7.5: Інші стратегії інтеграції
- Page ID
- 62119
- Використовуйте таблицю інтегралів для вирішення задач інтеграції.
- Використовуйте систему комп'ютерної алгебри (CAS) для вирішення проблем інтеграції.
Окрім методів інтеграції, які ми вже бачили, широко доступні кілька інших інструментів, які допомагають у процесі інтеграції. Серед цих інструментів є інтеграційні таблиці, які легко доступні в багатьох книгах, включаючи додатки до цього. Також широко доступні системи комп'ютерної алгебри (CAS), які зустрічаються на калькуляторах і в багатьох комп'ютерних лабораторіях кампусу, і є безкоштовними в Інтернеті.
Таблиці інтегралів
Інтеграційні таблиці, якщо вони використовуються в правильному порядку, може бути зручним способом або оцінити або перевірити інтеграл швидко. Майте на увазі, що при використанні таблиці для перевірки відповіді можна два абсолютно правильних рішення виглядати зовсім по-різному. Наприклад, у тригонометричній заміщенні ми виявили, що, використовуючи підстановку,\(\displaystyle x=\tan θ,\) ми можемо досягти
\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln \left| x+\sqrt{x^2+1}\right| +C.\)
Однак, використовуючи\(\displaystyle x=\sinh θ\), ми отримали інше рішення, а саме:
\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\sinh^{−1}x+C.\)
Пізніше ми показали алгебраїчно, що два розв'язки еквівалентні. Тобто ми це показали\(\displaystyle \sinh^{−1}x=\ln \left| x+\sqrt{x^2+1}\right| \). У цьому випадку два антипохідні, які ми знайшли, насправді були рівними. Цього не повинно бути. Однак до тих пір, поки різниця в двох антипохідних є постійною, вони еквівалентні.
Скористайтеся табличною формулою
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du=−\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{a}+C\)
оцінювати\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx.\)
Рішення
Якщо ми подивимося на інтеграційні таблиці, то побачимо, що кілька формул містять вирази\(\displaystyle \sqrt{a^2−u^2}.\) виду Цей вираз насправді схоже на\(\displaystyle \sqrt{16−e^{2x}},\) де\(\displaystyle a=4\) і\(\displaystyle u=e^x\). Майте на увазі, що ми також повинні мати\(\displaystyle du=e^x\). Множення чисельника і знаменника заданого інтеграла на\(\displaystyle e^x\) має допомогти поставити цей інтеграл в корисний вигляд. Таким чином, ми тепер маємо
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx=∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^{2x}}e^xdx.\)
Підставляючи\(\displaystyle u=e^x\) та\(\displaystyle du=e^x\,dx\) виробляє\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du.\) З таблиці інтеграції (#88 у Додатку А),
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du=−\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{a}+C.\)
Таким чином,
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx=∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^{2x}}e^xdx\)Замінник\(\displaystyle u=e^x\) і\(\displaystyle du=e^xdx.\)
\(\displaystyle =∫\frac{\sqrt{4^2−u^2}}{u^2}du\)Нанесіть формулу за допомогою\(\displaystyle a=4\).
\(\displaystyle =−\frac{\sqrt{4^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{4}+C\)Замінник\(\displaystyle u=e^x\).
\(\displaystyle =−\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}−\sin^{−1}(\frac{e^x}{4})+C\)
Системи комп'ютерної алгебри
Якщо є, CAS є більш швидкою альтернативою таблиці для вирішення проблеми інтеграції. Багато такі системи широко доступні і, в цілому, досить прості у використанні.
Використовуйте систему комп'ютерної алгебри для оцінки\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−4}}.\) Порівняйте цей результат з результатом,\(\displaystyle \ln \left| \frac{\sqrt{x^2−4}}{2}+\frac{x}{2}\right| +C,\) який ми могли б отримати, якби ми використовували тригонометричну заміну.
Рішення
Використовуючи Вольфрам Альфа, отримуємо
\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−4}}=\ln \left|\sqrt{x^2−4}+x\right| +C.\)
Зауважте, що
\(\displaystyle \ln \left|\frac{\sqrt{x^2−4}}{2}+\frac{x}{2}\right| +C=\ln \left|\frac{\sqrt{x^2−4}+x}{2}\right| +C=\ln \left|\sqrt{x^2−4}+x\right| −\ln 2+C.\)
Оскільки ці два антипохідні відрізняються лише константою, розчини еквівалентні. Ми могли б також продемонструвати, що кожне з цих антипохідних є правильним, диференціюючи їх.
Ви можете отримати доступ до інтегрального калькулятора для додаткових прикладів.
Оцініть\(\displaystyle ∫ \sin^3x\,dx\) за допомогою CAS. Порівняйте результат з тим\(\displaystyle \frac{1}{3}\cos^3x−\cos x+C\), що результат, який ми могли б отримати, використовуючи техніку інтеграції непарних степенів,\(\displaystyle \sin x\) розглянутих раніше в цьому розділі.
Рішення
Використовуючи Вольфрам Альфа, отримуємо
\(\displaystyle ∫\sin^3x\,dx=\frac{1}{12}(\cos(3x)−9\cos x)+C.\)
Це виглядає зовсім інакше, ніж\(\displaystyle \frac{1}{3}\cos^3x−\cos x+C.\) Щоб побачити, що ці антипохідні еквівалентні, ми можемо використовувати кілька тригонометричних ідентичностей:
\(\displaystyle \frac{1}{12}(\cos(3x)−9\cos x)=\frac{1}{12}(\cos(x+2x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(\cos(x)\cos(2x)−\sin(x)\sin(2x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(\cos x(2\cos^2x−1)−\sin x(2\sin x \cos x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(2\cos^3x−\cos x−2\cos x(1−\cos^2x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(4\cos^3x−12\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\cos^3x−\cos x.\)
Таким чином, два антипохідні ідентичні.
Ми також можемо використовувати CAS для порівняння графіків двох функцій, як показано на наступному малюнку.
Використовуйте CAS для оцінки\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}\).
- Підказка
-
Відповіді можуть відрізнятися.
- Відповідь
-
Можливі рішення включають\(\displaystyle \sinh^{−1}\left(\frac{x}{2}\right) +C\) і\(\displaystyle \ln\left|\sqrt{x^2+4}+x\right| +C.\)
Ключові концепції
- Інтеграційна таблиця може бути використана для оцінки невизначеного інтегралу.
- CAS (або система комп'ютерної алгебри) може використовуватися для оцінки невизначеного інтегралу.
- Може знадобитися певні зусилля, щоб узгодити еквівалентні рішення, отримані різними методами.
Глосарій
- система комп'ютерної алгебри (CAS)
- технологія, яка використовується для виконання багатьох математичних завдань, включаючи інтеграцію
- інтеграційна таблиця
- таблиця, в якій перераховані формули інтеграції