1: Гармонічне коливання

Осцилятори є основними будівельними блоками хвиль. Почнемо з обговорення гармонійного осцилятора. Визначимо загальні принципи, які роблять гармонійний генератор таким особливим і важливим. Щоб скористатися цими принципами, ми повинні ввести математичний пристрій комплексних чисел. Але перевага введення цієї математики полягає в тому, що ми можемо по-новому зрозуміти рішення проблеми гармонічного осцилятора. Показано, що властивості лінійності та інваріантності часового перекладу призводять до розв'язків, які є складними експоненціальними функціями часу.

Попередній перегляд

У цьому розділі ми обговорюємо гармонійні коливання в системах з лише одним ступенем свободи.

1. Почнемо з огляду простого гармонічного осцилятора, зазначивши, що рівняння руху вільного осцилятора є лінійним і інваріантним при перекладі часу;
2. Більш детально обговорюємо лінійність, стверджуючи, що це родова ситуація для малих коливань про точку стійкої рівноваги;
3. Обговорюється інваріантність часового перекладу гармонічного осцилятора та зв'язок між гармонійним коливанням та рівномірним круговим рухом;
4. Вводимо комплексні числа, і обговорюємо їх арифметику;
5. Використовуючи комплексні числа, ми знаходимо розв'язки рівняння руху гармонічного осцилятора, які поводяться максимально просто під час перекладів часу. Ми називаємо ці рішення «незвідними». Ми показуємо, що вони насправді є складними експоненціальними показниками.
6. Обговорюємо$LC$ схему і проводимо аналогію між нею і системою маси і пружин.
7. Обговорюємо одиниці.
8. Наведемо один простий приклад нелінійного осцилятора.