Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.1: Гармонічний осцилятор

Коли ви вивчали механіку, ви напевно дізналися про гармонічному осциляторі. Ми почнемо наше вивчення хвильових явищ з огляду цієї простої, але важливої фізичної системи. Розглянемо блок з масою, м, вільно ковзати по фрикційній повітряній доріжці, але прикріплений до законної пружиниlight1 Гука іншим кінцем, прикріпленим до нерухомої стіни. Мультяшне зображення цієї фізичної системи показано на малюнку 1.1.

1«Світло» тут означає, що маса пружини досить мала, щоб її ігнорувати при аналізі руху блоку. Точніше, що це означає, ми пояснимо в главі 7, коли ми обговорюємо хвилі в масивній весні.

Знімок екрана 2021-03-24 о 9.35.31 PM.png

Малюнок 1.1: Маса на пружині

Ця система має лише одну відповідну ступінь свободи. Загалом, кількість ступенів свободи системи - це кількість координат, які необхідно вказати, щоб повністю визначити конфігурацію. При цьому, оскільки пружина легка, можна вважати, що вона рівномірно натягнута від нерухомої стіни до блоку. Тоді єдиною важливою координатою є положення блоку. У цій ситуації гравітація не грає ніякої ролі в русі блоку. Гравітаційна сила скасовується вертикальною силою з повітряної колії. Єдина відповідна сила, яка діє на блок, виходить від розтягування або стиснення пружини. Коли пружина розслаблена, на блок немає сили і система знаходиться в рівновазі. Закон Гука говорить нам, що сила від пружини задається негативною константою, −K, умножує зміщення блоку з положення рівноваги. Таким чином, якщо положення блоку в якийсь час дорівнює х і положення його рівноваги дорівнюєx0, то сила на блок в цей момент дорівнює:

F=K(xx0)

Константа, K, називається «постійною пружини». Він має одиниці сили на одиницю відстані, абоMT2 в перерахунку на M (одиниця маси), L (одиниця довжини) і T (одиниця часу). Ми завжди можемо вибрати для вимірювання положення x блоку з нашим початком у положенні рівноваги. Якщо ми це зробимо, тоxo=0 в (1.1.1) і сила на блоці приймає більш простий вигляд.

F=Kx

Гармонічне коливання є результатом взаємодії між силою закону Гука та законом Ньютона,F=ma. Нехай x (t) - зсув блоку як функція часу, т Тоді закон Ньютона має на увазі

md2dt2x(t)=Kx(t)

Рівняння такого виду, що включає в себе не тільки функцію x (t), а й її похідні, називається «диференціальним рівнянням». Диференціальне рівняння (1.1.3) є «рівнянням руху» для системи малюнка 1.1. Оскільки система має лише один ступінь свободи, існує лише одне рівняння руху. Загалом, має бути одне рівняння руху для кожної незалежної координати, необхідної для задання конфігурації системи. Найзагальнішим розв'язком диференціального рівняння руху, (1.1.3), є сума постійних разів cos ωt плюс постійний час sin ωt,

x(t)=acos(ωt)+bsin(ωt)

де

ωKm

є постійною з одиницямиT1 називається «кутова частота». Кутова частота буде дуже важливою величиною в нашому дослідженні хвильових явищ. Ми майже завжди будемо позначати його нижньою грецькою літерою ω (омега).

Оскільки рівняння включає вдруге похідну за часом, але не вищі похідні, найзагальніше рішення включає дві константи. Це якраз те, що ми очікуємо від фізики, тому що ми можемо отримати різне рішення для кожного значення положення і швидкості блоку в момент початку. Як правило, ми будемо думати про визначення рішення з точки зору положення і швидкості блоку, коли ми вперше розпочнемо рух, в той час, який ми умовно приймаємо як t = 0 З цієї причини процес визначення рішення з точки зору положення і швидкості в даний момент часу називається «проблема початкового значення». Значення положення і швидкості при t = 0 називаються початковими умовами. Наприклад, ми можемо записати найзагальніше рішення (1.1.4) через x (0) та x' (0), переміщення та швидкість блоку в момент t = 0. Встановлення t = 0 in (1.1.4) дає a = x (0). Диференціювання, а потім установка t = 0 даєb=ωx(0). Таким чином

x(t)=x(0)cosωt+1wx(0)sinωt

Наприклад, припустимо, що блок має масу 1 кілограм і що пружина 0,5 метраlong2 з постійною пружини К 100 ньютонів на метр. Щоб отримати уявлення про те, що означає ця постійна пружини, розглянемо підвішування пружини вертикально (див. Задача (1.1.1)). Гравітаційна сила на блоці дорівнює

2(Довжина пружини не грає ніякої ролі в рівняннях нижче, але ми включаємо її, щоб дозволити побудувати ментальну картину фізичної системи)

mg9.8newtons

У рівновазі гравітаційна сила скасовує силу від пружини, таким чином пружина розтягується

mgK0.098meters=9.8centimeters

Для цієї маси і постійної пружини кутова частота, ω, системи на малюнку 1.1 дорівнює

ω=Km=100Nm1kg=101s

Якщо, наприклад, блок зміщений на 0,01 м (1 см) від його положення рівноваги і звільнений від спокою в час t = 0, положення в будь-який більш пізній час t задається (в метрах) на

x(t)=0.01cost(10t)

Швидкість (в метрах в секунду) дорівнює

x(t)=0.1sin(10t)

Рух є періодичним, в тому сенсі, що система коливається — він повторює один і той же рух знову і знову нескінченно. Через деякий час

τ=2πω0.628s

система повертається точно туди, де вона була при t = 0, при цьому блок миттєво знаходиться в стані спокою зі зміщенням 0,01 метра. Час, τ (грецька буква тау) називається «періодом» коливання. Однак рішення, (1.1.6), є більше, ніж просто періодичним. Це «простий гармонійний» рух, що означає, що в русі з'являється тільки одна частота. Кутова частота, ω, - це обернена часу, необхідного для зміни фази хвилі на один радіан. «Частота», зазвичай позначається грецькою літерою,ν (nu), є оберненою часу, необхідного для зміни фази на один повний цикл, або2π радіани, і таким чином повернутися в початковий стан. Частота вимірюється в герцах, або циклах/секунду. Таким чином, кутова частота більша за частоту в рази2π,

ω(inradians/second)=2π(radians/cycle)ν(cycles/second)

Частотаν,, зворотна періоду, τ, з (1.1.12),

ν=1τ

Простий гармонійний рух, як (1.1.6) відбувається в дуже широкому спектрі фізичних систем. Питання, з якого ми почнемо наше вивчення хвильових явищ, наступний: Чому розв'язки виду (1.1.6) з'являються так повсюдно в фізиці? Що спільного мають гармонійно коливальні системи? Звичайно, математична відповідь на це питання полягає в тому, що всі ці системи мають рівняння руху по суті тієї ж форми, що і (1.3). Ми знайдемо глибшу і більш фізичну відповідь, яку потім зможемо узагальнити на більш складні системи. Ключовими ознаками, які всі ці системи мають спільне з масою на пружині, є (принаймні наближена) лінійність і тимчасова інваріантність трансляції рівнянь руху. Саме ці дві особливості визначають коливальну поведінку в системах від пружин до індукторів і конденсаторів. Кожен з цих двох властивостей цікавий сам по собі, але разом вони набагато могутніше. Вони практично повністю визначають форму розчинів. Ми побачимо, що якщо система лінійна та часова трансляція інваріантна, ми завжди можемо записати її рух як суму простих рухів, в яких залежність від часу є або гармонійним коливанням, або експоненціальним занепадом (або зростанням).