19.3: Внутрішнє рівняння циклоїду

Елемент$ds$ довжини дуги, з точки зору$dx$ і$dy$, задається теоремою Піфагора:$ds = ((dx)^2 + (dy)^2))^{1/2}$ або, оскільки$x$ і$y$ задаються параметричними рівняннями 19.1.1 і 19.1.2, і звичайно ми тільки що показали, що внутрішня координата$\psi$ (тобто кут, який дотична до циклоїди робить з горизонталлю) дорівнює$\theta$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Інтегрувати$ds$ (з початковою умовою$s$$\theta$ = 0, = 0), щоб показати, що внутрішнє рівняння циклоїда є

$$s = 4 a \sin \psi \label{19.3.1}\tag{19.3.1}$$

Крім того, виключіть$\psi$ (або$\theta$) з Рівняння$\ref{19.3.1}$ і 19.1.2, щоб показати, що наступне співвідношення між довжиною дуги і висотою на циклоїді:

$$s^2 = 4 ay. \label{19.3.2}\tag{19.3.2}$$