19.3: Внутрішнє рівняння циклоїду
- Page ID
- 76370
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Елемент\(ds\) довжини дуги, з точки зору\(dx\) і\(dy\), задається теоремою Піфагора:\( ds = ((dx)^2 + (dy)^2))^{1/2} \) або, оскільки\(x\) і\(y\) задаються параметричними рівняннями 19.1.1 і 19.1.2, і звичайно ми тільки що показали, що внутрішня координата\( \psi \) (тобто кут, який дотична до циклоїди робить з горизонталлю) дорівнює\( \theta \).
Інтегрувати\(ds\) (з початковою умовою\(s\)\( \theta \) = 0, = 0), щоб показати, що внутрішнє рівняння циклоїда є
\[ s = 4 a \sin \psi \label{19.3.1}\tag{19.3.1} \]
Крім того, виключіть\( \psi \) (або\( \theta \)) з Рівняння\( \ref{19.3.1}\) і 19.1.2, щоб показати, що наступне співвідношення між довжиною дуги і висотою на циклоїді:
\[ s^2 = 4 ay. \label{19.3.2}\tag{19.3.2} \]