(12x^2y+6x+3)\,dy=0\)

10. \(y^2\,dx+\left(xy^2+3xy+{1\over y}\right)\,dy=0\)

11. \((12x^3y+24x^2y^2)\,dx+(9x^4+32x^3y+4y)\,dy=0\)

12. \((x^2y+4xy+2y)\,dx+(x^2+x)\,dy=0\)

13. \(-y\,dx+(x^4-x)\,dy=0\)

14. \(\cos x\cos y\,dx +(\sin x\cos y-\sin x\sin y+y)\,dy=0\)

15. \((2xy+y^2)\,dx+(2xy+x^2-2x^2y^2-2xy^3)\,dy=0\)

16. \(y\sin y\,dx+x(\sin y-y\cos y)\,dy=0\)

КВ 2.6.3

У вправах 2.6.17-2.6.23 знайти інтегруючий коефіцієнт виду\(\mu (x,y)=P(x)Q(y)\) і вирішити задане рівняння.

17. \(y(1+5\ln|x|)\,dx+4x\ln|x|\,dy=0\)

18. \((\alpha y+ \gamma xy)\,dx+(\beta x+ \delta xy)\,dy=0\)

19. \((3x^2y^3-y^2+y)\,dx+(-xy+2x)\,dy=0\)

20. \(2y\,dx+ 3(x^2+x^2y^3)\,dy=0\)

21. \((a\cos xy-y\sin xy)\,dx+(b\cos xy-x\sin xy)\, dy=0\)

22. \(x^4y^4\,dx+x^5y^3\,dy=0\)

23. \(y(x\cos x+2\sin x)\,dx+x(y+1)\sin x\,dy=0\)

Q2.6.4

У вправах 2.6.24-2.6.27 знайти інтегруючий коефіцієнт і вирішити рівняння. Побудуйте поле напряму та деякі інтегральні криві для рівняння в зазначеній прямокутній області.

24. \((x^4y^3+y)\,dx+(x^5y^2-x)\,dy=0; \quad \{-1\le x\le1,-1\le y\le1\}\)

25. \((3xy+2y^2+y)\,dx+(x^2+2xy+x+2y)\,dy=0; \quad \{-2\le x\le2,-2\le y\le2\}\)

26. \((12 xy+6y^3)\,dx+(9x^2+10xy^2)\,dy=0; \quad \{-2\le x\le2,-2\le y\le2\}\)

27. \((3x^2y^2+2y)\,dx+ 2x\,dy=0; \quad \{-4\le x\le4,-4\le y\le4\}\)

Q2.6.5

28. Припустимо\(a\)\(b\),\(c\),, і\(d\) є константами такі\(ad-bc\ne0\), що, і нехай\(m\) і\(n\) бути довільними дійсними числами. Покажіть, що

\[(ax^my+by^{n+1})\,dx+(cx^{m+1}+dxy^n)\,dy=0\]

має інтегруючий фактор\(\mu(x,y)=x^\alpha y^\beta\).

29. Припустимо\(M\)\(N\),\(M_x\),, і\(N_y\) є безперервними для всіх\((x,y)\), і\(\mu=\mu(x,y)\) є інтеграційним фактором для\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.\tag{A}\]

Припустимо, що\(\mu_x\) і\(\mu_y\) є безперервними для всіх\((x,y)\), і припустимо\(y=y(x)\) це диференційовна функція така, що\(\mu(x,y(x))=0\) і\(\mu_x(x,y(x))\ne0\) для всіх\(x\) в деякому інтервалі\(I\). Показати, що\(y\) це рішення (A) на\(I\).

30. Згідно з теоремою 2.1.2, загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння\[y'+p(x)y=f(x)\tag{A}\]

є\[y=y_{1}x\left( c+\int f(x)/y_{1}(x) dx \right),\tag{B}\]

де\(y_1\) - будь-яке нетривіальне рішення комплементарного рівняння\(y'+p(x)y=0\). У цій вправі ми отримуємо цей висновок іншим способом. Можливо, вам буде повчальним застосувати запропонований тут метод для вирішення деяких вправ у розділі 2.1.

1. Перепишіть (A) як\[[p(x)y-f(x)]dx +dy =0,\tag{C}\] і показати, що\(\mu=\pm e^{\int p(x)\,dx}\) є інтеграційним фактором для (C).
2. Помножте (A) через\(\mu=\pm e^{\int p(x)\,dx}\) і переконайтеся, що отримане рівняння може бути перезаписано як\[(\mu(x)y)'=\mu(x)f(x).\] Потім інтегруйте обидві сторони цього рівняння та вирішіть,\(y\) щоб показати, що загальне рішення (A) є\[y={1\over\mu(x)}\left(c+\int f(x)\mu(x)\,dx\right).\] Чому ця форма загального рішення еквівалентна (B)?