1.4: Комплексні числа

Квадратний корінь −1, який називається\(i\), важливий у фізиці та математиці з багатьох причин. Вимірювані фізичні величини завжди можна описати дійсними числами. Ви ніколи не отримуєте показання\(i\) лічильників на палиці лічильника. Однак ми побачимо, що коли\(i\) включається разом з дійсними числами і звичайними арифметичними операціями (додавання, віднімання, множення і ділення), то алгебра, тригонометрія і числення все спрощуються. Хоча комплексні числа не потрібні для опису хвильових явищ, вони дозволять нам обговорити їх більш простим та проникливим способом.

Деякі визначення

Уявне число - це число форми, яке\(i\) умножує дійсне число.

Комплексне число\(z\),, - це сума дійсного числа і уявного числа:\(z = a + ib.\)

Реальна і «уявна» частини,\(Re (z)\) а\(Im (z)\), комплексного числа\(z = a+ib:\)

\[Re (z) = a , Im (z) = b.\]

Зауважте, що уявна частина насправді є дійсним числом, дійсним коефіцієнтом\(i\) in\(z = a + ib.\)

Складний\(z^*\) сполучений, комплексного числа\(z\), отримують шляхом зміни знака\(i\):

\[z^* = a − ib.\]

Зверніть увагу, що\(Re (z) = (z + z^*)/2\) і\(Im (z) = (z − z^*)/2i.\)

Комплексна площина: Оскільки комплексне число\(z\) задається двома дійсними числами, його можна розглядати як двовимірний вектор з компонентами\((a, b)\). Реальна частина\(z\)\(a = Re (z)\), є\(x\) складовою і уявною частиною\(z\)\(b = Im (z)\), є\(y\) складовою. На діаграмах на малюнках 1.5 і 1.6 показано два вектори в комплексній площині разом з відповідними комплексними числами:

Абсолютне значення\(|z|\)\(z\), of, - довжина вектора\((a, b)\):

\[|z| = √{a^2 + b^2} = √{z^* z}.\]

Абсолютне значення завжди\(|z|\) є дійсним, невід'ємним числом.

Малюнок 1.5: Вектор з додатною дійсною частиною в комплексній площині.

Аргумент або фаза, arg\((z)\), ненульового комплексного числа\(z\) - це кут у радіанах вектора\((a, b)\) проти годинникової стрілки від\(x\) осі:

\[arg(z) = { arctan(b/a) for a ≥ 0,\]

\[ { arctan(b/a) + π for a < 0.\]

Як і будь-який кут,\(arg(z)\) можна перевизначити шляхом додавання кратного\(2π\) радіанів або 360 ^◦ (див. Рис. 1.5 та 1.6).

Малюнок 1.6: Вектор з від'ємною дійсною частиною в комплексній площині.

Арифметика

Арифметичні операції додавання, віднімання і множення на комплексні числа визначаються просто обробкою\(i\) подібної змінної в алгебрі, використовуючи розподільний закон і відношення\(i^2 = −1.\) Таким чином якщо\(z = a + ib\) і\(z' = a' + ib'\), то

\[z + z' = (a + a') + i(b + b'),\]

\[z − z' = (a − a') + i(b − b'),\]

\[zz' = (aa' − bb' ) + i(ab' + ba').\]

Наприклад:

\[(3 + 4i) + (−2 + 7i) = (3 − 2) + (4 + 7)i = 1 + 11i ,\]

\[(3 + 4i) · (5 + 7i) = (3 · 5 − 4 · 7) + (3 · 7 + 4 · 5)i = −13 + 41i.\]

Варто пограти зі складним множенням і познайомитися зі складною площиною. На цьому етапі ви повинні перевірити програму 1-2.

Розподіл складніше. Розділити комплексне число\(z\) на\(r\) дійсне число легко, просто розділіть як дійсну, так і уявну частини на,\(r\) щоб отримати\(z/r = a/r + ib/r.\) Щоб розділити на комплексне число\(z'\), ми можемо використовувати той факт, що\(z'^* z' = |z'|^2\) є реальним. Якщо помножити чисельник і знаменник\(z/z' by z'^*\), то можна записати:

\[z/z' = z'^*z/|z'|^2 = (aa' + bb' )/(a'^2 + b'^2) + i(ba' − ab' )/(a'^2 + b'^2).\]

Наприклад:

\[(3 + 4i)/(2 + i) = (3 + 4i) · (2 − i)/5 = (10 + 5i)/5 = 2 + i .\]

З цими визначеннями для арифметичних операцій абсолютне значення поводиться дуже простим способом при множенні та діленні. При множенні абсолютне значення добутку двох комплексних чисел є добутком абсолютних значень:

\[|z z' | = |z| |z' | .\]

Розподіл працює так само, якщо ви не ділите на нуль:

\[|z/z' | = |z|/|z' | if z'=0 .\]

Математиками називають сукупність об'єктів, на яких визначено додавання і множення і для яких існує абсолютне значення, що задовольняє (1,51) і (1,52) алгебра ділення. Це своєрідний (хоча і неактуальний, для нас) математичний факт, що комплексні числа є однією з лише чотирьох алгебр ділення, інші - дійсні числа та більш химерні речі, звані кватерніонами та октоніями, отриманими шляхом послаблення вимог комутативності та асоціативності (відповідно) закони множення.

Чудова річ комплексних чисел з точки зору алгебри полягає в тому, що всі поліноміальні рівняння мають розв'язки. Наприклад, рівняння не\(x^2 − 2x + 5 = 0\) має розв'язків у дійсних числах, але має два комплексних рішення,\(x = 1 ± 2i.\) Загалом рівняння виду\(p(x) = 0\), де\(p(x)\) поліном ступеня\(n\) з комплексними (або дійсними) коефіцієнтами має\(n\) рішення, якщо комплексні числа дозволено, але він може не мати жодного, якщо\(x\) обмежений бути реальним.

Відзначимо, що складний сполучений будь-якої суми, добутку і т. Д. Складних чисел можна отримати, просто змінивши знак того,\(i\) де б він не з'явився. З цього випливає, що якщо многочлен\(p(z)\) має дійсні коефіцієнти, то розв'язки\(p(z) = 0\) приходять у складних сполучених парах. Тобто якщо\(p(z) = 0\), то\(p(z^*) = 0\) так само.

Складні експоненціальні

Розглянемо комплексне число\(z = a + ib\) з абсолютним значенням 1. Тому що\(|z| = 1\) має на увазі\(a^2 + b^2 = 1\), ми можемо записати\(a\) і\(b\) як косинус і синус кута\(θ\).

\[z = cos θ + isin θ for |z| = 1 .\]

Тому що

\[tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{b}{a}\]

кут\(θ\) - аргумент\(z\):

\[arg(cos θ + isin θ) = θ .\]

Давайте подумаємо\(z\) як про функції\(θ\) і розглянемо обчислення. Похідна по відношенню до\(θ\) це:

\[\frac{∂}{∂θ} (cos θ + isin θ) = − sin θ + i cos θ = i(cos θ + isin θ)\]

Функція, яка переходить в себе до константи під диференціацією, є експоненціальною. Зокрема, якби ми мали функцію, що задовольняється\(\frac{∂}{∂θ} f(θ) = kf(θ)\) для дійсних\(θ\)\(f(θ)\), ми б зробили висновок\(k\), що\(f(θ) = e^{kθ}.\) Таким чином, якщо ми хочемо, щоб обчислення працювало таким же чином для комплексних чисел, що і для дійсних чисел, ми повинні зробити висновок, що

\[e^{iθ} = cos θ + isin θ.\]

Ми можемо перевірити це співвідношення, зазначивши, що розширення серії Тейлора двох сторін рівні. Розширення Тейлора експоненціальних, cos та sin функцій:

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + …\]

\[cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + …\]

\[sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + …\]

Таким чином, розширення Тейлора лівої сторони (1,57)

\[1 + iθ + (iθ)^2/2 + (iθ)^3/3! + ...\]

в той час як розширення Тейлора правої сторони

\[(1 − θ^2/2 + ...) + i(θ − θ^3/6 +...)\]

Повноваження\(i\) in (1.59) працюють правильним чином, щоб відтворити візерунок знаків мінус в (1.60).

Крім того, закон множення працює належним чином:

\[e^{iθ}e^{iθ'} = (cos θ + isin θ)(cos θ' + isin θ' )\]

\[= (cos θ cos θ' − sin θ sin θ' ) + i(sin θ cos θ' + cos θ sin θ' )\]

\[= cos(θ + θ' ) + isin(θ + θ' ) = e^{i(θ + θ')} .\]

Таким чином (1.57) має сенс у всіх відношеннях. Цей зв'язок між складними експоненціальними і тригонометричними функціями називається Ідентичність Ейлера. Він надзвичайно корисний. З одного боку, логіку можна змінити, а тригонометричні функції можуть бути «визначені» алгебраїчно через складні експоненціальні:

\[cosθ = \frac{e^{iθ} + e^{-iθ}}{2}\]

\[sinθ = \frac{e^{iθ} - e^{-iθ}}{2i} = -i \frac{e^{iθ} - e^{-iθ}}{2}\]

Використовуючи (1.62), тригонометричні ідентичності можна вивести дуже просто. Наприклад:

\[cos 3θ = Re (e^{3iθ}) = Re ((e^{iθ})^3) = cos^3 θ − 3 cos θ sin^2 θ .\]

Ще один приклад, який буде корисний нам пізніше:

\[cos(θ + θ') + cos(θ - θ') = (e^{i(θ+θ')} + e^{−i(θ+θ')} + e^{i(θ-θ')} + e^{−i(θ-θ')}) / 2\]

\[= (e^{iθ} + e^{-iθ})(e^{iθ'} + e^{-iθ'}) / 2 = 2 cosθ cosθ'.\]

Кожне ненульове комплексне число може бути записано як добуток додатного дійсного числа (його абсолютного значення) та комплексного числа з абсолютним значенням 1. Таким чином

\[z = x + iy = R e^{iθ} where R = |z| , and θ = arg(z).\]

У комплексній площині (1.65) виражає той факт, що двовимірний вектор може бути записаний √ або в декартових координатах\((x, y)\), або в полярних координатах\((R, θ)\). Наприклад, на\(√3+i = 2e^{iπ/6}; 1 + i = √2e^{iπ/4}; −8i = 8e^{3iπ/2} = 8e^{-iπ/2}\) малюнку 1.7 показано комплексне число\(1 + i = √2e^{iπ/4}.\)

Відношення, (1,65), дає ще один корисний спосіб мислення про множення комплексних чисел. Якщо

\[z_1 = R_1e^{iθ_1} and z_2 = R_2e^{iθ_2} ,\]

потім

\[z_1z_2 = R_1R_2e^{i(θ_1+θ_2)} .\]

У словах, щоб помножити два комплексних числа, ви множите абсолютні значення і додаєте аргументи. Тепер ви повинні повернутися і грати з програмою 1-2 з цим співвідношенням на увазі.

Рівняння (1.57) дає ряд відносин, які можуть здатися дивовижними, поки ви не звикнете до них. Наприклад:\(e^{iπ} = −1; e^{iπ/2} = i; e^{2iπ} = 1.\) Вони мають інтерпретацію в складній площині, де\(e^{iθ}\) є одиничний вектор\((cos θ,sin θ),\)