7.7: Неправильні інтеграли

Цілі навчання

• Оцініть інтеграл через нескінченний інтервал.
• Оцініть інтеграл за замкнутий інтервал з нескінченним розривом всередині інтервалу.
• Використовуйте теорему порівняння, щоб визначити, чи збіжним є певний інтеграл.

Площа між графіком$f(x)=\dfrac{1}{x}$ і$x$ -віссю над інтервалом$[1,+∞)$ скінченна або нескінченна? Якщо ця ж область обертається навколо$x$ -осі, об'єм кінцевий або нескінченний? Дивно, але площа описуваної області нескінченна, але обсяг твердого тіла, отриманого обертанням цієї області навколо$x$ -осі, кінцевий.

У цьому розділі визначено інтеграли через нескінченний інтервал, а також інтеграли функцій, що містять розрив на інтервалі. Інтеграли цих типів називаються некоректними інтегралами. Ми розглядаємо кілька методів оцінки неправильних інтегралів, всі з яких передбачають обмеження.

Інтеграція через нескінченний інтервал

Як ми повинні йти про визначення інтеграла типу$\displaystyle \int ^{+∞}_af(x)\,dx?$ Ми можемо інтегрувати$\displaystyle \int ^t_af(x)\,dx$ для будь-якого значення$t$, тому розумно дивитися на поведінку цього інтеграла, як ми підставляємо великі значення$t$. $\PageIndex{1}$На малюнку показано, що$\displaystyle \int ^t_af(x)\,dx$ можна інтерпретувати як область для різних значень$t$. Іншими словами, ми можемо визначити неправильний інтеграл як ліміт, прийнятий як одна з меж інтеграції збільшується або зменшується без обмежень.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Для інтеграції функції через нескінченний інтервал розглянуто межу інтеграла, оскільки верхня межа збільшується без обмежень.

Визначення: неправильний інтеграл

1. $f(x)$Дозволяти бути безперервним протягом інтервалу форми$[a,+∞)$. Тоді $$\int ^{+∞}_af(x)\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_af(x)\,dx, \label{improper1}$$ за умови, що цей ліміт існує.
2. $f(x)$Дозволяти бути безперервним протягом інтервалу форми$(−∞,b]$. Тоді $$\int ^b_{−∞}f(x)\,dx=\lim_{t→−∞}\int ^b_tf(x)\,dx, \label{improper2}$$ за умови, що цей ліміт існує.

У кожному випадку, якщо межа існує, то неправильний інтеграл, як кажуть, сходиться. Якщо межі не існує, то неправильний інтеграл, як кажуть, розходиться.

3. Нехай$f(x)$ буде безперервним над$(−∞,+∞)$. Потім $$\int ^{+∞}_{−∞}f(x)\,dx=\int ^0_{−∞}f(x)\,dx+\int ^{+∞}_0f(x)\,dx, \label{improper3}$$ за умови, що$\displaystyle \int ^0_{−∞}f(x)\,dx$ і$\displaystyle \int ^{+∞}_0f(x)\,dx$ обидва сходяться. Якщо будь-який з цих двох інтегралів розходиться, то$\displaystyle \int ^{+∞}_{−∞}f(x)\,dx$ розходиться. (Можна показати, що, по суті,$\displaystyle \int ^{+∞}_{−∞}f(x)\,dx=\int ^a_{−∞}f(x)\,dx+\int ^{+∞}_af(x)\,dx$ для будь-якого значення а.).

У нашому першому прикладі ми повертаємося до питання, яке ми поставили на початку цього розділу: чи є область між графіком$f(x)=\frac{1}{x}$ і$x$ -віссю над інтервалом$[1,+∞)$ скінченна або нескінченна?

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding an Area

Визначте, чи є площа між графіком$f(x)=\dfrac{1}{x}$ і$x$ -віссю над інтервалом$[1,+∞)$ скінченною або нескінченною.

Рішення

Спочатку робимо швидкий ескіз відповідної області, як показано на малюнку$\PageIndex{2}$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Ми можемо знайти площу між кривою$f(x)=1/x$ і$x$ -віссю на нескінченному інтервалі.

Ми бачимо, що площа цього регіону дається

$$A=\int ^∞_1\frac{1}{x}\,dx. \nonumber$$

які можна оцінити за допомогою рівняння\ ref {improper1}:

$$\begin{align*} A =\int ^∞_1\frac{1}{x}\,dx \nonumber \\[4pt] =\lim_{t→+∞}\int ^t_1\frac{1}{x}\,dx \tag{Rewrite the improper integral as a limit} \\[4pt] =\lim_{t→+∞}\ln |x|∣^t_1 \tag{Find the antiderivative} \\[4pt] =\lim_{t→+∞}(\ln |t|−\ln 1) \tag{Evaluate the antiderivative} \\[4pt] =+∞. \tag{Evaluate the limit.} \end{align*}$$

Так як неправильний інтеграл$+∞,$ розходиться до площі області нескінченно.

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding a Volume

Знайти об'єм твердого тіла, отриманого обертанням області, обмеженої графіком$f(x)=\dfrac{1}{x}$ і$x$ -віссю через інтервал$[1,+∞)$ навколо$x$ -осі.

Рішення

Тверде тіло показано на рис$\PageIndex{3}$. Використовуючи дисковий метод, бачимо, що$V$ том

$$V=π\int ^{+∞}_1\frac{1}{x^2}\,dx. \nonumber$$

Малюнок$\PageIndex{3}$: Тверда речовина обертання може бути утворена обертанням нескінченної області навколо$x$ -осі.

Тоді у нас є

\ [\ стиль відображення\ почати {вирівнювати*} V &= π\ int ^ {+∞} _1\ розрив {1} {x^2}\, dx\\ [4pt]
&= π\ lim_ {t→+∞}\ int ^t_1\ frac {1} {x^2}\, dx\ quad\ текст {Перезаписати як обмеження.}\\ [4pt]
&=π\ lim_ {t→+∞} −\ frac {1} {x} ^t_1\ quad\ text {Знайти антидериватив.}\\ [4pt]
&= π\ lim_ {t→+∞}\ ліворуч (− \ frac {1} {t} +1\ право)\ quad\ text {Оцінити антидериватив.}\\ [4pt]
&=π\ end {align*}\]

Неправильний інтеграл сходиться до$π$. Тому обсяг твердого тіла обертання є$π$.

На закінчення, хоча площа області між$x$ -віссю та графіком$f(x)=1/x$ над інтервалом$[1,+∞)$ нескінченна, обсяг твердого тіла, що генерується обертанням цієї області навколо$x$ -осі, є кінцевим. Тверде тіло, що генерується, відомий як Ріг Гавриїла.

Примітка: ріг Габріеля (також називається трубою Торрічеллі) - це геометрична фігура, яка має нескінченну площу поверхні, але кінцевий об'єм. Назва посилається на традицію ідентифікувати архангела Гавриїла як ангела, який дме ріг, щоб оголосити Судний день, асоціюючи божественне або нескінченне, з кінцевим. Властивості цієї фігури вперше вивчила італійський фізик і математик Євангеліста Торрічеллі в 17 столітті.

Приклад$\PageIndex{3}$: Traffic Accidents in a City

Припустимо, що на жвавому перехресті дорожньо-транспортні пригоди відбуваються в середньому один раз на три місяці. Після того, як жителі поскаржилися, були внесені зміни в світлофори на перехресті. Минуло вісім місяців з моменту внесення змін, і нещасних випадків не було. Чи були зміни ефективними чи 8-місячний інтервал без випадковості - результат випадковості?

Ілюстрація$\PageIndex{4}$: Модифікація твору Девіда Маккелві, Flickr.

Теорія ймовірностей говорить нам, що якщо середній час між подіями є$k$$X$, ймовірність того, що час між подіями знаходиться між$a$ і$b$ задається

$$(P(a≤x≤b)=\int ^b_af(x)\,dx \nonumber$$

де

$$f(x)=\begin{cases}0, \text{if}\;x<0\\ke^{−kx}, \text{if}\;x≥0\end{cases}. \nonumber$$

Таким чином, якщо нещасні випадки відбуваються зі швидкістю один раз в 3 місяці, то ймовірність того$X$, що час між аваріями$b$ знаходиться між$a$ і дається

$$P(a≤x≤b)=\int ^b_af(x)\,dx \nonumber$$

де $$f(x)=\begin{cases}0, \text{if}\;x<0\\3e^{−3x}, \text{if}\;x≥0\end{cases}. \nonumber$$

Щоб відповісти на питання, ми повинні обчислити$\displaystyle P(X≥8)=\int ^{+∞}_83e^{−3x}\,dx$ і вирішити, чи ймовірно, що 8 місяців могли б пройти без аварії, якби не було поліпшення дорожньої ситуації.

Рішення

Нам потрібно обчислити ймовірність як неправильний інтеграл:

\ (\ стиль відображення\ почати {вирівнювати*} P (X≥8) =\ int ^ {+∞} _83e^ {−3x}\, дх\\ [4pt]
=\ lim_ {t→+∞}\ int ^t_83e^ {−3x}\, dx\\ [4pt]
=\ lim_ {t→+∞} −e^ {−3x} ^t_8\\ [4pt]
=\ lim_ {t→+∞} (−e^ {−3t} +e^ {−24})\\ [4pt]
≈3,8×10^ {−11}. \ end {вирівнювати*}\)

Значення$3.8×10^{−11}$ представляє ймовірність відсутності нещасних випадків за 8 місяців при початкових умовах. Оскільки ця величина дуже і дуже мала, то розумно зробити висновок, що зміни виявилися ефективними.

Приклад$\PageIndex{4}$: Evaluating an Improper Integral over an Infinite Interval

Оцініть$\displaystyle \int ^0_{−∞}\frac{1}{x^2+4}\,dx.$ стан, чи збігається неправильний інтеграл або розходиться.

Рішення

Почніть з перезапису$\displaystyle \int ^0_{−∞}\frac{1}{x^2+4}\,dx$ як обмеження за допомогою Equation\ ref {improper2} з визначення. Таким чином,

\ [\ begin {align*}\ int ^0_ {−∞}\ розрив {1} {x^2+4}\, dx &=\ lim_ {t→−∞}\ int ^0_t\ frac {1} {x^2+4}\, dx\ quad\ text {Перезаписати як межу.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {t→∞} розрив {1} {2}\ tan^ {−1}\ frac {x} {2} ^0_t\ quad\ text {Знайти антипохідну.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {t→−∞}\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ tan^ {−1} 0−\ frac {1} {2}\ tan^ {−1}\ frac {t} {2}\ право)\ quad\ text {Оцінити антидериватив.}\\ [4pt]
&=\ frac {π} {4}. \ quad\ text {Оцінити ліміт і спростити.} \ end {вирівнювати*}\]

Неправильний інтеграл сходиться до$\dfrac{π}{4}.$

Приклад$\PageIndex{5}$: Evaluating an Improper Integral on $(−∞,+∞)$

Оцініть$\displaystyle \int ^{+∞}_{−∞}xe^x\,dx.$ стан, чи збігається неправильний інтеграл або розходиться.

Рішення

Почніть з поділу інтеграла:

$$\int ^{+∞}_{−∞}xe^x\,dx=\int ^0_{−∞}xe^x\,dx+\int ^{+∞}_0xe^x\,dx. \nonumber$$

Якщо або$\displaystyle \int ^0_{−∞}xe^x\,dx$ або$\displaystyle \int ^{+∞}_0xe^x\,dx$ розходиться, то$\displaystyle \int ^{+∞}_{−∞}xe^x\,dx$ розходиться. Обчислити кожен інтеграл окремо. Для першого інтеграла,

$\displaystyle \int ^0_{−∞}xe^x\,dx=\lim_{t→−∞}\int ^0_txe^x\,dx$Перепишіть як ліміт.

$=\lim_{t→−∞}(xe^x−e^x)∣^0_t$Використовуйте інтеграцію по частинам, щоб знайти антидериватив. (Тут$u=x$ і$dv=e^x$.)

$=\lim_{t→−∞}(−1−te^t+e^t)$Оцініть антидериватив.

$=−1.$

Оцініть ліміт. Примітка:$\displaystyle \lim_{t→−∞}te^t$ є невизначеною формою.$0⋅∞$ Таким чином,$\displaystyle \lim_{t→−∞}te^t=\lim_{t→−∞}\frac{t}{e^{−t}}=\lim_{t→−∞}\frac{−1}{e^{−t}}=\lim_{t→−∞}−e^t=0$ за правилом L'Hôpital.

Перший неправильний інтеграл сходиться. Для другого інтеграла,

$\displaystyle \int ^{+∞}_0xe^x\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_0xe^x\,dx$Перепишіть як ліміт.

$=\lim_{t→+∞}(xe^x−e^x)∣^t_0$Знайдіть антидериватив.

$=\lim_{t→+∞}(te^t−e^t+1)$Оцініть антидериватив.

$=\lim_{t→+∞}((t−1)e^t+1)$Перепишіть. ($te^t−e^t$є невизначеною.)

$=+∞.$Оцініть ліміт.

Таким чином,$\displaystyle \int ^{+∞}_0xe^x\,dx$ розходиться. Оскільки цей інтеграл$\displaystyle \int ^{+∞}_{−∞}xe^x\,dx$ розходиться, розходиться також.

Вправа$\PageIndex{1}$

Оцініть$\displaystyle \int ^{+∞}_{−3}e^{−x}\,dx.$ стан, чи збігається неправильний інтеграл або розходиться.

Підказка

$$\int ^{+∞}_{−3}e^{−x}\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_{−3}e^{−x}\,dx \nonumber$$

Відповідь

Він сходиться до$e^3.$

Інтеграція розривного інтегралу

Тепер розглянемо інтеграли функцій, що містять нескінченний розрив в інтервалі, через який відбувається інтеграція. Розглянемо інтеграл форми,$\displaystyle \int ^b_af(x)\,dx,$ де$f(x)$ є безперервним над$[a,b)$ і переривчастим в$b$. Оскільки функція$f(x)$ є безперервною$[a,t]$ для всіх значень$t$ задовольняє$a \le t<b$, інтеграл$\displaystyle \int ^t_af(x)\,dx$ визначається для всіх таких значень$t$. Таким чином, має сенс розглядати цінності$\displaystyle \int ^t_af(x)\,dx$ як$t$ підходи$b$ для$a \le t<b$. Тобто ми визначаємо, за умови$\displaystyle \int ^b_af(x)\,dx=\lim_{t→b^−}\int ^t_af(x)\,dx$, що цей ліміт існує. Малюнок$\PageIndex{5}$ ілюструє$\displaystyle \int ^t_af(x)\,dx$ як області регіонів для значень$t$ наближення$b$.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Коли t наближається до b зліва, значення площі від a до t наближається до площі від a до b.

Ми використовуємо подібний підхід для визначення$\displaystyle \int ^b_af(x)\,dx$, де$f(x)$ знаходиться безперервне над$(a,b]$ і переривчастим в$a$. Тепер приступимо до формального визначення.

Визначення: Зближення і розходяться неправильний інтеграл

1. Нехай$f(x)$ буде безперервним над$[a,b)$. Потім, $$\int ^b_af(x)\,dx=\lim_{t→b^−}\int ^t_af(x)\,dx. \label{improperundefb}$$
2. Нехай$f(x)$ буде безперервним над$(a,b]$. Потім, $$\int ^b_af(x)\,dx=\lim_{t→a^+}\int ^b_tf(x)\,dx. \label{improperundefa}$$ У кожному випадку, якщо межа існує, то неправильний інтеграл, як кажуть, сходяться. Якщо межі не існує, то неправильний інтеграл, як кажуть, розходиться.
3. Якщо$f(x)$ безперервно над$[a,b]$ хіба що в точці$c$ в$(a,b)$, то за $$\int ^b_af(x)\,dx=\int ^c_af(x)\,dx+\int ^b_cf(x)\,dx,\label{improperundefc}$$ умови обох$\displaystyle \int ^c_af(x)\,dx$ і$\displaystyle \int ^b_cf(x)\,dx$ сходяться. Якщо будь-який з цих інтегралів розходиться, то$\displaystyle \int ^b_af(x)\,dx$ розходиться.

Наступні приклади демонструють застосування даного визначення.

Приклад$\PageIndex{6}$: Integrating a Discontinuous Integrand

Оцініть$\displaystyle \int ^4_0\frac{1}{\sqrt{4−x}}\,dx,$, якщо це можливо. Створіть, чи збігається інтеграл або розходиться.

Рішення

Функція$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4−x}}$ є безперервною$[0,4)$ і переривчастою при 4. Використовуючи Equation\ ref {improperundefb} з визначення, перепишіть$\displaystyle \int ^4_0\frac{1}{\sqrt{4−x}}\,dx$ як ліміт:

\ (\ displaystyle\ begin {align*}\ int ^4_0\ frac {1} {\ sqrt {4−x}}\, dx &=\ lim_ {t→4^−}\ int ^t_0\ frac {1} {\ sqrt {4−x}}\, dx\ quad\ text {Переписати як обмеження.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {t→4^−} (−2\ sqrt {4−x}) ^t_0\ quad\ text {Знайти антипохідну.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {t→4^−} (−2\ sqrt {4−t} +4)\ quad\ text {Оцінити антидериватив.}\\ [4pt]
&=4. \ quad\ text {Оцінити ліміт.} \ end {вирівнювати*}\)

Неправильний інтеграл сходиться.

Приклад$\PageIndex{7}$: Integrating a Discontinuous Integrand

Оцініть$\displaystyle \int ^2_0x\ln x\,dx.$ стан, чи збігається інтеграл або розходиться.

Рішення

Оскільки$f(x)=x\ln x$ є безперервним$(0,2]$ і є переривчастим на нулі, ми можемо переписати інтеграл у граничній формі за допомогою Equation\ ref {improperundefa}:

\ (\ стиль відображення\ почати {align*}\ int ^2_0x\ ln x\ ln x\, dx &=\ lim_ {t→0^+}\ int ^2_tx\ ln x\ ln x\, dx\ quad\ text {Перепишіть як межу.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {t→0^+} (\ frac {1} {2} x^2\ ln x -\ frac {1} {4} x^2) ^2_t\ quad\ text {Оцінювати}\;\ int x\ ln x\, dx\;\ text {використовуючи інтеграцію частинами з}\; u=\ ln x\;\ text {і}\; dv=x. \\ [4pt]
&=\ lim_ {t→0^+} (2\ ln 2−1−\ frac {1} {2} t^2\ ln t+\ frac {1} {4} t^2). \ quad\ text {Оцінити антидериватив.}\\ [4pt]
&=2\ ln 2−1. \ quad\ text {Оцінити ліміт.} \ end {вирівнювати*}\)

Тому

$\displaystyle \lim_{t→0^+}t^2\ln t\;\text{is indeterminate.}$

Щоб оцінити його, перепишіть як частку і застосуйте правило L'Hôpital.

Неправильний інтеграл сходиться.

Приклад$\PageIndex{8}$: Integrating a Discontinuous Integrand

Оцініть$\displaystyle \int ^1_{−1}\frac{1}{x^3}\,dx.$ стан, чи збігається неправильний інтеграл або розходиться.

Рішення

Оскільки$f(x)=1/x^3$ є переривчастим на нулі, використовуючи Equation\ ref {improperundefc}, ми можемо записати

$$\int ^1_{−1}\frac{1}{x^3}\,dx=\int ^0_{−1}\frac{1}{x^3}\,dx+\int ^1_0\frac{1}{x^3}\,dx.\nonumber$$

Якщо будь-який з двох інтегралів розходиться, то вихідний інтеграл розходиться. Почніть з$\displaystyle \int ^0_{−1}\frac{1}{x^3}\,dx$:

$\displaystyle \int ^0_{−1}\frac{1}{x^3}\,dx=\lim_{t→0^−}\int ^t_{−1}\frac{1}{x^3}\,dx$Перепишіть як ліміт.

$=\lim_{t→0^−}(−\frac{1}{2x^2})∣^t_{−1}$Знайдіть антидериватив.

$=\lim_{t→0^−}(−\frac{1}{2t^2}+\frac{1}{2})$Оцініть антидериватив.

$=+∞.$Оцініть ліміт.

Тому$\displaystyle \int ^0_{−1}\frac{1}{x^3}\,dx$ розходиться. Так як$\displaystyle \int ^0_{−1}\frac{1}{x^3}\,dx$ розходиться,$\displaystyle \int ^1_{−1}\frac{1}{x^3}\,dx$ розходиться.

Вправа$\PageIndex{2}$

Оцініть$\displaystyle \int ^2_0\frac{1}{x}\,dx.$ стан, чи збігається інтеграл або розходиться.

Підказка

Запишіть$\displaystyle \int ^2_0\frac{1}{x}\,dx$ в граничній формі за допомогою Рівняння\ ref {improperundefa}.

Відповідь

$+∞$, Це розходиться.

Теорема порівняння

Не завжди легко або навіть можливо оцінити неправильний інтеграл безпосередньо; однак, порівнюючи його з іншим ретельно підібраним інтегралом, можна визначити його збіжність або розбіжність. Щоб переконатися в цьому, розглянемо дві неперервні функції$f(x)$ і$g(x)$ задовольняють$0≤f(x)≤g(x)$ для$x≥a$ (рис.$\PageIndex{6}$). У цьому випадку ми можемо розглядати інтеграли цих функцій через інтервали форми$[a,t]$ як області, тому ми маємо зв'язок

$$0≤\int ^t_af(x)\,dx≤\int ^t_ag(x)\,dx \nonumber$$

для$t≥a$.

Малюнок$\PageIndex{6}$: Якщо$0≤f(x)≤g(x)$ для$x≥a$, то для$t≥a$,$\displaystyle \int ^t_af(x)\,dx≤\int ^t_ag(x)\,dx.$

Таким чином, якщо

$$\int ^{+∞}_af(x)\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_af(x)\,dx=+∞, \nonumber$$

потім

$$\int ^{+∞}_ag(x)\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_ag(x)\,dx=+∞ \nonumber$$

а також. Тобто, якщо площа області між графіком$f(x)$ і$x$ -віссю над$[a,+∞)$ нескінченною, то площа області між графіком$g(x)$ і$x$ -віссю над теж$[a,+∞)$ нескінченна.

З іншого боку, якщо

$$\int ^{+∞}_ag(x)\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_ag(x)\,dx=L \nonumber$$

для деякого реального числа$L$, то

$$\int ^{+∞}_af(x)\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_af(x)\,dx \nonumber$$

повинні сходитися до деякого значення менше або дорівнює$L$, оскільки$\displaystyle \int ^t_af(x)\,dx$$t$ збільшується зі збільшенням і$\displaystyle \int ^t_af(x)\,dx≤L$ для всіх$t≥a.$

Якщо площа області між графіком$g(x)$ і$x$ -віссю над$[a,+∞)$ кінцевою, то площа області між графіком$f(x)$ і$x$ -віссю над також$[a,+∞)$ кінцева.

Ці висновки узагальнені в наступній теоремі.

Теорема порівняння

$g(x)$Дозволяти$f(x)$ і бути безперервним над$[a,+∞).$ Припустимо, що$0≤f(x)≤g(x)$ для$x≥a.$

1. Якщо $$\int ^{+∞}_af(x)\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_af(x)\,dx=+∞, \nonumber$$ тоді $$\int ^{+∞}_ag(x)\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_ag(x)\,dx=+∞. \nonumber$$
2. Якщо $$\int ^{+∞}_ag(x)\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_ag(x)\,dx=L, \nonumber$$ де$L$ дійсне число, то $$\int ^{+∞}_af(x)\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_af(x)\,dx=M \nonumber$$ для деякого дійсного числа$M≤L.$

Приклад$\PageIndex{9}$: Applying the Comparison Theorem

Використовуйте порівняння, щоб показати, що

$$\int ^{+∞}_1\frac{1}{xe^x}\,dx \nonumber$$

сходиться.

Рішення

Ми бачимо, що

$$0≤\frac{1}{xe^x}≤\frac{1}{e^x}=e^{−x}, \nonumber$$

так що якщо$\displaystyle \int ^{+∞}_1e^{−x}\,dx$ сходиться, то так і відбувається$\displaystyle \int ^{+∞}_1\frac{1}{xe^x}\,dx$. Щоб оцінити$\displaystyle \int ^{+∞}_1e^{−x}\,dx,$ спочатку перепишіть його як ліміт:

$\displaystyle \int ^{+∞}_1e^{−x}\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_1e^{−x}\,dx$

$=\lim_{t→+∞}(−e^{−x})∣^t_1$

$=\lim_{t→+∞}(−e^{−t}+e^{-1})$

$=e^{-1}.$

Так як$\displaystyle \int ^{+∞}_1e^{−x}\,dx$ сходиться, так і робить$\displaystyle \int ^{+∞}_1\frac{1}{xe^x}\,dx.$

Приклад$\PageIndex{10}$: Applying the Comparison Theorem

Використовуйте теорему порівняння, щоб показати, що$\displaystyle \int ^{+∞}_1\frac{1}{x^p}\,dx$ розходиться для всіх$p<1$.

Рішення

$[1,+∞).$На$p<1, 1/x≤1/(x^p)$ прикладі ми показали$\PageIndex{1}$, що$\displaystyle \int ^{+∞}_1\frac{1}{x}\,dx=+∞.$ Тому$\displaystyle \int ^{+∞}_1\frac{1}{x^p}\,dx$ розходиться для всіх$p<1$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуйте порівняння, щоб показати, що$\displaystyle \int ^{+∞}_e\frac{\ln x}{x}\,dx$ розходиться.

Підказка

$\frac{1}{x}≤\frac{\ln x}{x}$на$[e,+∞)$

Відповідь

Так як$\displaystyle \int ^{+∞}_e\frac{1}{x}\,dx=+∞,$$\displaystyle \int ^{+∞}_e\frac{\ln x}{x}\,dx$ розходиться.

Лаплас перетворює

В останніх кількох розділах ми розглянули кілька способів використання інтеграції для вирішення реальних проблем. Для цього наступного проекту ми будемо досліджувати більш досконале застосування інтеграції: інтегральні перетворення. Зокрема, ми опишемо перетворення Лапласа та деякі його властивості. Перетворення Лапласа використовується в техніці та фізиці для спрощення обчислень, необхідних для вирішення деяких завдань. Він приймає функції, виражені через час, і перетворює їх у функції, виражені через частоту. Виявляється, що в багатьох випадках обчислення, необхідні для вирішення проблем у частотній області, набагато простіші, ніж ті, які потрібні в часовій області.

Перетворення Лапласа визначається термінами інтеграла як

$$L{f(t)}=F(s)=\int ^∞_0e^{−st}f(t)dt. \nonumber$$

Зверніть увагу, що вхід для перетворення Лапласа є функцією часу,$f(t),$ а вихід - функція частоти,$F(s)$. Хоча багато реальних прикладів вимагають використання комплексних чисел (залучаючи уявне число$i=\sqrt{−1}),$ в цьому проекті, ми обмежуємося функціями дійсних чисел.

Почнемо з простого прикладу. Тут ми обчислюємо перетворення Лапласа$f(t)=t$. У нас є

$$L{t}=\int ^∞_0te^{−st}dt. \nonumber$$

Це неправильний інтеграл, тому ми виражаємо його з точки зору ліміту, який дає

$$L{t}=\int ^∞_0te^{−st}dt=\lim_{z→∞}\int ^z_0te^{−st}dt. \nonumber$$

Тепер ми використовуємо інтеграцію по частинам, щоб оцінити інтеграл. Зауважте, що ми інтегруємо щодо t, тому ми розглядаємо змінну s як константу. У нас є

$u=t$$du=dt$$dv=e^{−st}dt$$v=−\frac{1}{s}e^{−st}$.

Тоді отримуємо

$$\begin{align*} \lim_{z→∞}\int ^z_0te^{−st}dt =\lim_{z→∞}[[−\frac{t}{s}e^{−st}]∣^z_0+\frac{1}{s}\int ^z_0e^{−st}dt] \\[4pt]\ =\lim_{z→∞}[[−\frac{z}{s}e^{−sz}+\frac{0}{s}e^{−0s}]+\frac{1}{s}\int ^z_0e^{−st}dt] \\[4pt]\ =\lim_{z→∞}[[−\frac{z}{s}e^{−sz}+0]−\frac{1}{s}[\frac{e^{−st}}{s}]∣^z_0] \\[4pt]\ =\lim_{z→∞}[[−\frac{z}{s}e^{−sz}]−\frac{1}{s^2}[e^{−sz}−1]] \\[4pt]\ =\lim_{z→∞}[−\frac{z}{se^{sz}}]−\lim_{z→∞}[\frac{1}{s^2e^{sz}}]+\lim_{z→∞}\frac{1}{s^2} \\[4pt]\ =0−0+\frac{1}{s^2} \\[4pt]\ =\frac{1}{s^2}. \end{align*}$$

1. Обчисліть перетворення Лапласа$f(t)=1.$
2. Обчисліть перетворення Лапласа$f(t)=e^{−3t}.$
3. Обчисліть перетворення Лапласа$f(t)=t^2$. (Зверніть увагу, вам доведеться інтегрувати по частинам двічі.)

Перетворення Лапласа часто використовуються для розв'язання диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння не розглядаються докладно пізніше в цій книзі; але поки давайте розглянемо зв'язок між перетворенням Лапласа функції та перетворенням Лапласа її похідної.

Почнемо з визначення перетворення Лапласа. У нас є

$$L{f(t)}=\int ^∞_0e^{−st}f(t)dt=\lim_{z→∞}\int ^z_0e^{−st}f(t)dt. \nonumber$$

Використовуйте інтеграцію по частинам для оцінки$\displaystyle \lim_{z→∞}\int ^z_0e^{−st}f(t)dt$. (Нехай$u=f(t)$ і$dv=e^{−st}dt$.)

Після інтеграції частинами та оцінки ліміту ви повинні побачити, що

$$L{f(t)}=\frac{f(0)}{s}+\frac{1}{s}[L{f′(t)}]. \nonumber$$

Потім,

$$L{f′(t)}=sL{f(t)}−f(0). \nonumber$$

Таким чином, диференціація в часовій області спрощує множення на s в частотній області.

Останнє, на що ми дивимося в цьому проекті, - це те, як Лаплас перетворюється$f(t)$ та його антипохідні пов'язані між собою. Нехай$g(t)=\int ^t_0f(u)du.$ тоді,

$$L{g(t)}=\int ^∞_0e^{−st}g(t)dt=\lim_{z→∞}\int ^z_0e^{−st}g(t)dt. \nonumber$$

Використовуйте інтеграцію по частинам для оцінки$\displaystyle \lim_{z→∞}\int ^z_0e^{−st}g(t)dt.$ (Дозвольте$u=g(t)$ і$dv=e^{−st}dt$. Зверніть увагу, до речі, що ми визначили$g(t), du=f(t)dt.$)

Як і слід було очікувати, ви повинні побачити, що

$$L{g(t)}=\frac{1}{s}⋅L{f(t)}. \nonumber$$

Інтеграція в часовій області спрощує поділ$s$ на частотну область.

Ключові концепції

• Інтеграли функцій через нескінченні інтервали визначено через межі.
• Інтеграли функцій за інтервал, для якого функція має розрив у кінцевій точці, можуть бути визначені через межі.
• Збіжність або розбіжність неправильного інтеграла може бути визначена шляхом порівняння його зі значенням неправильного інтеграла, для якого відома збіжність або розбіжність.

Ключові рівняння

• неправильні інтеграли

$\displaystyle \int ^{+∞}_af(x)\,dx=\lim_{t→+∞}\int ^t_af(x)\,dx$

$\displaystyle \int ^b_{−∞}f(x)\,dx=\lim_{t→−∞}\int ^b_tf(x)\,dx$

$\displaystyle \int ^{+∞}_{−∞}f(x)\,dx=\int ^0_{−∞}f(x)\,dx+\int ^{+∞}_0f(x)\,dx$

Глосарій

неправильний інтеграл

інтеграл через нескінченний інтервал або інтеграл функції, що містить нескінченний розрив на інтервалі; неправильний інтеграл визначається через межу. Неправильний інтеграл сходиться, якщо ця межа є скінченним дійсним числом; в іншому випадку неправильний інтеграл розходиться