Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.4: Комплексні числа

Квадратний корінь −1, який називаєтьсяi, важливий у фізиці та математиці з багатьох причин. Вимірювані фізичні величини завжди можна описати дійсними числами. Ви ніколи не отримуєте показанняi лічильників на палиці лічильника. Однак ми побачимо, що колиi включається разом з дійсними числами і звичайними арифметичними операціями (додавання, віднімання, множення і ділення), то алгебра, тригонометрія і числення все спрощуються. Хоча комплексні числа не потрібні для опису хвильових явищ, вони дозволять нам обговорити їх більш простим та проникливим способом.

Деякі визначення

Уявне число - це число форми, якеi умножує дійсне число.

Комплексне числоz,, - це сума дійсного числа і уявного числа:z=a+ib.

Реальна і «уявна» частини,Re(z) аIm(z), комплексного числаz=a+ib:

Re(z)=a,Im(z)=b.

Зауважте, що уявна частина насправді є дійсним числом, дійсним коефіцієнтомi inz=a+ib.

Складнийz сполучений, комплексного числаz, отримують шляхом зміни знакаi:

z=aib.

Зверніть увагу, щоRe(z)=(z+z)/2 іIm(z)=(zz)/2i.

Комплексна площина: Оскільки комплексне числоz задається двома дійсними числами, його можна розглядати як двовимірний вектор з компонентами(a,b). Реальна частинаza=Re(z), єx складовою і уявною частиноюzb=Im(z), єy складовою. На діаграмах на малюнках 1.5 і 1.6 показано два вектори в комплексній площині разом з відповідними комплексними числами:

Абсолютне значення|z|z, of, - довжина вектора(a,b):

|z|=a2+b2=zz.

Абсолютне значення завжди|z| є дійсним, невід'ємним числом.

Малюнок 1.5: Вектор з додатною дійсною частиною в комплексній площині.

Аргумент або фаза, arg(z), ненульового комплексного числаz - це кут у радіанах вектора(a,b) проти годинникової стрілки відx осі:

\boldsymbol{arg(z) = { arctan(b/a) for a ≥ 0,}

\boldsymbol{{ arctan(b/a) + π  for a < 0.}

Як і будь-який кут,arg(z) можна перевизначити шляхом додавання кратного2π радіанів або 360 (див. Рис. 1.5 та 1.6).

Малюнок 1.6: Вектор з від'ємною дійсною частиною в комплексній площині.

Арифметика

Арифметичні операції додавання, віднімання і множення на комплексні числа визначаються просто обробкоюi подібної змінної в алгебрі, використовуючи розподільний закон і відношенняi2=1. Таким чином якщоz=a+ib іz=a+ib, то

z+z=(a+a)+i(b+b),

zz=(aa)+i(bb),

zz=(aabb)+i(ab+ba).

Наприклад:

(3+4i)+(2+7i)=(32)+(4+7)i=1+11i,

(3+4i)·(5+7i)=(3·54·7)+(3·7+4·5)i=13+41i.

Варто пограти зі складним множенням і познайомитися зі складною площиною. На цьому етапі ви повинні перевірити програму 1-2.

Розподіл складніше. Розділити комплексне числоz наr дійсне число легко, просто розділіть як дійсну, так і уявну частини на,r щоб отриматиz/r=a/r+ib/r. Щоб розділити на комплексне числоz, ми можемо використовувати той факт, щоzz=|z|2 є реальним. Якщо помножити чисельник і знаменникz/zbyz, то можна записати:

z/z=zz/|z|2=(aa+bb)/(a2+b2)+i(baab)/(a2+b2).

Наприклад:

(3+4i)/(2+i)=(3+4i)·(2i)/5=(10+5i)/5=2+i.

З цими визначеннями для арифметичних операцій абсолютне значення поводиться дуже простим способом при множенні та діленні. При множенні абсолютне значення добутку двох комплексних чисел є добутком абсолютних значень:

|zz|=|z||z|.

Розподіл працює так само, якщо ви не ділите на нуль:

\[|z/z' | = |z|/|z' | if z'=0 .\]

Математиками називають сукупність об'єктів, на яких визначено додавання і множення і для яких існує абсолютне значення, що задовольняє (1,51) і (1,52) алгебра ділення. Це своєрідний (хоча і неактуальний, для нас) математичний факт, що комплексні числа є однією з лише чотирьох алгебр ділення, інші - дійсні числа та більш химерні речі, звані кватерніонами та октоніями, отриманими шляхом послаблення вимог комутативності та асоціативності (відповідно) закони множення.

Чудова річ комплексних чисел з точки зору алгебри полягає в тому, що всі поліноміальні рівняння мають розв'язки. Наприклад, рівняння неx22x+5=0 має розв'язків у дійсних числах, але має два комплексних рішення,x=1±2i. Загалом рівняння видуp(x)=0, деp(x) поліном ступеняn з комплексними (або дійсними) коефіцієнтами маєn рішення, якщо комплексні числа дозволено, але він може не мати жодного, якщоx обмежений бути реальним.

Відзначимо, що складний сполучений будь-якої суми, добутку і т. Д. Складних чисел можна отримати, просто змінивши знак того,i де б він не з'явився. З цього випливає, що якщо многочленp(z) має дійсні коефіцієнти, то розв'язкиp(z)=0 приходять у складних сполучених парах. Тобто якщоp(z)=0, тоp(z)=0 так само.

Складні експоненціальні

Розглянемо комплексне числоz=a+ib з абсолютним значенням 1. Тому що|z|=1 має на увазіa2+b2=1, ми можемо записатиa іb як косинус і синус кутаθ.

z=cosθ+isinθfor|z|=1.

Тому що

tanθ=sinθcosθ=ba

кутθ - аргументz:

arg(cosθ+isinθ)=θ.

Давайте подумаємоz як про функціїθ і розглянемо обчислення. Похідна по відношенню доθ це:

θ(cosθ+isinθ)=sinθ+icosθ=i(cosθ+isinθ)

Функція, яка переходить в себе до константи під диференціацією, є експоненціальною. Зокрема, якби ми мали функцію, що задовольняєтьсяθf(θ)=kf(θ) для дійснихθf(θ), ми б зробили висновокk, щоf(θ)=ekθ. Таким чином, якщо ми хочемо, щоб обчислення працювало таким же чином для комплексних чисел, що і для дійсних чисел, ми повинні зробити висновок, що

eiθ=cosθ+isinθ.

Ми можемо перевірити це співвідношення, зазначивши, що розширення серії Тейлора двох сторін рівні. Розширення Тейлора експоненціальних, cos та sin функцій:

ex=1+x+x22+x33!+x44!+

cos(x)=1x22+x44!+

sin(x)=xx33!+

Таким чином, розширення Тейлора лівої сторони (1,57)

1+iθ+(iθ)2/2+(iθ)3/3!+...

в той час як розширення Тейлора правої сторони

(1θ2/2+...)+i(θθ3/6+...)

Повноваженняi in (1.59) працюють правильним чином, щоб відтворити візерунок знаків мінус в (1.60).

Крім того, закон множення працює належним чином:

eiθeiθ=(cosθ+isinθ)(cosθ+isinθ)

=(cosθcosθsinθsinθ)+i(sinθcosθ+cosθsinθ)

=cos(θ+θ)+isin(θ+θ)=ei(θ+θ).

Таким чином (1.57) має сенс у всіх відношеннях. Цей зв'язок між складними експоненціальними і тригонометричними функціями називається Ідентичність Ейлера. Він надзвичайно корисний. З одного боку, логіку можна змінити, а тригонометричні функції можуть бути «визначені» алгебраїчно через складні експоненціальні:

cosθ=eiθ+eiθ2

sinθ=eiθeiθ2i=ieiθeiθ2

Використовуючи (1.62), тригонометричні ідентичності можна вивести дуже просто. Наприклад:

cos3θ=Re(e3iθ)=Re((eiθ)3)=cos3θ3cosθsin2θ.

Ще один приклад, який буде корисний нам пізніше:

cos(θ+θ)+cos(θθ)=(ei(θ+θ)+ei(θ+θ)+ei(θθ)+ei(θθ))/2

=(eiθ+eiθ)(eiθ+eiθ)/2=2cosθcosθ.

Кожне ненульове комплексне число може бути записано як добуток додатного дійсного числа (його абсолютного значення) та комплексного числа з абсолютним значенням 1. Таким чином

z=x+iy=ReiθwhereR=|z|,andθ=arg(z).

У комплексній площині (1.65) виражає той факт, що двовимірний вектор може бути записаний √ або в декартових координатах(x,y), або в полярних координатах(R,θ). Наприклад, на3+i=2eiπ/6;1+i=2eiπ/4;8i=8e3iπ/2=8eiπ/2 малюнку 1.7 показано комплексне число1+i=2eiπ/4.

Відношення, (1,65), дає ще один корисний спосіб мислення про множення комплексних чисел. Якщо

z1=R1eiθ1andz2=R2eiθ2,

потім

z1z2=R1R2ei(θ1+θ2).

У словах, щоб помножити два комплексних числа, ви множите абсолютні значення і додаєте аргументи. Тепер ви повинні повернутися і грати з програмою 1-2 з цим співвідношенням на увазі.

Рівняння (1.57) дає ряд відносин, які можуть здатися дивовижними, поки ви не звикнете до них. Наприклад:eiπ=1;eiπ/2=i;e2iπ=1. Вони мають інтерпретацію в складній площині, деeiθ є одиничний вектор(cosθ,sinθ),