7.2: Тригонометричні інтеграли

Цілі навчання

• Вирішити інтеграційні проблеми, пов'язані з продуктами і повноваженнями$\sin x$ і$\cos x$.
• Вирішити інтеграційні проблеми, пов'язані з продуктами і повноваженнями$\tan x$ і$\sec x$.
• Використовуйте формули зменшення для розв'язання тригонометричних інтегралів.

У цьому розділі ми розглянемо, як інтегрувати різноманітні продукти тригонометричних функцій. Ці інтеграли називаються тригонометричними інтегралами. Вони є важливою частиною інтеграційної техніки, яка називається тригонометричною заміщенням, яка показана в тригонометричній заміщенні. Ця методика дозволяє нам перетворювати алгебраїчні вирази, які ми, можливо, не зможемо інтегрувати у вирази, що включають тригонометричні функції, які ми можемо інтегрувати за допомогою методів, описаних у цьому розділі. Крім того, ці типи інтегралів часто з'являються, коли пізніше ми вивчаємо полярні, циліндричні та сферичні системи координат. Почнемо наше дослідження з продуктів$\sin x$ і$\cos x.$

Інтеграція продуктів і повноважень sin x і cos x

Ключова ідея стратегії, що використовується для інтеграції комбінацій продуктів і повноважень$\sin x$ і$\cos x$ включає в себе переписування цих виразів як суми і відмінності інтегралів форми$∫\sin^jx\cos x\,dx$ або$∫\cos^jx\sin x\,dx$. Переписавши ці інтеграли, оцінюємо їх за допомогою$u$ -підстановки. Перш ніж докладно описувати загальний процес, давайте розглянемо наступні приклади.

Приклад$\PageIndex{1}$: Integrating $\displaystyle ∫\cos^j x\sin x\,dx$

Оцінити$\displaystyle ∫\cos^3x\sin x\,dx.$

Рішення

Використовуйте$u$ -підстановку і нехай$u=\cos x$. У цьому випадку$du=−\sin x\,dx.$

Таким чином,

$$∫\cos^3x\sin x\,dx=−∫u^3\,du=−\frac{1}{4}u^4+C=−\frac{1}{4}\cos^4x+C.\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Оцінити$\displaystyle ∫\sin^4x\cos x\,dx.$

Підказка

Нехай$u=\sin x.$

Відповідь

$\displaystyle ∫\sin^4x\cos x\,dx = \frac{1}{5}\sin^5x+C$

Приклад$\PageIndex{2}$: A Preliminary Example: Integrating $∫\cos^jx\sin^kx\,dx$ where $k$ is Odd

Оцінити$\displaystyle ∫\cos^2x\sin^3x\,dx.$

Рішення

Щоб перетворити цей інтеграл в інтеграли виду,$\displaystyle ∫\cos^jx\sin x\,dx,$ перепишіть$\sin^3x=\sin^2x\sin x$ і зробіть підстановку$\sin^2x=1−\cos^2x.$

Таким чином,

\ (\ displaystyle\ begin {align*}\ cos^2x\ sin^3x\, dx &=\ cos^2x (1−\ cos^2x)\ sin x\, dx &\ text {Нехай} u=\ cos x;\\ текст {потім} du =\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=−u^2 (1−−u^2 u^2)\, ду\\ [4pt]
&=( u^4−u^2)\, ду\\ [4pt]
&=\ розрив {1} {5} u^5−\ розрив {1} {3} u^3+c\\ [4pt]
&=\ гідророзриву {1} {5}\ cos^5x−\ гідророзриву {1} {3}\ coS^3x+c.\ end {align*}\)

Вправа$\PageIndex{2}$

Оцінити$\displaystyle ∫\cos^3x\sin^2x\,dx.$

Підказка

Пишіть$\cos^3x=\cos^2x\cos x=(1−\sin^2x)\cos x$ і нехай$u=\sin x$.

Відповідь

$\displaystyle ∫\cos^3x\sin^2x\,dx = \frac{1}{3}\sin^3x−\frac{1}{5}\sin^5x+C$

У наступному прикладі ми бачимо стратегію, яку потрібно застосовувати, коли є лише рівні повноваження$\sin x$ і$\cos x$. Для інтегралів цього типу тотожності

$$\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1−\cos(2x)}{2} \nonumber$$

і

$$\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \nonumber$$

неоціненні. Ці ідентичності іноді відомі як тотожності, що зменшують потужність, і вони можуть бути похідні від подвійного кута ідентичності$\cos(2x)=\cos^2x−\sin^2x$ та ідентичності Піфагора.$\cos^2x+\sin^2x=1.$

Приклад$\PageIndex{3}$: Integrating an Even Power of $\sin x$

Оцінити$\displaystyle ∫\sin^2x\,dx$.

Рішення

Щоб оцінити цей інтеграл, давайте використаємо тригонометричну ідентичність$\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x).$ Таким чином,

$\displaystyle ∫\sin^2x\,dx=∫\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)\right)\,dx=\frac{1}{2}x−\frac{1}{4}\sin(2x)+C.$

Вправа$\PageIndex{3}$

Оцінити$\displaystyle ∫\cos^2x\,dx.$

Підказка

$\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)$

Відповідь

$\displaystyle ∫\cos^2x\,dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C$

Загальний процес інтеграції продуктів повноважень$\sin x$ і$\cos x$ узагальнено в наступному наборі керівних принципів.

Стратегія вирішення проблем: інтеграція продуктів та повноважень$\sin x$ and $cos x$

Для інтеграції$\displaystyle \int \cos^jx\sin^kx\,dx$ використовуйте наступні стратегії:

1. Якщо$k$ непарно, перепишіть$\sin^kx=\sin^{k−1}x\sin x$ і використовуйте$\sin^2x=1−\cos^2x$ ідентифікацію для перезапису з$\sin^{k−1}x$ точки зору$\cos x$. Інтегруйте за допомогою підміни$u=\cos x$. Ця заміна робить$du=−\sin x\,dx.$

2. Якщо$j$ непарно, перепишіть$\cos^jx=\cos^{j−1}x\cos x$ і використовуйте$\cos^2x=1−\sin^2x$ ідентифікацію для перезапису з$\cos^{j−1}x$ точки зору$\sin x$. Інтегруйте за допомогою підміни$u=\sin x$. Ця заміна робить$du=\cos x\,dx.$ (Примітка: Якщо обидва$j$ і$k$ непарні, може бути використана стратегія 1 або стратегія 2.)

3. Якщо$k$ обидва$j$ і рівні, використовуйте$\sin^2x=\dfrac{1−\cos(2x)}{2}$ і$\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$. Після застосування цих формул, спростити і повторно застосувати стратегії з 1 по 3 в міру необхідності.

Приклад$\PageIndex{4}$: Integrating $∫\cos^jx\sin^kx\,dx$ where $k$ is Odd

Оцінити$\displaystyle ∫\cos^8x\sin^5x\,dx.$

Рішення

Оскільки потужність включення$\sin x$ непарна, використовуйте стратегію 1. Таким чином,

\ (\ displaystyle\ begin {align*}\ cos^8x\ sin^5x\, dx &=\ cos^8x\ sin ^ 4x\ sin x\, dx &\ text {Обрив}\ sin x.\\ [4pt]
&=\ cos^8x (\ sin ^2x) ^2\ sin x\, dx &\ text {Переписати} sin^4x= (\ sin^2x) ^2.\\ [4pt]
&=\ cos^8x (1−\ cos^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ text { Заміна}\ sin^2x=1−\ cos^2x.\\ [4pt]
&=u^8 (1−u^2) ^2 (−ду) ^2 (−ду) &\ текст {Нехай} u=\ cos x\ text {і} du =\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=( −u^8+2u^ {10} −u^ {12}) du &\ текст {Розгорнути.}\\ [4pt]
&=−\ розрив {1} {9} u^9+\ гідророзриву {2} {11} u^ {11}} −\ розрив {1} {13} u^ {13} +C & & ;\ text {Оцінити інтеграл.}\\ [4pt]
&=−\ розрив {1} {9}\ cos^9x+\ frac {2} {11}\ cos^ {11} x−\ frac {1} {13}\ cos^ {13} x+c &\ text {Заміна} u=\ cos x.\ end {align*}\)

Приклад$\PageIndex{5}$: Integrating $∫\cos^jx\sin^kx\,dx$ where $k$ and $j$ are Even

Оцінити$\displaystyle ∫\sin^4x\,dx.$

Рішення: Оскільки живлення$\sin x$ рівномірне,$(k=4)$ а живлення навіть$\cos x$,$(j=0),$ ми повинні використовувати стратегію 3. Таким чином,

\ (\ begin {align*}\ стиль відображення\ sin^4x\, dx &=\ ліворуч (\ sin^2x\ праворуч) ^2\, dx &\ text {Переписати}\ sin^4x=\ вліво (\ sin^2x\ вправо) ^2.\ [4pt]
&=\ ліворуч (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ праворуч) ^2\, dx &\ text {Заміна}\ sin^2x=\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x).\\ [4pt]
& =\ ліворуч (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ праворуч)\, dx &\ text {Розгорнути}\ ліворуч (\ frac {1} {1} {1} {2}\ cos (2x)\ праворуч) ^2.\\ [4pt]
&=\ ліворуч (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ розрив {1} {4}\ ліворуч (\ frac {1} {2} {2}\ cos (4x)\ праворуч)\ праворуч)\, dx &\ text {{}\ frac {1}\ cos (4x)\ праворуч)\, dx &\ text {{}\ cos (4x)\ праворуч)\ ^ 2 (2х )\ текст {має парну потужність, замінює}\ cos^2 (2x) =\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x).\\ [4pt]
&=\ ліворуч (\ frac {3} {8} {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ cos (4x)\ праворуч)\, dx &\ текст {спростити.}\\ [4pt]
&=\ розрив {3} {8} x −\ розриву {1} {4}\ sin (2x) +\ frac {1} {32}\ sin (4x) +C & &\ текст { Оцініть інтеграл.}\\ [4pt]\ end {align*}\)

Вправа$\PageIndex{4}$

Оцінити$\displaystyle ∫\cos^3x\,dx.$

Підказка

Використовуйте стратегію 2. Напишіть$\cos^3x=\cos^2x\cos x$ і підставляйте$\cos^2x=1−\sin^2x.$

Відповідь

$\displaystyle ∫\cos^3x\,dx = \sin x−\frac{1}{3}\sin^3x+C$

Вправа$\PageIndex{5}$

Оцінити$\displaystyle ∫\cos^2(3x)\,dx.$

Підказка

Використовуйте стратегію 3. Замінник$\cos^2(3x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(6x)$

Відповідь

$\displaystyle ∫\cos^2(3x)\,dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{12}\sin(6x)+C$

У деяких областях фізики, таких як квантова механіка, обробка сигналів та обчислення рядів Фур'є, часто необхідно інтегрувати продукти, які включають$sin(ax), sin(bx), cos(ax),$ і$cos(bx).$ Ці інтеграли оцінюються шляхом застосування тригонометричних ідентичностей, як зазначено в наступному правилі.

Правило: Інтеграція продуктів синусів і косинусів різних кутів

Інтегрувати продукти за участю$\sin(ax), \,\sin(bx), \,\cos(ax),$ і$\cos(bx),$ використовувати заміни

$$\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)−\frac{1}{2}\cos((a+b)x) \nonumber$$

$$\sin(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\sin((a−b)x)+\frac{1}{2}\sin((a+b)x) \nonumber$$

$$\cos(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)+\frac{1}{2}\cos((a+b)x) \nonumber$$

Ці формули можуть бути отримані з формул суми кута для синуса і косинуса.

Приклад$\PageIndex{6}$: Evaluating $∫\sin(ax)\cos(bx)\,dx$

Оцінити$\displaystyle ∫\sin(5x)\cos(3x)\,dx.$

Рішення: Застосовуйте ідентичність$\sin(5x)\cos(3x)=\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(8x).$ Таким чином,

$\displaystyle ∫\sin(5x)\cos(3x)\,dx=∫\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(8x)\,dx=−\frac{1}{4}\cos(2x)−\frac{1}{16}\cos(8x)+C.$

Вправа$\PageIndex{6}$

Оцінити$\displaystyle ∫\cos(6x)\cos(5x)\,dx.$

Підказка

Замінник$\cos(6x)\cos(5x)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\cos(11x).$

Відповідь

$\displaystyle ∫\cos(6x)\cos(5x)\,dx = \frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{22}\sin(11x)+C$

Інтеграція продуктів та повноважень$\tan x$$\sec x$

Перш ніж обговорювати інтеграцію продуктів та повноважень$\tan x$ і$\sec x$, корисно згадати інтеграли, які беруть участь,$\tan x$ і$\sec x$ ми вже дізналися:

1. $\displaystyle ∫\sec^2x\,dx=\tan x+C$

2. $\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx=\sec x+C$

3. $\displaystyle ∫\tan x\,dx=\ln|\sec x|+C$

4. $\displaystyle ∫\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C.$

Для більшості інтегралів добутків і степеней$\tan x$ і$\sec x$, ми переписуємо вираз, який ми хочемо інтегрувати як суму або різницю інтегралів виду$\displaystyle ∫\tan^jx\sec^2x\,dx$ або$\displaystyle ∫\sec^jx\tan x\,dx$. Як ми бачимо в наступному прикладі, ми можемо оцінити ці нові інтеграли за допомогою u-підстановки.

Приклад$\PageIndex{7}$: Evaluating $∫\sec^jx\tan x\,dx$

Оцінити$\displaystyle ∫\sec^5 x\tan x\,dx.$

Рішення: Почніть з переписування$\sec^5 x\tan x$ як$\sec^4 x\sec x\tan x.$

\ (\ стиль відображення\ почати {вирівнювати*}\ сек ^ 5x\ tan x\, dx &=\ сек ^ 4 х\ сек х\ tan x\, dx\\ [4pt]
&= u^4\, du &\ текст {нехай} u =\ сек x;\,\ текст {потім},\, du = сек x\ tan x\, dx.\ 4 pt]
&=\ tfrac {1} {5} u^5+c &\ text {Оцінити інтеграл.}\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5}\ сек^5 x+C & &\ текст {Заміна}\ сек x = u.\ end {align*}\)

Ви можете прочитати цікаву інформацію на цьому веб-сайті, щоб дізнатися про загальний інтеграл за участю секант.

Вправа$\PageIndex{7}$

Оцінити$\displaystyle ∫\tan^5x\sec^2x\,dx.$

Підказка

Нехай$u=\tan x$ і$du=\sec^2 x.$

Відповідь

$\displaystyle ∫\tan^5x\sec^2x\,dx = \tfrac{1}{6}\tan^6x+C$

Зараз ми розглянемо різні стратегії інтеграції продуктів та повноважень$\sec x$ та$\tan x.$

Стратегія вирішення проблем: інтеграція$\displaystyle ∫\tan^kx\sec^jx\,dx$

Для інтеграції$\displaystyle ∫\tan^kx\sec^jx\,dx,$ використовуйте наступні стратегії:

1. Якщо$j$ навіть і$j≥2,$ перепишіть$\sec^jx=\sec^{j−2}x\sec^2x$ і використовуйте$\sec^2x=\tan^2x+1$ для$\sec^{j−2}x$ переписування в плані$\tan x$. Нехай$u=\tan x$ і$du=\sec^2x.$

2. Якщо$k$ непарно і$j≥1$, перепишіть$\tan^kx\sec^jx=\tan^{k−1}x\sec^{j−1}x\sec x\tan x$ і використовуйте$\tan^2x=\sec^2x−1$ для перезапису$\tan^{k−1}x$ в терміні$\sec x$. Нехай$u=\sec x$ і$du=\sec x\tan x\,dx.$ (Примітка: Якщо$j$ парна і$k$ непарна, то може бути використана стратегія 1 або стратегія 2.)

3. Якщо$k$ непарно де$k≥3$ і$j=0$, перепишіть$\tan^kx=\tan^{k−2}x\tan^2x=\tan^{k−2}x(\sec^2x−1)=\tan^{k−2}x\sec^2x−\tan^{k−2}x.$ Можливо, доведеться повторити цей процес на$\tan^{k−2}x$ терміні.

4. Якщо$k$ парний і$j$ непарний, то використовуйте$\tan^2x=\sec^2x−1$ для вираження з$\tan^kx$ точки зору$\sec x$. Використовуйте інтеграцію частинами для інтеграції непарних повноважень$\sec x.$

Приклад$\PageIndex{8}$: Integrating $∫\tan^kx\sec^jx\,dx$ when $j$ is Even

Оцінити$\displaystyle ∫\tan^6x\sec^4x\,dx.$

Рішення

Оскільки включення$\sec x$ рівномірне, перепишіть$\sec^4x=\sec^2x\sec^2x$ і використовуйте$\sec^2x=\tan^2x+1$ для перезапису першого з$\sec^2x$ точки зору$\tan x.$ Таким чином,

\ (\ почати {вирівнювати*}\ стиль відображення\ tan^6x\ сек ^ 4x\, dx &=\ tan^6x (\ tan^2x+1)\ сек ^ 2x\, dx\\ [4pt]
&= u^6 (u^2+1)\, du &\ text {Нехай} u=\ tan x\ текст {і} du =\ сек ^ 2x.\\ [4pt]
&=( u^8+u^6)\, du &\ текст {Розгорнути.}\\ [4pt]
&=\ розрив {1} {9} u^9+\ frac {1} {7} u^ 7+C & &\ text {Оцінити інтеграл.}\\ [4pt]
&=\ розриву {1} {9}\ tan^9x+\ розриву {1} {7}\ tan^7x+c. &\ text {Заміна}\ tan x = u.\ end {align*}\)

Приклад$\PageIndex{9}$: Integrating $∫\tan^kx\sec^jx\,dx$ when $k$ is Odd

Оцінити$\displaystyle ∫\tan^5x\sec^3x\,dx.$

Рішення

Оскільки потужність включення$\tan x$ непарна, почніть з переписування$\tan^5x\sec^3x=\tan^4x\sec^2x\sec x\tan x.$ Таким чином,

\ (\ почати {вирівнювати*}\ стиль відображення\ tan^5x\ сек ^ 3x\, dx&=\ tan^4x\ сек ^ 2x\ сек x\ tan x.\\ [4pt]
&= (\ tan^2x) ^2\ сек x\ tan x\, dx & &\ текст {Написати}\ tan ^ 4x = (\ tan ^ 2x\ сек х\ tan x\, dx &\ текст {Написати}\ tan ^ 4x = (\ tan ^ 2x x) ^2.\\ [4pt]
&=(\ сек^2x−1) ^2\ сек^2x\ сек x\ tan x\, dx &\ text {Використовувати}\ tan^2x=\ сек^2x-1.\\ [4pt]
&=( u^2−1) ^2u^2du &\ текст {Нехай} u =\ сек х\ текст {і} ду =\ сек х\ тан х\, dx\\ [4pt]
&= (u^6−2u^4+u^2) ду &\ текст {Розгорнути.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {7} ^7−\ гідророзриву {2} {5} u^5+\ гідророзриву {1} {3} u^3+c &\ text {Інтеграція.}\\ [4pt]
&=\ гідророзриву {1 } {7}\ сек^7x−\ розрив {2} {5}\ сек^5x+\ frac {1} {3}\ sec^3x+c &\ text {Заміна}\ сек x = u.\ end {align*}\)

Приклад$\PageIndex{10}$: Integrating $∫\tan^kx\,dx$ where $k$ is Odd and $k≥3$

Оцінити$\displaystyle ∫\tan^3x\,dx.$

Рішення

Почніть з переписування$\tan^3x=\tan x\tan^2x=\tan x(\sec^2x−1)=\tan x\sec^2x−\tan x.$ Таким чином,

\ (\ почати {вирівнювати*}\ стиль відображення\ tan^3x\, dx &= (\ тан х\ сек^2x−\ тан х)\, dx\\ [4pt]
&=\ тан х\ сек^2x\, dx−\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ tan ^2x -\ ln |\ сек x|+c.\ end {вирівнювати*}\)

Для першого інтеграла використовуйте підстановку$u=\tan x.$ для другого інтеграла використовуйте формулу.

Приклад$\PageIndex{11}$: Integrating $\displaystyle ∫\sec^3x\,dx$

Інтегрувати$\displaystyle ∫\sec^3x\,dx.$

Рішення

Цей інтеграл вимагає інтеграції частинами. Для початку нехай$u=\sec x$ і$dv=\sec^2x$. Цей вибір роблять$du=\sec x\tan x$ і$v=\tan x$. Таким чином,

\ (\ begin {align*}\ стиль відображення\ sec^3x\, dx &=\ сек х\ tan x−\ тан х\ сек х\ tan x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=\ сек х\ tan x\ tan^2x\ сек x\, dx &\ text {спростити.}\\ [4pt]
&=\ сек х\ tan x−(\ сек^2x−1)\ сек x\, dx &\ text {Заміна}\ tan^2x=\ сек^2x−1.\\ [4pt]
& підсилювач; =\ сек х\ тан х+\ сек х\, дх−\ сек^3x\, dx &\ текст {Перезаписати.}\\ [4pt]
&=\ сек х\ тан х+\ ln|\ сек x+\ tan x|−\ сек ^ 3x\, dx. &\ text {Оцінити}\ сек х\, дх. \ end {вирівнювати*}\)

У нас зараз є

$$∫\sec^3x\,dx=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|−∫\sec^3x\,dx.\nonumber$$

Оскільки$\displaystyle ∫\sec^3x\,dx$ інтеграл знову з'явився на правій стороні, ми можемо вирішити для,$\displaystyle ∫\sec^3x\,dx$ додавши його в обидві сторони. При цьому отримуємо

$$2∫\sec^3x\,dx=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|.\nonumber$$

Діливши на 2, приходимо до

$$∫\sec^3x\,dx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{8}$

Оцінити$\displaystyle ∫\tan^3x\sec^7x\,dx.$

Підказка

Використовуйте$\PageIndex{9}$ Example як орієнтир.

Відповідь

$\displaystyle ∫\tan^3x\sec^7x\,dx = \frac{1}{9}\sec^9x−\frac{1}{7}\sec^7x+C$

Формули зменшення

Оцінка$\displaystyle ∫\sec^nx\,dx$ значень$n$ де$n$ непарних вимагає інтеграції частинами. Крім того, ми також повинні знати значення$\displaystyle ∫\sec^{n−2}x\,dx$ для оцінки$\displaystyle ∫\sec^nx\,dx$. Оцінка$\displaystyle ∫\tan^nx\,dx$ також вимагає можливості інтеграції$\displaystyle ∫\tan^{n−2}x\,dx$. Щоб полегшити процес, ми можемо вивести та застосувати наступні формули зменшення потужності. Ці правила дозволяють замінити інтеграл влади$\sec x$ або$\tan x$ з інтегралом нижчої потужності$\sec x$ або$\tan x.$

Правило: Формули зменшення для$∫\sec^nx\,dx$ and $∫\tan^nx\,dx$

$$∫\sec^n x\,dx=\frac{1}{n−1}\sec^{n−2}x\tan x+\frac{n−2}{n−1}∫\sec^{n−2}x\,dx \nonumber$$

$$∫\tan^n x\,dx=\frac{1}{n−1}\tan^{n−1}x−∫\tan^{n−2}x\,dx \nonumber$$

Перше правило зменшення потужності може бути перевірено шляхом застосування інтеграції частинами. Друге може бути перевірено, дотримуючись стратегії, викладеної для інтеграції непарних повноважень$\tan x.$

Приклад$\PageIndex{12}$: Revisiting $∫\sec^3x\,dx$

Застосовуйте формулу зменшення для оцінки$\displaystyle ∫\sec^3x\,dx.$

Рішення: Застосовуючи першу формулу зменшення, отримуємо

\ (\ почати {вирівнювати*}\ стиль відображення\ сек ^ 3x\, dx &=\ розрив {1} {1} {2}\ сек x\ tan x+\ frac {1} {2}\ сек x\, dx\\ [4pt]
&=\ розрив {1} {2}\ сек х\ tan x+\ frac {1} {2}\ ln|\ сек х\ tan x+\ frac {1}\ tan x|+c.\ end {вирівнювати*}\)

Приклад$\PageIndex{13}$: Using a Reduction Formula

Оцінити$\displaystyle ∫\tan^4x\,dx.$

Рішення: Застосовуючи формулу зменшення для$∫\tan^4x\,dx$ нас

\ (\ begin {align*}\ стиль відображення\ tan^4x\, dx &=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan^2x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x− (\ tan x−\ tan^0x\, dx) &\ text {Застосувати формулу зменшення}\ tan^2x\, dx.\\ [4pt]
&=\ розрив {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+1\, dx &\ text {спростити.}\\ [4pt]
&=\ розриву {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+x+C &\ text {Оцінювати} 1\, dx\ end {вирівнювати*}\)

Вправа$\PageIndex{9}$

Застосуйте формулу зменшення до$\displaystyle ∫\sec^5x\,dx.$

Підказка

Використовуйте формулу скорочення 1 і нехай$n=5.$

Відповідь

$\displaystyle ∫\sec^5x\,dx=\frac{1}{4}\sec^3x\tan x+\frac{3}{4}∫\sec^3x$

Ключові поняття

Інтеграли тригонометричних функцій можуть бути оцінені за допомогою різних стратегій. До таких стратегій належать

1. Застосування тригонометричних тотожностей для перезапису інтеграла так, щоб його можна було оцінити за допомогою$u$ -підстановки
2. Використання інтеграції частинами
3. Застосування тригонометричних тотожностей для перезапису добутків синусів і косинусів з різними аргументами як суми окремих синусоїдних і косинусних функцій
4. Застосування формул зменшення

Ключові рівняння

Інтегрувати продукти за участю$\sin(ax), \,\sin(bx), \,\cos(ax),$ і$\cos(bx),$ використовувати заміни.

• синусоїди продукти

$\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)−\frac{1}{2}\cos((a+b)x)$

• Продукти синуса і косинуса

$\sin(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\sin((a−b)x)+\frac{1}{2}\sin((a+b)x)$

• Косинус продукти

$\cos(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)+\frac{1}{2}\cos((a+b)x)$

• Формула зменшення потужності

$\displaystyle ∫\sec^nx\,dx=\frac{1}{n−1}\sec^{n−2}x \tan x+\frac{n−2}{n−1}∫\sec^{n−2}x\,dx$

• Формула зменшення потужності

$\displaystyle ∫\tan^nx\,dx=\frac{1}{n−1}\tan^{n−1}x−∫\tan^{n−2}x\,dx$

Глосарій

формула зменшення потужності

правило, яке дозволяє інтеграл потужності тригонометричної функції обмінюватися на інтеграл за участю меншої потужності

тригонометричний інтеграл

інтеграл, що включає повноваження і добуток тригонометричних функцій