19.5: Рух на циклоїді, розвороти вгору

Ми уявімо або частинку, що ковзає всередину гладкої циклоїдної чаші, або кульку, що ковзає вниз гладкою циклоїдною дротом, рис. XIX.6.

Ми працюватимемо у власних координатах, щоб отримати тангенціальні та нормальні рівняння руху. Ці рівняння, відповідно:

$$\ddot{s} = -g \sin \psi \label{19.5.1}\tag{19.5.1}$$

і

$$\dfrac{mv^2}{ \rho} = R - mg \cos \psi. \label{19.5.2}\tag{19.5.2}$$

Тут R - нормальна (і єдина) реакція чаші або дроту на частинку і$\rho$ є радіусом кривизни. Радіус кривизни дорівнює$ds/d \psi$, який, з Рівняння 19.3.1, (або Рівняння 19.4.3 і 19.4.5) дорівнює

$$\rho = 4 a \cos \psi \label{19.5.3}\tag{19.5.3}$$

З Рівняння 19.3.1 і$\ref{19.5.1}$ ми бачимо, що тангенціальне рівняння руху можна записати без наближення:

$$\ddot{s} = -\dfrac{g}{4a}s. \label{19.5.4}\tag{19.5.4}$$

Це простий гармонійний рух періоду$4 \pi \sqrt{a/g}$, незалежний від амплітуди руху. У цьому полягає ізохронна властивість циклоїда. Так само, якщо частка звільниться від спокою, вона досягне дна циклоїди за час$\pi \sqrt{a/g}$ незалежно від вихідного положення.

Давайте подивимося, чи зможемо ми знайти значення R, де генерує кут$\psi$. Припустимо, що частка звільняється від спокою на висоті$y_0$ над$x$ віссю -( кут генерації =$\psi_0$); яка її швидкість,$v$ коли вона досягла висоти$y$ (генеруючого кута$\psi$)? Зрозуміло, що це дає

$$\dfrac{1}{2} mv^2 = mg(y_0 - y), \label{19.5.5}\tag{19.5.5}$$

і, слідуючи рівнянню 19.3.2, і нагадуючи$\theta = \psi$, що, це

$$v^2 = 2ga(cos2 \psi - cos2 \psi_0 ). \label{19.5.6}\tag{19.5.6}$$

Підставивши це і Рівняння$\ref{19.5.3}$ в рівняння$\ref{19.5.2}$, ми знаходимо для R:

$$R = \frac{mg}{2 \cos \psi }(1+ 2 \cos 2 \psi - \cos 2 \psi_0) \label{19.5.7}\tag{19.5.7}$$