7.5: Інші стратегії інтеграції

Цілі навчання

• Використовуйте таблицю інтегралів для вирішення задач інтеграції.
• Використовуйте систему комп'ютерної алгебри (CAS) для вирішення проблем інтеграції.

Окрім методів інтеграції, які ми вже бачили, широко доступні кілька інших інструментів, які допомагають у процесі інтеграції. Серед цих інструментів є інтеграційні таблиці, які легко доступні в багатьох книгах, включаючи додатки до цього. Також широко доступні системи комп'ютерної алгебри (CAS), які зустрічаються на калькуляторах і в багатьох комп'ютерних лабораторіях кампусу, і є безкоштовними в Інтернеті.

Таблиці інтегралів

Інтеграційні таблиці, якщо вони використовуються в правильному порядку, може бути зручним способом або оцінити або перевірити інтеграл швидко. Майте на увазі, що при використанні таблиці для перевірки відповіді можна два абсолютно правильних рішення виглядати зовсім по-різному. Наприклад, у тригонометричній заміщенні ми виявили, що, використовуючи підстановку,$\displaystyle x=\tan θ,$ ми можемо досягти

$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln \left| x+\sqrt{x^2+1}\right| +C.$

Однак, використовуючи$\displaystyle x=\sinh θ$, ми отримали інше рішення, а саме:

$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\sinh^{−1}x+C.$

Пізніше ми показали алгебраїчно, що два розв'язки еквівалентні. Тобто ми це показали$\displaystyle \sinh^{−1}x=\ln \left| x+\sqrt{x^2+1}\right|$. У цьому випадку два антипохідні, які ми знайшли, насправді були рівними. Цього не повинно бути. Однак до тих пір, поки різниця в двох антипохідних є постійною, вони еквівалентні.

Приклад$\displaystyle \PageIndex{1}$: Using a Formula from a Table to Evaluate an Integral

Скористайтеся табличною формулою

$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du=−\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{a}+C$

оцінювати$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx.$

Рішення

Якщо ми подивимося на інтеграційні таблиці, то побачимо, що кілька формул містять вирази$\displaystyle \sqrt{a^2−u^2}.$ виду Цей вираз насправді схоже на$\displaystyle \sqrt{16−e^{2x}},$ де$\displaystyle a=4$ і$\displaystyle u=e^x$. Майте на увазі, що ми також повинні мати$\displaystyle du=e^x$. Множення чисельника і знаменника заданого інтеграла на$\displaystyle e^x$ має допомогти поставити цей інтеграл в корисний вигляд. Таким чином, ми тепер маємо

$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx=∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^{2x}}e^xdx.$

Підставляючи$\displaystyle u=e^x$ та$\displaystyle du=e^x\,dx$ виробляє$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du.$ З таблиці інтеграції (#88 у Додатку А),

$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du=−\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{a}+C.$

Таким чином,

$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx=∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^{2x}}e^xdx$Замінник$\displaystyle u=e^x$ і$\displaystyle du=e^xdx.$

$\displaystyle =∫\frac{\sqrt{4^2−u^2}}{u^2}du$Нанесіть формулу за допомогою$\displaystyle a=4$.

$\displaystyle =−\frac{\sqrt{4^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{4}+C$Замінник$\displaystyle u=e^x$.

$\displaystyle =−\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}−\sin^{−1}(\frac{e^x}{4})+C$

Системи комп'ютерної алгебри

Якщо є, CAS є більш швидкою альтернативою таблиці для вирішення проблеми інтеграції. Багато такі системи широко доступні і, в цілому, досить прості у використанні.

Приклад$\displaystyle \PageIndex{2}$: Using a Computer Algebra System to Evaluate an Integral

Використовуйте систему комп'ютерної алгебри для оцінки$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−4}}.$ Порівняйте цей результат з результатом,$\displaystyle \ln \left| \frac{\sqrt{x^2−4}}{2}+\frac{x}{2}\right| +C,$ який ми могли б отримати, якби ми використовували тригонометричну заміну.

Рішення

Використовуючи Вольфрам Альфа, отримуємо

$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−4}}=\ln \left|\sqrt{x^2−4}+x\right| +C.$

Зауважте, що

$\displaystyle \ln \left|\frac{\sqrt{x^2−4}}{2}+\frac{x}{2}\right| +C=\ln \left|\frac{\sqrt{x^2−4}+x}{2}\right| +C=\ln \left|\sqrt{x^2−4}+x\right| −\ln 2+C.$

Оскільки ці два антипохідні відрізняються лише константою, розчини еквівалентні. Ми могли б також продемонструвати, що кожне з цих антипохідних є правильним, диференціюючи їх.

Ви можете отримати доступ до інтегрального калькулятора для додаткових прикладів.

Приклад$\displaystyle \PageIndex{3}$: Using a CAS to Evaluate an Integral

Оцініть$\displaystyle ∫ \sin^3x\,dx$ за допомогою CAS. Порівняйте результат з тим$\displaystyle \frac{1}{3}\cos^3x−\cos x+C$, що результат, який ми могли б отримати, використовуючи техніку інтеграції непарних степенів,$\displaystyle \sin x$ розглянутих раніше в цьому розділі.

Рішення

Використовуючи Вольфрам Альфа, отримуємо

$\displaystyle ∫\sin^3x\,dx=\frac{1}{12}(\cos(3x)−9\cos x)+C.$

Це виглядає зовсім інакше, ніж$\displaystyle \frac{1}{3}\cos^3x−\cos x+C.$ Щоб побачити, що ці антипохідні еквівалентні, ми можемо використовувати кілька тригонометричних ідентичностей:

$\displaystyle \frac{1}{12}(\cos(3x)−9\cos x)=\frac{1}{12}(\cos(x+2x)−9\cos x)$

$\displaystyle =\frac{1}{12}(\cos(x)\cos(2x)−\sin(x)\sin(2x)−9\cos x)$

$\displaystyle =\frac{1}{12}(\cos x(2\cos^2x−1)−\sin x(2\sin x \cos x)−9\cos x)$

$\displaystyle =\frac{1}{12}(2\cos^3x−\cos x−2\cos x(1−\cos^2x)−9\cos x)$

$\displaystyle =\frac{1}{12}(4\cos^3x−12\cos x)$

$\displaystyle =\frac{1}{3}\cos^3x−\cos x.$

Таким чином, два антипохідні ідентичні.

Ми також можемо використовувати CAS для порівняння графіків двох функцій, як показано на наступному малюнку.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Графіки$\displaystyle y=\frac{1}{3}\cos^3x−\cos x$ і$\displaystyle y=\frac{1}{12}(\cos(3x)−9\cos x)$ ідентичні.

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте CAS для оцінки$\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$.

Підказка

Відповіді можуть відрізнятися.

Відповідь

Можливі рішення включають$\displaystyle \sinh^{−1}\left(\frac{x}{2}\right) +C$ і$\displaystyle \ln\left|\sqrt{x^2+4}+x\right| +C.$

Ключові концепції

• Інтеграційна таблиця може бути використана для оцінки невизначеного інтегралу.
• CAS (або система комп'ютерної алгебри) може використовуватися для оцінки невизначеного інтегралу.
• Може знадобитися певні зусилля, щоб узгодити еквівалентні рішення, отримані різними методами.

Глосарій

система комп'ютерної алгебри (CAS)

технологія, яка використовується для виконання багатьох математичних завдань, включаючи інтеграцію

інтеграційна таблиця

таблиця, в якій перераховані формули інтеграції