1.4: Комплексні числа
Квадратний корінь −1, який називаєтьсяi, важливий у фізиці та математиці з багатьох причин. Вимірювані фізичні величини завжди можна описати дійсними числами. Ви ніколи не отримуєте показанняi лічильників на палиці лічильника. Однак ми побачимо, що колиi включається разом з дійсними числами і звичайними арифметичними операціями (додавання, віднімання, множення і ділення), то алгебра, тригонометрія і числення все спрощуються. Хоча комплексні числа не потрібні для опису хвильових явищ, вони дозволять нам обговорити їх більш простим та проникливим способом.
Деякі визначення
Уявне число - це число форми, якеi умножує дійсне число.
Комплексне числоz,, - це сума дійсного числа і уявного числа:z=a+ib.
Реальна і «уявна» частини,Re(z) аIm(z), комплексного числаz=a+ib:
Re(z)=a,Im(z)=b.
Зауважте, що уявна частина насправді є дійсним числом, дійсним коефіцієнтомi inz=a+ib.
Складнийz∗ сполучений, комплексного числаz, отримують шляхом зміни знакаi:
z∗=a−ib.
Зверніть увагу, щоRe(z)=(z+z∗)/2 іIm(z)=(z−z∗)/2i.
Комплексна площина: Оскільки комплексне числоz задається двома дійсними числами, його можна розглядати як двовимірний вектор з компонентами(a,b). Реальна частинаza=Re(z), єx складовою і уявною частиноюzb=Im(z), єy складовою. На діаграмах на малюнках 1.5 і 1.6 показано два вектори в комплексній площині разом з відповідними комплексними числами:
Абсолютне значення|z|z, of, - довжина вектора(a,b):
|z|=√a2+b2=√z∗z.
Абсолютне значення завжди|z| є дійсним, невід'ємним числом.
Малюнок 1.5: Вектор з додатною дійсною частиною в комплексній площині.
Аргумент або фаза, arg(z), ненульового комплексного числаz - це кут у радіанах вектора(a,b) проти годинникової стрілки відx осі:
\boldsymbol{arg(z) = { arctan(b/a) for a ≥ 0,}
\boldsymbol{{ arctan(b/a) + π for a < 0.}
Як і будь-який кут,arg(z) можна перевизначити шляхом додавання кратного2π радіанів або 360 ◦ (див. Рис. 1.5 та 1.6).
Малюнок 1.6: Вектор з від'ємною дійсною частиною в комплексній площині.
Арифметика
Арифметичні операції додавання, віднімання і множення на комплексні числа визначаються просто обробкоюi подібної змінної в алгебрі, використовуючи розподільний закон і відношенняi2=−1. Таким чином якщоz=a+ib іz′=a′+ib′, то
z+z′=(a+a′)+i(b+b′),
z−z′=(a−a′)+i(b−b′),
zz′=(aa′−bb′)+i(ab′+ba′).
Наприклад:
(3+4i)+(−2+7i)=(3−2)+(4+7)i=1+11i,
(3+4i)·(5+7i)=(3·5−4·7)+(3·7+4·5)i=−13+41i.
Варто пограти зі складним множенням і познайомитися зі складною площиною. На цьому етапі ви повинні перевірити програму 1-2.
Розподіл складніше. Розділити комплексне числоz наr дійсне число легко, просто розділіть як дійсну, так і уявну частини на,r щоб отриматиz/r=a/r+ib/r. Щоб розділити на комплексне числоz′, ми можемо використовувати той факт, щоz′∗z′=|z′|2 є реальним. Якщо помножити чисельник і знаменникz/z′byz′∗, то можна записати:
z/z′=z′∗z/|z′|2=(aa′+bb′)/(a′2+b′2)+i(ba′−ab′)/(a′2+b′2).
Наприклад:
(3+4i)/(2+i)=(3+4i)·(2−i)/5=(10+5i)/5=2+i.
З цими визначеннями для арифметичних операцій абсолютне значення поводиться дуже простим способом при множенні та діленні. При множенні абсолютне значення добутку двох комплексних чисел є добутком абсолютних значень:
|zz′|=|z||z′|.
Розподіл працює так само, якщо ви не ділите на нуль:
\[|z/z' | = |z|/|z' | if z'=0 .\]
Математиками називають сукупність об'єктів, на яких визначено додавання і множення і для яких існує абсолютне значення, що задовольняє (1,51) і (1,52) алгебра ділення. Це своєрідний (хоча і неактуальний, для нас) математичний факт, що комплексні числа є однією з лише чотирьох алгебр ділення, інші - дійсні числа та більш химерні речі, звані кватерніонами та октоніями, отриманими шляхом послаблення вимог комутативності та асоціативності (відповідно) закони множення.
Чудова річ комплексних чисел з точки зору алгебри полягає в тому, що всі поліноміальні рівняння мають розв'язки. Наприклад, рівняння неx2−2x+5=0 має розв'язків у дійсних числах, але має два комплексних рішення,x=1±2i. Загалом рівняння видуp(x)=0, деp(x) поліном ступеняn з комплексними (або дійсними) коефіцієнтами маєn рішення, якщо комплексні числа дозволено, але він може не мати жодного, якщоx обмежений бути реальним.
Відзначимо, що складний сполучений будь-якої суми, добутку і т. Д. Складних чисел можна отримати, просто змінивши знак того,i де б він не з'явився. З цього випливає, що якщо многочленp(z) має дійсні коефіцієнти, то розв'язкиp(z)=0 приходять у складних сполучених парах. Тобто якщоp(z)=0, тоp(z∗)=0 так само.
Складні експоненціальні
Розглянемо комплексне числоz=a+ib з абсолютним значенням 1. Тому що|z|=1 має на увазіa2+b2=1, ми можемо записатиa іb як косинус і синус кутаθ.
z=cosθ+isinθfor|z|=1.
Тому що
tanθ=sinθcosθ=ba
кутθ - аргументz:
arg(cosθ+isinθ)=θ.
Давайте подумаємоz як про функціїθ і розглянемо обчислення. Похідна по відношенню доθ це:
∂∂θ(cosθ+isinθ)=−sinθ+icosθ=i(cosθ+isinθ)
Функція, яка переходить в себе до константи під диференціацією, є експоненціальною. Зокрема, якби ми мали функцію, що задовольняється∂∂θf(θ)=kf(θ) для дійснихθf(θ), ми б зробили висновокk, щоf(θ)=ekθ. Таким чином, якщо ми хочемо, щоб обчислення працювало таким же чином для комплексних чисел, що і для дійсних чисел, ми повинні зробити висновок, що
eiθ=cosθ+isinθ.
Ми можемо перевірити це співвідношення, зазначивши, що розширення серії Тейлора двох сторін рівні. Розширення Тейлора експоненціальних, cos та sin функцій:
ex=1+x+x22+x33!+x44!+…
cos(x)=1−x22+x44!+…
sin(x)=x−x33!+…
Таким чином, розширення Тейлора лівої сторони (1,57)
1+iθ+(iθ)2/2+(iθ)3/3!+...
в той час як розширення Тейлора правої сторони
(1−θ2/2+...)+i(θ−θ3/6+...)
Повноваженняi in (1.59) працюють правильним чином, щоб відтворити візерунок знаків мінус в (1.60).
Крім того, закон множення працює належним чином:
eiθeiθ′=(cosθ+isinθ)(cosθ′+isinθ′)
=(cosθcosθ′−sinθsinθ′)+i(sinθcosθ′+cosθsinθ′)
=cos(θ+θ′)+isin(θ+θ′)=ei(θ+θ′).
Таким чином (1.57) має сенс у всіх відношеннях. Цей зв'язок між складними експоненціальними і тригонометричними функціями називається Ідентичність Ейлера. Він надзвичайно корисний. З одного боку, логіку можна змінити, а тригонометричні функції можуть бути «визначені» алгебраїчно через складні експоненціальні:
cosθ=eiθ+e−iθ2
sinθ=eiθ−e−iθ2i=−ieiθ−e−iθ2
Використовуючи (1.62), тригонометричні ідентичності можна вивести дуже просто. Наприклад:
cos3θ=Re(e3iθ)=Re((eiθ)3)=cos3θ−3cosθsin2θ.
Ще один приклад, який буде корисний нам пізніше:
cos(θ+θ′)+cos(θ−θ′)=(ei(θ+θ′)+e−i(θ+θ′)+ei(θ−θ′)+e−i(θ−θ′))/2
=(eiθ+e−iθ)(eiθ′+e−iθ′)/2=2cosθcosθ′.
Кожне ненульове комплексне число може бути записано як добуток додатного дійсного числа (його абсолютного значення) та комплексного числа з абсолютним значенням 1. Таким чином
z=x+iy=ReiθwhereR=|z|,andθ=arg(z).
У комплексній площині (1.65) виражає той факт, що двовимірний вектор може бути записаний √ або в декартових координатах(x,y), або в полярних координатах(R,θ). Наприклад, на√3+i=2eiπ/6;1+i=√2eiπ/4;−8i=8e3iπ/2=8e−iπ/2 малюнку 1.7 показано комплексне число1+i=√2eiπ/4.
Відношення, (1,65), дає ще один корисний спосіб мислення про множення комплексних чисел. Якщо
z1=R1eiθ1andz2=R2eiθ2,
потім
z1z2=R1R2ei(θ1+θ2).
У словах, щоб помножити два комплексних числа, ви множите абсолютні значення і додаєте аргументи. Тепер ви повинні повернутися і грати з програмою 1-2 з цим співвідношенням на увазі.
Рівняння (1.57) дає ряд відносин, які можуть здатися дивовижними, поки ви не звикнете до них. Наприклад:eiπ=−1;eiπ/2=i;e2iπ=1. Вони мають інтерпретацію в складній площині, деeiθ є одиничний вектор(cosθ,sinθ),