Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

19.1: Вступ до циклоїдів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76371

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Налаштуємо систему\(Oxy\) координат і горизонтальну пряму лінію\(y = 2a\). Ми уявляємо коло діаметром\(2a\) між\(x\) -віссю і лінією\(y = 2a\), і спочатку найнижча точка на колі, P, збігається з початком координат О. Тепер ми дозволяємо коченню кола проти годинникової стрілки\(y = 2a\), не ковзаючи по лінії, так що центр коло рухається вправо. Коли коло котиться по лінії, точка P описує криву, яка відома як циклоїда.

    альт

    Коли коло згорнулося через кут\(2\theta \), центр кола перемістився вправо на горизонтальну відстань\(2a \theta \), тоді як горизонтальна відстань точки Р від центру кола -\( a \sin 2 \theta \) і вертикальна відстань точки\(P\) нижче центру кола є\( a \cos 2 \theta \). Таким чином,\(P\) координати точки

    \[ x = a(2 \theta + \sin 2 \theta) \label{19.1.1} \tag{19.1.1} \]

    і

    \[ y = a (1 - \cos 2 \theta ). \label{19.1.2}\tag{19.1.2} \]

    Рівняння\(\ref{19.1.1}\) і\(\ref{19.1.2}\) є параметричними рівняннями циклоїди. Використовуючи просту тригонометричну ідентичність, рівняння також\(\ref{19.1.2}\) може бути записано

    \[ y = 2a \sin^2 \theta . \label{19.1.3}\tag{19.1.3} \]

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Коли\(x\) -координата P дорівнює 2.500\(a\), що (до чотирьох значущих цифр) є його\(y\) -координата?

    Рішення

    Ми повинні знайти\(2 \theta \) за рішенням\( 2 \theta +\sin 2 \theta \). За ітерацією Ньютона-Рафсона або іншим чином, ми знаходимо\(2 \theta \) = 0.931 599 201 радіани, а отже y = 0.9316\(a\).