1.5: Експоненціальні рішення
Тепер ми готові перевести умови лінійності та інваріантності перекладу часу в математику. Ми побачимо, що дві властивості лінійності та інваріантності перекладу часу автоматично призводять до незведених рішень, що задовольняють (1.38), і, крім того, що
Малюнок 1.8: Деяка особлива складна експоненціальна в комплексній площині.
ці незведені рішення просто експоненціальні. Нам не потрібно використовувати будь-які інші деталі про рівняння руху, щоб отримати цей результат. Тому наші аргументи будуть застосовуватися до набагато складніших ситуацій, в яких спостерігається демпфування або більше ступенів свободи або обох. Поки система має час трансляції інваріантності та лінійності, розв'язки будуть сумами незведених експоненціальних розв'язків.
Ми бачили, що розв'язки однорідних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, виду,
Md2dt2x(t)+Kx(t)=0,
мають властивості лінійності та інваріантності перекладу часу. Рівняння простого гармонійного руху має таку форму. Координати реальні, а константиM і реальні, тому що вониK є фізичними речами, такими як маси і пружинні константи. Однак ми хочемо дозволити собі розкіш розгляду складних рішень, тому розглядаємо те саме рівняння зі складними змінними:
Md2dt2z(t)+Kz(t)=0.
Зверніть увагу на співвідношення між розв'язками до (1.68) і (1.69). Оскільки коефіцієнтиM іK є реальними, для кожного розв'язкуz(t), з (1.69), складнийz(t)∗ сполучений, також є рішенням. Диференціальне рівняння залишається істинним при змініi знаків усіх.
З цих двох рішень ми можемо побудувати два реальних рішення:
x1(t)=Re(z(t))=(z(t)+z(t)∗)/2;
x2(t)=Im(z(t))=(z(t)−z(t)∗)/2i.
Все це можливо завдяки лінійності, яка дозволяє переходити вперед і назад від реальних до складних рішень шляхом формування лінійних комбінацій, як в (1.70). Це рішення (1.68). Зверніть увагу, щоx1(t) іx2(t) є лише реальними і уявними частинамиz(t). Справа в тому, що з комплексного рішення завжди можна реконструювати фізичні реальні розв'язки рівняння руху. Ви можете зробити всю математику, використовуючи складні змінні, що значно полегшує роботу. Тоді в кінці ви можете отримати фізичне рішення, яке цікавить, просто взявши реальну частину вашого комплексного рішення.
Тепер повернемося до рішення (1.69). Ми хочемо показати, що нас ведуть до незведених, експоненціальних рішень для будь-якої системи з інваріантністю та лінійністю перекладу часу! Таким чином, ми зрозуміємо, чому ми завжди можемо знайти незвідні рішення не тільки в (1, 69), але і в набагато складніших ситуаціях з демпфуванням або більшими ступенями свободи.
Є два найважливіших елементи:
- Інваріантність перекладу часу, (1.33),x(t+a) яка вимагає рішення, якщоx(t) це рішення;
- Лінійність, яка дозволяє формувати лінійні комбінації рішень для отримання нових рішень.
Ми будемо вирішувати (1.68), використовуючи тільки ці два елементи. Це дозволить нам негайно узагальнити наше рішення до будь-якої системи, в якій присутні властивості (1.71).
Одним із способів використання лінійності є вибір «базового» набору рішень,xj(t) дляj=1n яких є «повним» і «лінійно незалежним». Для гармонічного осцилятора два рішення - це все, що нам потрібно, томуn=2. Але наш аналіз буде набагато більш загальним і буде застосовуватися, наприклад, до лінійних систем з більшими ступенями свободи, тому ми залишимоn вільними. Що означає «повний», це те, що будь-яке рішенняz(t), (яке може бути складним) може бути виражене у вигляді лінійної комбінаціїxj(t) тих,
z(t)=n∑j=1cjxj(t).
Те, що «лінійно незалежний» означає, що жоден з не може бути виражений як лінійна комбінація інших, так що єдиною лінійною комбінацією з тих, що зникає є тривіальна комбінація, тільки з нульовими коефіцієнтами,xj(t)xj(t)
n∑j=1cjxj(t)=0⇒cj=0.
Тепер давайте подивимося, чи можемо ми знайти незведене рішення, яке поводиться просто при зміні початкової настройки годинника, як у (1.38),
z(t+a)=h(a)z(t)
для деякої (можливо складної) функціїh(a). З точки зору базових рішень, це
z(t+a)=h(a)n∑k=1ckxk(t).
Але кожне з базових рішень також переходить в рішення під час перекладу, і кожне нове рішення може, в свою чергу, бути записано як лінійне поєднання базових рішень, а саме:
xj(t+a)=n∑k=1Rjk(a)xk(t).
Таким чином
z(t+a)=n∑j=1cjxj(t+a)=n∑j,k=1cjRjk(a)xk(t).
Порівнюючи (1.75) та (1.77) та використовуючи (1.73), ми бачимо, що ми можемо знайти незведене рішення тоді і лише тоді, коли
n∑j=1cjRjk(a)=h(a)ckforallk.
Це називається «рівнянням власних значень». Ми будемо мати набагато більше, щоб сказати про рівняння власних значень у розділі 3, коли ми обговорюємо матричні позначення. Наразі зауважте, що (1.78) - це сукупністьn однорідних одночасних рівнянь уn невідомих коефіцієнтах,cj. Ми можемо переписати його як
n∑j=1cjSjk(a)=0forallk,
де
\[S_{jk}(a) = \begin{cases} R_{jk}(a) for j =/ k, \\ R_{jk}(a) - h(a) for j = k. \end{cases}\]
Ми можемо знайти розв'язку (1.78) тоді і тільки тоді, коли є розв'язок детермінантного рівняння 5
detSjk(a)=0.
___________________________
5 Ми детально обговоримо детермінант у главі 3, тому якщо ви забули цей результат з алгебри, не турбуйтеся про це зараз.
(1.81) -n рівняння порядку у зміннійh(a). Він може не мати реального рішення, але він завжди маєn складні рішення дляh(a) (хоча деякіh(a) значення можуть з'являтися не один раз). Для кожного рішення дляh(a), ми можемо знайти набірcj s задовольняє (1.78). Різні лінійні комбінаціїz(t), побудовані таким чином, будуть лінійно незалежним набором незведених розв'язків, кожен задовольняє (1,74), для деякихh(a). Якщо існуютьn різніh(a) s, звичайна ситуація, вони будуть повним набором незведених рішень рівнянь рухів. Тоді ми можемо також прийняти наші рішення, щоб бути незвідними, задовольняють (1.74). Пізніше ми побачимо, що станеться, коли деякі зh(a) s з'являються не раз, так що їх менше, ніжn різних.
Тепер для кожного такого незведеного рішення ми можемо побачити, які функціїh(a) іz(a) повинні бути. Якщо диференціювати обидві сторони (1.74) щодоa, ми отримаємо
z′(t+a)=h′(a)z(t).
Налаштуванняa=0 дає
z′(t)=Hz(t)
де
H≡h′(0).
Це має на увазі
z(t)∝eHt.
Таким чином, незвідне рішення є експоненціальним! Показано, що (1.71) призводить до незвідних, експоненціальних розв'язків, не використовуючи жодної деталі динаміки!
Нарощування експоненціального
Існує ще один спосіб побачити, що (1.74) має на увазі для форми незвідного рішення, який навіть не передбачає розв'язання простого диференціального рівняння, (1.83). Почніть з установкиt=0 в (1.74). Це дає
h(a)=z(a)/z(0).
h(a)пропорційнаz(a). Це особливо просто, якщо ми вирішили помножити наше незвідне рішення на постійну такz(0)=1. Тоді (1.86) дає
h(a)=z(a)
і тому
z(t+a)=z(t)z(a).
Розглянемо, що відбувається для дуже \(t = маленьких << 1\). Виконуючи розширення Тейлора, ми можемо написати
\[z() = 1 + Н + О (^2)\]
де Н = z' (0) з (1.84) і (1.87). Використовуючи (1.88), ми можемо показати, що
\[z(N) = [z ()] ^N.\]
Тоді для будь-якогоt ми можемо записати (беручи t = N?)
z(t)=limN→∞[z(t/N)]N=limN→∞[1+H(t/N)]N=e(Ht)
Таким чином, ми знову бачимо, що незвідне рішення щодо інваріантності перекладу часу є лише експоненціальним! 6
z(t)=eHt.
Що таке Н?
Коли ми ставимо незвідне рішення, в (1.69)eHt, похідні просто тягнуть вниз степені H, тому рівняння стає чисто алгебраїчним рівнянням (знижуючи загальний коефіцієнтeHt)
MH2+K=0
Тепер, нарешті, ми можемо побачити актуальність комплексних чисел до вищезгаданого обговорення інваріантності перекладу часу. Для позитивних M і K рівняння (1.93) взагалі не має розв'язків, якщо обмежити H дійсним. Ми не можемо знайти жодних реальних незвідних рішень. Але завжди є два рішення для H в комплексних числах. У цьому випадку рішення є
H=±iwдеw=sqrtKM
Тільки в цьому останньому кроці, де ми насправді обчислюємо H, що деталі (1.69) ввести. До (1.93) все слідувало просто із загальних принципів, (1.71).
Тепер, як зазначено вище, з цих двох рішень ми можемо побудувати два реальні рішення, взявши реальну та уявну частиниz(t) = e^{±iωt}
x_1(t) = Re (z(t)) = cos ωt,x_2(t) = Im (z(t)) = ± sin ωt
Переклади часу змішують ці два реальних рішення. Саме тому з незведеними складними експоненціальними рішеннями легше працювати. Величина ω - кутова частота, яку ми бачили в (1.5) у розв'язанні рівняння руху для гармонічного осцилятора. Будь-яка лінійна комбінація таких рішень може бути записана термінами «амплітуда» і «фаза» наступним чином: Для дійсних c і d
c cos(w) + dsin(wt) = c(e^{iwt} +e^{-iwt})/2 - id((e^{iwt} +e^{-iwt})/2
=Re ((c+id)(e^{=iwt}) = Re (Ae^{iθ}e^{-iwt})
=Re (A e^{−i(ωt−θ)} ) = A cos(ωt − θ)
де A - додатне дійсне число, яке називається амплітудою,
A=sqrt{c^2+d^2}
і θ - кут, який називається фазою,
Ці відносини є ще одним прикладом еквівалентності декартових координат і полярних координат, обговорюваних після (1.65). Пара, c і d, є декартовими координатами в комплексній площині комплексного числа, c + id. амплітуда, A і фаза, θ, є полярним координатним представленням одного і того ж комплексу (1,96) показує, що c і d також є коефіцієнтами cos ωt і sin ωt в дійсній частині добутку цього комплексу число з −iωt e. Це співвідношення проілюстровано на малюнку 1.9 (зверніть увагу на відношення до малюнка 1.4). Коли z рухається за годинниковою стрілкою з постійною кутовою швидкістю, ω, навколо кола, |z| = A, у комплексній площині дійсна частина z піддається простому гармонічному руху, A cos (ωt − θ). Тепер, коли ви знаєте про комплексні числа та складні експоненціальні, вам слід повернутися до співвідношення між простим гармонічним рухом та рівномірним круговим рухом, показаним на малюнку 1.4 та в додатковій програмі 1-1. Рівномірний круговий рух можна трактувати як рух у складній площині
z(t) = e^{-iwt}
У міру зміни z (t) рухається з постійною швидкістю за годинниковою стрілкою навколо одиничного кола в складній площині. Це рух за годинниковою стрілкою, показане в програмі 1-1. Реальна частина, cos ωt, виконує простий гармонійний рух.
Зауважте, що ми могли б так само легко прийняти наше комплексне рішенняe^{+iwt}. Це відповідало б руху проти годинникової стрілки в складній площині, але реальна частина, яка є все, що має значення фізично, буде незмінною. У фізиці прийнято переходити на складні рішення пропорційноe^{−iωt}. Це суто умовність. Фізики в ньому немає. Однак він досить універсальний у фізичній літературі, що ми спробуємо зробити це послідовно тут.