1.5: Експоненціальні рішення
- Page ID
- 79195
Тепер ми готові перевести умови лінійності та інваріантності перекладу часу в математику. Ми побачимо, що дві властивості лінійності та інваріантності перекладу часу автоматично призводять до незведених рішень, що задовольняють (1.38), і, крім того, що
Малюнок 1.8: Деяка особлива складна експоненціальна в комплексній площині.
ці незведені рішення просто експоненціальні. Нам не потрібно використовувати будь-які інші деталі про рівняння руху, щоб отримати цей результат. Тому наші аргументи будуть застосовуватися до набагато складніших ситуацій, в яких спостерігається демпфування або більше ступенів свободи або обох. Поки система має час трансляції інваріантності та лінійності, розв'язки будуть сумами незведених експоненціальних розв'язків.
Ми бачили, що розв'язки однорідних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, виду,
\[M\frac{d^2}{dt^2} x(t) + K x(t) = 0,\]
мають властивості лінійності та інваріантності перекладу часу. Рівняння простого гармонійного руху має таку форму. Координати реальні, а константи\(M\) і реальні, тому що вони\(K\) є фізичними речами, такими як маси і пружинні константи. Однак ми хочемо дозволити собі розкіш розгляду складних рішень, тому розглядаємо те саме рівняння зі складними змінними:
\[M\frac{d^2}{dt^2} z(t) + K z(t) = 0.\]
Зверніть увагу на співвідношення між розв'язками до (1.68) і (1.69). Оскільки коефіцієнти\(M\) і\(K\) є реальними, для кожного розв'язку\(z(t)\), з (1.69), складний\(z(t)^*\) сполучений, також є рішенням. Диференціальне рівняння залишається істинним при зміні\(i\) знаків усіх.
З цих двох рішень ми можемо побудувати два реальних рішення:
\[x_1(t) = Re (z(t)) = (z(t) + z(t)^*) /2 ;\]
\[x_2(t) = Im (z(t)) = (z(t) − z(t)^*) /2i.\]
Все це можливо завдяки лінійності, яка дозволяє переходити вперед і назад від реальних до складних рішень шляхом формування лінійних комбінацій, як в (1.70). Це рішення (1.68). Зверніть увагу, що\(x_1(t)\) і\(x_2(t)\) є лише реальними і уявними частинами\(z(t)\). Справа в тому, що з комплексного рішення завжди можна реконструювати фізичні реальні розв'язки рівняння руху. Ви можете зробити всю математику, використовуючи складні змінні, що значно полегшує роботу. Тоді в кінці ви можете отримати фізичне рішення, яке цікавить, просто взявши реальну частину вашого комплексного рішення.
Тепер повернемося до рішення (1.69). Ми хочемо показати, що нас ведуть до незведених, експоненціальних рішень для будь-якої системи з інваріантністю та лінійністю перекладу часу! Таким чином, ми зрозуміємо, чому ми завжди можемо знайти незвідні рішення не тільки в (1, 69), але і в набагато складніших ситуаціях з демпфуванням або більшими ступенями свободи.
Є два найважливіших елементи:
- Інваріантність перекладу часу, (1.33),\(x(t + a)\) яка вимагає рішення, якщо\(x(t)\) це рішення;
- Лінійність, яка дозволяє формувати лінійні комбінації рішень для отримання нових рішень.
Ми будемо вирішувати (1.68), використовуючи тільки ці два елементи. Це дозволить нам негайно узагальнити наше рішення до будь-якої системи, в якій присутні властивості (1.71).
Одним із способів використання лінійності є вибір «базового» набору рішень,\(x_j (t)\) для\(j = 1\)\(n\) яких є «повним» і «лінійно незалежним». Для гармонічного осцилятора два рішення - це все, що нам потрібно, тому\(n = 2.\) Але наш аналіз буде набагато більш загальним і буде застосовуватися, наприклад, до лінійних систем з більшими ступенями свободи, тому ми залишимо\(n\) вільними. Що означає «повний», це те, що будь-яке рішення\(z(t)\), (яке може бути складним) може бути виражене у вигляді лінійної комбінації\(x_j (t)\) тих,
\[z(t) = \displaystyle \sum_{j=1}^n c_jx_j(t).\]
Те, що «лінійно незалежний» означає, що жоден з не може бути виражений як лінійна комбінація інших, так що єдиною лінійною комбінацією з тих, що зникає є тривіальна комбінація, тільки з нульовими коефіцієнтами,\(x_j (t)\)\(x_j (t)\)
\[\displaystyle \sum_{j=1}^n c_jx_j(t) = 0 ⇒ c_j = 0.\]
Тепер давайте подивимося, чи можемо ми знайти незведене рішення, яке поводиться просто при зміні початкової настройки годинника, як у (1.38),
\[z(t + a) = h(a) z(t)\]
для деякої (можливо складної) функції\(h(a)\). З точки зору базових рішень, це
\[z(t + a) = h(a) \displaystyle \sum_{k=1}^n c_kx_k(t).\]
Але кожне з базових рішень також переходить в рішення під час перекладу, і кожне нове рішення може, в свою чергу, бути записано як лінійне поєднання базових рішень, а саме:
\[x_j(t + a) = \displaystyle \sum_{k=1}^n R_{jk}(a)x_k(t).\]
Таким чином
\[z(t + a) = \displaystyle \sum_{j=1}^n c_jx_j(t+a) = \displaystyle \sum_{j,k=1}^n c_jR_{jk}(a)x_k(t).\]
Порівнюючи (1.75) та (1.77) та використовуючи (1.73), ми бачимо, що ми можемо знайти незведене рішення тоді і лише тоді, коли
\[\displaystyle \sum_{j=1}^n c_jR_{jk}(a) = h(a) c_k for all k.\]
Це називається «рівнянням власних значень». Ми будемо мати набагато більше, щоб сказати про рівняння власних значень у розділі 3, коли ми обговорюємо матричні позначення. Наразі зауважте, що (1.78) - це сукупність\(n\) однорідних одночасних рівнянь у\(n\) невідомих коефіцієнтах,\(c_j\). Ми можемо переписати його як
\[\displaystyle \sum_{j=1}^n c_jS_{jk}(a) = 0 for all k,\]
де
\[S_{jk}(a) = \begin{cases} R_{jk}(a) for j =/ k, \\ R_{jk}(a) - h(a) for j = k. \end{cases}\]
Ми можемо знайти розв'язку (1.78) тоді і тільки тоді, коли є розв'язок детермінантного рівняння 5
\[det S_{jk}(a) = 0.\]
___________________________
5 Ми детально обговоримо детермінант у главі 3, тому якщо ви забули цей результат з алгебри, не турбуйтеся про це зараз.
(1.81) -\(n\) рівняння порядку у змінній\(h(a)\). Він може не мати реального рішення, але він завжди має\(n\) складні рішення для\(h(a)\) (хоча деякі\(h(a)\) значення можуть з'являтися не один раз). Для кожного рішення для\(h(a)\), ми можемо знайти набір\(c_j\) s задовольняє (1.78). Різні лінійні комбінації\(z(t)\), побудовані таким чином, будуть лінійно незалежним набором незведених розв'язків, кожен задовольняє (1,74), для деяких\(h(a)\). Якщо існують\(n\) різні\(h(a)\) s, звичайна ситуація, вони будуть повним набором незведених рішень рівнянь рухів. Тоді ми можемо також прийняти наші рішення, щоб бути незвідними, задовольняють (1.74). Пізніше ми побачимо, що станеться, коли деякі з\(h(a)\) s з'являються не раз, так що їх менше, ніж\(n\) різних.
Тепер для кожного такого незведеного рішення ми можемо побачити, які функції\(h(a)\) і\(z(a)\) повинні бути. Якщо диференціювати обидві сторони (1.74) щодо\(a\), ми отримаємо
\[z' (t + a) = h' (a) z(t).\]
Налаштування\(a = 0\) дає
\[z' (t) = H z(t)\]
де
\[H ≡ h' (0).\]
Це має на увазі
\[z(t) ∝ e^{Ht} .\]
Таким чином, незвідне рішення є експоненціальним! Показано, що (1.71) призводить до незвідних, експоненціальних розв'язків, не використовуючи жодної деталі динаміки!
Нарощування експоненціального
Існує ще один спосіб побачити, що (1.74) має на увазі для форми незвідного рішення, який навіть не передбачає розв'язання простого диференціального рівняння, (1.83). Почніть з установки\(t=0\) в (1.74). Це дає
\[h(a) = z(a)/z(0).\]
\(h(a)\)пропорційна\(z(a)\). Це особливо просто, якщо ми вирішили помножити наше незвідне рішення на постійну так\(z(0) = 1\). Тоді (1.86) дає
\[h(a) = z(a)\]
і тому
\[z(t + a) = z(t) z(a).\]
Розглянемо, що відбувається для дуже \(t = маленьких << 1\). Виконуючи розширення Тейлора, ми можемо написати
\[z() = 1 + Н + О (^2)\]
де Н = z' (0) з (1.84) і (1.87). Використовуючи (1.88), ми можемо показати, що
\[z(N) = [z ()] ^N.\]
Тоді для будь-якого\(t\) ми можемо записати (беручи t = N?)
\[z(t) = \displaystyle \lim_{N \to \infty}[z(t/N)]^N = \displaystyle \lim_{N\to \infty}[1+H(t/N)]^N = e^{(Ht)}\]
Таким чином, ми знову бачимо, що незвідне рішення щодо інваріантності перекладу часу є лише експоненціальним! 6
\[z(t) = e^{Ht}\].
Що таке Н?
Коли ми ставимо незвідне рішення, в (1.69)\(e^{Ht}\), похідні просто тягнуть вниз степені H, тому рівняння стає чисто алгебраїчним рівнянням (знижуючи загальний коефіцієнт\(e^{Ht}\))
\[MH^2 + K = 0\]
Тепер, нарешті, ми можемо побачити актуальність комплексних чисел до вищезгаданого обговорення інваріантності перекладу часу. Для позитивних M і K рівняння (1.93) взагалі не має розв'язків, якщо обмежити H дійсним. Ми не можемо знайти жодних реальних незвідних рішень. Але завжди є два рішення для H в комплексних числах. У цьому випадку рішення є
\[H=±iw\]де\[w=sqrt{\frac{K}{M}}\]
Тільки в цьому останньому кроці, де ми насправді обчислюємо H, що деталі (1.69) ввести. До (1.93) все слідувало просто із загальних принципів, (1.71).
Тепер, як зазначено вище, з цих двох рішень ми можемо побудувати два реальні рішення, взявши реальну та уявну частини\(z(t) = e^{±iωt}\)
\[x_1(t) = Re (z(t)) = cos ωt\],\[x_2(t) = Im (z(t)) = ± sin ωt\]
Переклади часу змішують ці два реальних рішення. Саме тому з незведеними складними експоненціальними рішеннями легше працювати. Величина ω - кутова частота, яку ми бачили в (1.5) у розв'язанні рівняння руху для гармонічного осцилятора. Будь-яка лінійна комбінація таких рішень може бути записана термінами «амплітуда» і «фаза» наступним чином: Для дійсних c і d
\[c cos(w) + dsin(wt) = c(e^{iwt} +e^{-iwt})/2 - id((e^{iwt} +e^{-iwt})/2\]
\[=Re ((c+id)(e^{=iwt}) = Re (Ae^{iθ}e^{-iwt})\]
\[=Re (A e^{−i(ωt−θ)} ) = A cos(ωt − θ)\]
де A - додатне дійсне число, яке називається амплітудою,
\[A=sqrt{c^2+d^2}\]
і θ - кут, який називається фазою,
Ці відносини є ще одним прикладом еквівалентності декартових координат і полярних координат, обговорюваних після (1.65). Пара, c і d, є декартовими координатами в комплексній площині комплексного числа, c + id. амплітуда, A і фаза, θ, є полярним координатним представленням одного і того ж комплексу (1,96) показує, що c і d також є коефіцієнтами cos ωt і sin ωt в дійсній частині добутку цього комплексу число з −iωt e. Це співвідношення проілюстровано на малюнку 1.9 (зверніть увагу на відношення до малюнка 1.4). Коли z рухається за годинниковою стрілкою з постійною кутовою швидкістю, ω, навколо кола, |z| = A, у комплексній площині дійсна частина z піддається простому гармонічному руху, A cos (ωt − θ). Тепер, коли ви знаєте про комплексні числа та складні експоненціальні, вам слід повернутися до співвідношення між простим гармонічним рухом та рівномірним круговим рухом, показаним на малюнку 1.4 та в додатковій програмі 1-1. Рівномірний круговий рух можна трактувати як рух у складній площині
\[z(t) = e^{-iwt}\]
У міру зміни z (t) рухається з постійною швидкістю за годинниковою стрілкою навколо одиничного кола в складній площині. Це рух за годинниковою стрілкою, показане в програмі 1-1. Реальна частина, cos ωt, виконує простий гармонійний рух.
Зауважте, що ми могли б так само легко прийняти наше комплексне рішення\(e^{+iwt}\). Це відповідало б руху проти годинникової стрілки в складній площині, але реальна частина, яка є все, що має значення фізично, буде незмінною. У фізиці прийнято переходити на складні рішення пропорційно\(e^{−iωt}\). Це суто умовність. Фізики в ньому немає. Однак він досить універсальний у фізичній літературі, що ми спробуємо зробити це послідовно тут.
