1.11: Проблеми
1.1. Для розглянутої маси і пружини (1.1) - (1.8) припустимо, що система підвішена вертикально в земному гравітаційному полі, при цьому верхня частина пружини утримується нерухомою. Показати, що частота для вертикальних коливань задається (1.5). Поясніть, чому гравітація не впливає на кутову частоту.
1.2a. Знайдіть вираз для cos 7θ через cos θ та sin θ за допомогою складних експоненціальних та біноміального розширення.
б Зробіть те ж саме для гріха 5θ.
c Використовуйте складні експоненціальні, щоб знайти вираз дляsin(θ1+θ2+θ3) в терміні синусів і косинусів окремих кутів.
d Чи пам'ятаєте ви «формулу половинного кута»
cos2θ2=12(1+cosθ)?
Використовуйте складні експоненціальні, щоб довести «формулу п'ятого кута»
cos5θ5=1016cosθ5+516cos3θ5+116cosθ.
e. використовувати складні експоненціальні показники для підтвердження особистості
sin6x=sinx(32cos5x−23cos3x+6cosx)
1.3a Напишітьi+√3 у форміReiθ. Запишіть θ як раціональне число раз π
Зробіть те ж саме дляi−√3
c Покажіть, що два квадратних кореняReiθare±√Reiθ2. Підказка: Це просто! Не працюйте занадто важко.
d Використовуйте результат c., щоб знайти квадратні корені 2i і2+2i√3.
1.4. Знайдіть всі шість розв'язків рівнянняz6=1 і запишіть кожне у вигляді A + iB і побудуйте їх у комплексній площині. Підказка: напишітьz=Reiθ для R реальних і позитивних, і знайдіть R і θ.
1.5. Знайти три незалежні розв'язки диференціального рівняння
d3dt3f(t)+f(t)=0
Для отримання розв'язків слід використовувати складні експоненціальні числа, але виражати результати у реальному вигляді.
1.6. Блок маси М ковзає без тертя між двома пружинами постійної пружини К і 2К, як показано на малюнку. Блок обмежений переміщатися тільки вліво і вправо на папері, тому система має тільки один ступінь свободи.
Обчисліть кутову частоту коливань. Якщо швидкість блоку, коли він знаходиться в положенні його рівноваги, дорівнює v, обчисліть амплітуду коливання.
1.7. Частка масою m рухається по осі x з потенційною енергією
V(x)=Eoa4(x4+4ax3−8a2x2)
Знайдіть положення, при яких частка знаходиться в стабільній рівновазі. Знайдіть кутову частоту малих коливань щодо кожного положення рівноваги. Що ви маєте на увазі під малими коливаннями? Будьте кількісними і дайте окрему відповідь на кожну точку стійкої рівноваги.
1.8. Для торсіонного маятника малюнка 1.14 припустимо, що маятник складається з двох мас 0,01 кг на легкому стрижні загальної довжини 0,1 м. якщо узагальнена постійна пружини, α, дорівнює5×10−7 N м. знайти кутову частоту генератора.