19.4: Варіації

У Розділах 19.1,2,3 ми уявляли, що циклоїда генерується колом, який котився проти годинникової стрілки вздовж лінії$y = 2a$. Ми також можемо уявити варіації, такі як коло$y = 0$, що котиться за годинниковою стрілкою вздовж, або ми можемо почати з P у верхній частині кола, а не внизу. Підсумовую в цьому розділі чотири варіації. Різниця між$\psi$ і$\theta$ полягає в наступному. Кут, який дотична до циклоїди робить з позитивно$x$ спрямованою віссю є$\psi$; тобто.$dx/dy = tan \psi$ Коло котиться через кут$2 \theta$. Існує просте співвідношення між$\psi$ і$\theta$, яке різне для кожного випадку.

На кожному малюнку$x$ і$y$ нанесені в одиницях$a$. Висота по вертикалі між вершинами і купами дорівнює$2a$ горизонтальній відстані між вершиною і наступною вершиною$\pi a$, а довжина дуги між вершиною і наступною вершиною дорівнює$4a$.

Коло котиться проти годинникової стрілки вздовж$y = 2a$. П починається знизу. Постулки вгору. Вершина знаходиться біля початку.

$$\begin{align*} x &= a(2 \theta + \sin 2 \theta ) \\[4pt] y &= 2 a \sin^2 \theta \label{19.4.2}\tag{19.4.2} \\[4pt] s &= 4a \sin \theta \label{19.4.3}\tag{19.4.3} \\[4pt] ^2 &= 8 ay \label{19.4.4}\tag{19.4.4} \\[4pt] \psi &= \theta . \label{19.4.5}\tag{19.4.5} \end{align*}$$

II. Коло котиться за годинниковою$y = 0$ стрілкою П починається знизу. Постулки вниз. Поворот знаходиться на початку.

$$x = a(2\theta - sin 2\theta ) \label{19.4.6}\tag{19.4.6}$$

$$y = 2a sin^2 \theta \label{19.4.7}\tag{19.4.7}$$

$$s = 4a(1-cos \theta) \label{19.4.8}\tag{19.4.8}$$

$$s^2 = 8a(y-s) \label{19.4.9}\tag{19.4.9}$$

$$\psi = 90 \circ - \theta. \label{19.4.10}\tag{19.4.10}$$

III. Коло котиться за годинниковою$y = 0$ стрілкою P починається вгорі. Постулки вниз. Вершина знаходиться в$x = 0$.

$$x = a( 2 \theta + \sin 2 \theta \label{19.4.11}\tag{19.4.11}$$

$$y = 2 a \cos^2 \theta \label{19.4.12}\tag{19.4.12}$$

$$s = 4 a \sin \theta \label{19.4.13}\tag{19.4.13}$$

$$s^2 = 8a(2a-y) \label{19.4.14}\tag{19.4.14}$$

$$\psi = 180 \circ - \theta . \label{19.4.15}\tag{19.4.15}$$

IV. Коло котиться проти годинникової стрілки уздовж$y = 2a$ P починається вгорі. Постулки вгору. А чаша - це$x = 0$.

$$x = a (2 \theta - \sin 2 \theta) \label{19.4.16}\tag{19.4.16}$$

$$y = 2a \cos^2 \theta \label{19.4.17}\tag{19.4.17}$$

$$s = 4a (1-\cos \theta) \label{19.4.18}\tag{19.4.18}$$

$$s^2 - 8as + 8a(2a - y) = 0 \label{19.4.19}\tag{19.4.19}$$

$$\psi = 90 \circ + \theta \label{19.4.20}\tag{19.4.20}$$