7: Методи інтеграції
- Page ID
- 62111
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У попередньому розділі ми бачили, наскільки важливою може бути інтеграція для всіх видів різних тем - від розрахунків обсягів до швидкості потоку та від використання функції швидкості для визначення положення до розташування центрів мас. Тож не дивно, що методи пошуку антипохідних (або невизначені інтеграли) важливо знати кожному, хто їх використовує. Ми вже розглянули деякі основні формули інтеграції і метод інтеграції шляхом заміщення. У цьому розділі ми вивчаємо деякі додаткові прийоми, включаючи деякі способи наближення певних інтегралів, коли нормальні методи не працюють.
- 7.0: Прелюдія до методів інтеграції
- У великому місті аварії відбувалися в середньому один раз на три місяці на особливо жвавому перехресті. Після того, як жителі поскаржилися, були внесені зміни в світлофори на перехресті. Минуло вісім місяців з моменту внесення змін, і нещасних випадків не було. Чи були зміни ефективними чи восьмимісячний інтервал без випадковості - результат випадковості? Ми досліджуємо це питання пізніше в цьому розділі і бачимо, що інтеграція є важливою частиною визначення
- 7.1: Інтеграція частинами
- Перевага використання формули інтеграції по частинам полягає в тому, що ми можемо використовувати її для обміну одного інтеграла на інший, можливо, простіше, інтеграл.
- 7.2: Тригонометричні інтеграли
- Тригонометрична заміщення - це метод інтеграції, який дозволяє нам перетворювати алгебраїчні вирази, які ми, можливо, не зможемо інтегрувати у вирази, що включають тригонометричні функції, які ми можемо інтегрувати за допомогою методів, описаних у цьому розділі. Крім того, ці типи інтегралів часто з'являються, коли пізніше ми вивчаємо полярні, циліндричні та сферичні системи координат. Почнемо наше дослідження з продуктів sin x і cos x.
- 7.3: Тригонометрична заміна
- Техніка тригонометричного заміщення дуже стане в нагоді при оцінці інтегралів певних форм. Цей метод використовує підстановку для перезапису цих інтегралів як тригонометричних інтегралів.
- 7.4: Часткові дроби
- У цьому розділі розглянуто метод розкладання часткового дробу, який дозволяє розкласти раціональні функції на суми простих, легкоінтегрованих раціональних функцій.
- 7.5: Інші стратегії інтеграції
- Окрім методів інтеграції, які ми вже бачили, широко доступні кілька інших інструментів, які допомагають у процесі інтеграції. Серед цих інструментів є інтеграційні таблиці, які легко доступні в багатьох книгах, включаючи додатки до цього. Також широко доступні системи комп'ютерної алгебри (CAS), які зустрічаються на калькуляторах і в багатьох комп'ютерних лабораторіях кампусу, і є безкоштовними в Інтернеті.
- 7.6: Чисельна інтеграція
- Антипохідні багатьох функцій або не можуть бути виражені, або не можуть бути легко виражені в замкнутому вигляді (тобто з точки зору відомих функцій). Отже, замість того, щоб безпосередньо оцінювати певні інтеграли цих функцій, ми вдаємося до різних методів числового інтегрування для наближення їх значень. У цьому розділі ми досліджуємо кілька з цих прийомів. Крім того, ми вивчаємо процес оцінки похибки при використанні цих методик.
- 7.7: Неправильні інтеграли
- У цьому розділі визначено інтеграли через нескінченний інтервал, а також інтеграли функцій, що містять розрив на інтервалі. Інтеграли цих типів називаються некоректними інтегралами. Ми розглядаємо кілька методів оцінки неправильних інтегралів, всі з яких передбачають обмеження.