Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.10: Проблема

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79206

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    1.1. Для розглянутої маси і пружини (1.1) - (1.8) припустимо, що система підвішена вертикально в земному гравітаційному полі, при цьому верхня частина пружини утримується нерухомою. Показати, що частота для вертикальних коливань задається (1.5). Поясніть, чому гравітація не впливає на кутову частоту.

    1.2a. Знайдіть вираз для cos 7θ через cos θ та sin θ за допомогою складних експоненціальних та біноміального розширення.

    б Зробіть те ж саме для гріха 5θ.

    c Використовуйте складні експоненціальні, щоб знайти вираз для\(sin(θ_1 + θ_2 + θ_3)\) в терміні синусів і косинусів окремих кутів.

    d. ви пам'ятаєте «формулу половинного кута»,

    \[cos^2\frac{θ}{2}=\frac{1}{2}(1+cosθ)?\]

    Використовуйте складні експоненціальні, щоб довести «формулу п'ятого кута»

    \[cos^5\frac{θ}{5}=\frac{10}{16}cos\frac{θ}{5}+\frac{5}{16}cos\frac{3θ}{5}+\frac{1}{16}cosθ\].

    e. використовувати складні експоненціальні показники для підтвердження особистості

    \[sin6x=sinx(32cos^5x - 23cos^3x + 6cosx)\]

    1.3a Напишіть\(i+\sqrt{3}\) у формі\(Re^{iθ}\). Запишіть θ як раціональне число раз π

    Зробіть те ж саме для\(i-\sqrt{3}\)

    c Покажіть, що два квадратних кореня\(Re^{iθ} are ±\sqrt{Re^{\frac{iθ}{2}}}\). Підказка: Це просто! Не працюйте занадто важко.

    d Використовуйте результат c., щоб знайти квадратні корені 2i і\(2 +2i\sqrt{3}\).

    1.4. Знайдіть всі шість розв'язків рівняння\(z^6 = 1\) і запишіть кожне у вигляді A + iB і побудуйте їх у комплексній площині. Підказка: напишіть\(z = Re^{iθ}\) для R реальних і позитивних, і знайдіть R і θ.

    1.5. Знайти три незалежні розв'язки диференціального рівняння

    \[\frac{d^3}{dt^3}f(t)+f(t) = 0\]

    Для отримання розв'язків слід використовувати складні експоненціальні числа, але виражати результати у реальному вигляді.

    1.6. Блок маси М ковзає без тертя між двома пружинами постійної пружини К і 2К, як показано на малюнку. Блок обмежений переміщатися тільки вліво і вправо на папері, тому система має тільки один ступінь свободи.

    Знімок екрана 2021-04-28 о 12.31.01 AM.png

    Обчисліть кутову частоту коливань. Якщо швидкість блоку, коли він знаходиться в положенні його рівноваги, дорівнює v, обчисліть амплітуду коливання.

    1.7. Частка масою m рухається по осі x з потенційною енергією

    \[V(x)=\frac{E_o}{a^4}(x^4+4ax^3-8a^2x^2)\]

    Знайдіть положення, при яких частка знаходиться в стабільній рівновазі. Знайдіть кутову частоту малих коливань щодо кожного положення рівноваги. Що ви маєте на увазі під малими коливаннями? Будьте кількісними і дайте окрему відповідь на кожну точку стійкої рівноваги.

    1.8. Для торсіонного маятника малюнка 1.14 припустимо, що маятник складається з двох мас 0,01 кг на легкому стрижні загальної довжини 0,1 м. якщо узагальнена постійна пружини, α, дорівнює\(5 × 10^{−7}\) N м. знайти кутову частоту генератора.