19.1: Вступ до циклоїдів

Налаштуємо систему$Oxy$ координат і горизонтальну пряму лінію$y = 2a$. Ми уявляємо коло діаметром$2a$ між$x$ -віссю і лінією$y = 2a$, і спочатку найнижча точка на колі, P, збігається з початком координат О. Тепер ми дозволяємо коченню кола проти годинникової стрілки$y = 2a$, не ковзаючи по лінії, так що центр коло рухається вправо. Коли коло котиться по лінії, точка P описує криву, яка відома як циклоїда.

Коли коло згорнулося через кут$2\theta$, центр кола перемістився вправо на горизонтальну відстань$2a \theta$, тоді як горизонтальна відстань точки Р від центру кола -$a \sin 2 \theta$ і вертикальна відстань точки$P$ нижче центру кола є$a \cos 2 \theta$. Таким чином,$P$ координати точки

$$x = a(2 \theta + \sin 2 \theta) \label{19.1.1} \tag{19.1.1}$$

і

$$y = a (1 - \cos 2 \theta ). \label{19.1.2}\tag{19.1.2}$$

Рівняння$\ref{19.1.1}$ і$\ref{19.1.2}$ є параметричними рівняннями циклоїди. Використовуючи просту тригонометричну ідентичність, рівняння також$\ref{19.1.2}$ може бути записано

$$y = 2a \sin^2 \theta . \label{19.1.3}\tag{19.1.3}$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Коли$x$ -координата P дорівнює 2.500$a$, що (до чотирьох значущих цифр) є його$y$ -координата?

Рішення

Ми повинні знайти$2 \theta$ за рішенням$2 \theta +\sin 2 \theta$. За ітерацією Ньютона-Рафсона або іншим чином, ми знаходимо$2 \theta$ = 0.931 599 201 радіани, а отже y = 0.9316$a$.