Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2E: Роздільні рівняння (вправи)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62338

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Q2.2.1

    У Вправи 2.2.1-2.2.6 знайти всі рішення.

    1. \( {y'={3x^2+2x+1\over y-2}}\)

    2. \((\sin x)(\sin y)+(\cos y)y'=0\)

    3. \(xy'+y^2+y=0\)

    4. \(y' \ln |y|+x^2y= 0\)

    5. \( {(3y^3+3y \cos y+1)y'+{(2x+1)y\over 1+x^2}=0}\)

    6. \(x^2yy'=(y^2-1)^{3/2}\)

    Q2.2.2

    У Вправи 2.2.7-2.2.10 знайти всі рішення. Крім того, побудуйте поле напряму та деякі інтегральні криві на зазначеній прямокутній області.

    7. \( {y'=x^2(1+y^2)}; \; \{-1\le x\le1,\ -1\le y\le1\}\)

    8. \(y'(1+x^2)+xy=0 ; \; \{-2\le x\le2,\ -1\le y\le1\}\)

    9. \(y'=(x-1)(y-1)(y-2); \; \{-2\le x\le2,\ -3\le y\le3\}\)

    10. \((y-1)^2y'=2x+3; \; \{-2\le x\le2,\ -2\le y\le5\}\)

    Q2.2.3

    У вправах 2.2.11 і 2.2.12 розв'яжіть початкове значення задачі.

    11. \( {y'={x^2+3x+2\over y-2}, \quad y(1)=4}\)

    12. \(y'+x(y^2+y)=0, \quad y(2)=1\)

    Q2.2.4

    У вправах 2.2.13-2.2.16 розв'яжіть початкове значення задачі та графік розв'язку.

    13. \((3y^2+4y)y'+2x+\cos x=0, \quad y(0)=1\)

    14. \( {y'+{(y+1)(y-1)(y-2)\over x+1}=0, \quad y(1)=0}\)

    15. \(y'+2x(y+1)=0, \quad y(0)=2\)

    16. \(y'=2xy(1+y^2),\quad y(0)=1\)

    Q2.2.5

    У вправах 2.2.17-2.2.23 розв'яжіть початкову задачу значення та знайдіть інтервал валідності розв'язку.

    17. \(y'(x^2+2)+ 4x(y^2+2y+1)=0, \quad y(1)=-1\)

    18. \(y'=-2x(y^2-3y+2), \quad y(0)=3\)

    19. \( {y'={2x\over 1+2y}, \quad y(2)=0}\)&

    20. \(y'=2y-y^2, \quad y(0)=1\)

    21. \(x+yy'=0, \quad y(3) =-4\)

    22. \(y'+x^2(y+1)(y-2)^2=0, \quad y(4)=2\)

    23. \((x+1)(x-2)y'+y=0, \quad y(1)=-3\)

    Q2.2.6

    24. Вирішити\( {y'={(1+y^2) \over (1+x^2)}}\) явно.

    25. Вирішити\( {y'\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=0}\) явно.

    26. Вирішити\( {y'={\cos x\over \sin y},\quad y (\pi)={\pi\over2}}\) явно.

    27. Вирішити початкове значення задачі\[y'=ay-by^2,\quad y(0)=y_0.\] Обговорити поведінку розв'язку, якщо a\(y_0\ge0\); b\(y_0<0\).

    28. \(P=P(t)\)Популяція виду задовольняє логістичному рівнянню\[P'=aP(1-\alpha P)\] і\(P(0)=P_0>0\). Знайти\(P\) для\(t>0\), і знайти\(\lim_{t\to\infty}P(t)\).

    29. Епідемія поширюється по населенню зі швидкістю, пропорційною добутку кількості вже заражених людей та кількості людей, сприйнятливих, але ще не інфікованих. Тому якщо\(S\) позначає загальну популяцію сприйнятливих людей і\(I=I(t)\) позначає кількість інфікованих людей на час\(t\),\(r\) то\[I'=rI(S-I),\] де позитивна константа. Припускаючи\(I(0)=I_0\), що, знайти\(I(t)\) для\(t>0\), і показати, що\(\lim_{t\to\infty}I(t)=S\).

    30. Результат вправи 2.2.29 бентежить: якщо спочатку інфікований будь-який сприйнятливий член групи, то в довгостроковій перспективі заражені всі сприйнятливі члени! На більш надійній ноті, припустимо, що хвороба поширюється відповідно до моделі Вправи 2.2.29, але є ліки, які лікують заражене населення зі швидкістю, пропорційною кількості інфікованих осіб. Тепер рівняння кількості заражених особин стає\[I'=rI(S-I)-qI \tag{A} \] де\(q\) позитивна константа.

    1. Вибирайте\(r\) і\(S\) позитивно. Поклавши напрямні поля та розв'язки (A) на відповідних прямокутних сітках\[R=\{0\le t \le T,\ 0\le I \le d\}\] у\((t,I)\) -площині, переконайтеся, що якщо\(I\) є будь-яке рішення (A) таке\(I(0)>0\), що, то\(\lim_{t\to\infty}I(t)=S-q/r\) якщо\(q<rS\) і\(\lim_{t\to\infty}I(t)=0\) якщо\(q\ge rS\).
    2. Щоб перевірити експериментальні результати (а), використовуйте поділ змінних для розв'язання (A) з початковою умовою\(I(0)=I_0>0\), і знайти\(\lim_{t\to\infty}I(t)\).

    31. Розглянемо диференціальне рівняння\[y'=ay-by^2-q, \tag{A} \] де\(a\),\(b\) є додатними константами, і\(q\) є довільною константою. Припустимо,\(y\) позначає рішення цього рівняння, яке задовольняє початковій умові\(y(0)=y_0\).

    1. Вибирайте\(a\) і\(b\) позитивні і\(q<a^2/4b\). Поклавши напрямні поля та розв'язки (A) на відповідних прямокутних сітках\[R=\{0\le t \le T,\ c\le y \le d\} \tag{B} \] у\((t,y)\) -площині, виявити, що є числа\(y_1\) і\(y_2\) з\(y_1<y_2\) такими, що якщо\(y_0>y_1\) тоді\(\lim_{t\to\infty}y(t)=y_2\),\(y_0<y_1\) а якщо то\(y(t)=-\infty\) для деякого кінцевого значення\(t\) . (Що станеться, якщо\(y_0=y_1\)?)
    2. Вибирайте\(a\) і\(b\) позитивні і\(q=a^2/4b\). Шляхом побудови напрямів полів і розв'язків (A) на відповідних прямокутних сітках форми (B), виявити, що є\(y_1\) таке число, що якщо\(y_0\ge y_1\) тоді\(\lim_{t\to\infty}y(t)=y_1\), в той час як якщо\(y_0<y_1\) тоді\(y(t)=-\infty\) для деякого кінцевого значення\(t\).
    3. Вибирайте позитивні\(a\),\(b\) і\(q>a^2/4b\). Шляхом побудови напрямів полів і розв'язків (A) на відповідних прямокутних сітках форми (B), виявити, що незалежно від того, що\(y_0\) є,\(y(t)=-\infty\) для деякого кінцевого значення\(t\).
    4. Перевірте свої результати експериментів аналітично. Почніть з поділу змінних в (A),\[{y'\over ay-by^2-q}=1.\] щоб отримати Щоб вирішити, що робити далі, вам доведеться використовувати квадратичну формулу. Це повинно привести вас до того, чому є три випадки. Візьміть його звідти! Через свою роль в переході між цими трьома випадками,\(q_0=a^2/4b\) називається біфуркаційним значенням\(q\). Загалом, якщо\(q\) є параметром у будь-якому диференціальному рівнянні,\(q_0\) вважається біфуркаційним значенням,\(q\) якщо характер розв'язків рівняння з якісно\(q<q_0\) відрізняється від характеру розв'язків с\(q>q_0\).

    32. Шляхом побудови напрямів полів і розв'язків\[y'=qy-y^3,\] переконайтеся, що\(q_0=0\) це значення біфуркації\(q\) для цього рівняння. Поясніть, що змушує вас зробити такий висновок.

    33. Припустимо, хвороба поширюється за моделлю вправи 2.2.29, але є ліки, які лікують заражену популяцію з постійною швидкістю\(q\) людей в одиницю часу, де\(q>0\). Тоді рівняння кількості заражених особин стає\[I'=rI(S-I)-q.\]

    Припускаючи\(I(0)=I_0>0\), що, використовуйте результати вправи 2.2.31, щоб описати, що відбувається як\(t\to\infty\).

    34. Припускаючи\(p \not\equiv 0\), що, станьте умови, при яких\[y'+p(x)y=f(x)\] лінійне рівняння відокремлюється. Якщо рівняння задовольняє цим умовам, вирішіть його поділом змінних і методом, розробленим в розділі 2.1.

    КВ 2.2.7

    Розв'яжіть рівняння у Вправи 2.2.35-2.2.38, використовуючи варіацію параметрів з подальшим поділом змінних.

    35. \( {y'+y={2xe^{-x}\over1+ye^x}}\)&

    36. \( {xy'-2y={x^6\over y+x^2}}\)

    37. \( {y'-y}={(x+1)e^{4x}\over(y+e^x)^2}\)&

    38. \(y'-2y= {xe^{2x}\over1-ye^{-2x}}\)

    39. Використовуйте варіацію параметрів, щоб показати, що розв'язки наступних рівнянь мають вигляд\(y=uy_1\), де\(u\) задовольняє роздільне рівняння\(u'=g(x)p(u)\). Знайти\(y_1\) і\(g\) для кожного рівняння.

    1. \(xy'+y=h(x)p(xy)\)
    2. \( {xy'-y=h(x) p\left({y\over x}\right)}\)
    3. \(y'+y=h(x) p(e^xy)\)
    4. \(xy'+ry=h(x) p(x^ry)\)
    5. \( {y'+{v'(x)\over v(x)}y= h(x) p\left(v(x)y\right)}\)