Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

19.4: Варіації

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76395

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У Розділах 19.1,2,3 ми уявляли, що циклоїда генерується колом, який котився проти годинникової стрілки вздовж лінії\(y = 2a\). Ми також можемо уявити варіації, такі як коло\(y = 0\), що котиться за годинниковою стрілкою вздовж, або ми можемо почати з P у верхній частині кола, а не внизу. Підсумовую в цьому розділі чотири варіації. Різниця між\( \psi \) і\( \theta \) полягає в наступному. Кут, який дотична до циклоїди робить з позитивно\(x\) спрямованою віссю є\( \psi \); тобто.\( dx/dy = tan \psi \) Коло котиться через кут\(2 \theta \). Існує просте співвідношення між\( \psi \) і\( \theta \), яке різне для кожного випадку.

    На кожному малюнку\(x\) і\(y\) нанесені в одиницях\(a\). Висота по вертикалі між вершинами і купами дорівнює\(2a\) горизонтальній відстані між вершиною і наступною вершиною\( \pi a\), а довжина дуги між вершиною і наступною вершиною дорівнює\(4a\).

    Коло котиться проти годинникової стрілки вздовж\(y = 2a\). П починається знизу. Постулки вгору. Вершина знаходиться біля початку.

    \[\begin{align*} x &= a(2 \theta + \sin 2 \theta ) \\[4pt] y &= 2 a \sin^2 \theta \label{19.4.2}\tag{19.4.2} \\[4pt] s &= 4a \sin \theta \label{19.4.3}\tag{19.4.3} \\[4pt] ^2 &= 8 ay \label{19.4.4}\tag{19.4.4} \\[4pt] \psi &= \theta . \label{19.4.5}\tag{19.4.5} \end{align*} \]

    альт

    II. Коло котиться за годинниковою\(y = 0\) стрілкою П починається знизу. Постулки вниз. Поворот знаходиться на початку.

    \[ x = a(2\theta - sin 2\theta ) \label{19.4.6}\tag{19.4.6} \]

    \[ y = 2a sin^2 \theta \label{19.4.7}\tag{19.4.7} \]

    \[ s = 4a(1-cos \theta) \label{19.4.8}\tag{19.4.8} \]

    \[ s^2 = 8a(y-s) \label{19.4.9}\tag{19.4.9} \]

    \[ \psi = 90 \circ - \theta. \label{19.4.10}\tag{19.4.10} \]

    альт

    III. Коло котиться за годинниковою\(y = 0\) стрілкою P починається вгорі. Постулки вниз. Вершина знаходиться в\(x = 0\).

    \[ x = a( 2 \theta + \sin 2 \theta \label{19.4.11}\tag{19.4.11} \]

    \[ y = 2 a \cos^2 \theta \label{19.4.12}\tag{19.4.12} \]

    \[ s = 4 a \sin \theta \label{19.4.13}\tag{19.4.13} \]

    \[ s^2 = 8a(2a-y) \label{19.4.14}\tag{19.4.14} \]

    \[ \psi = 180 \circ - \theta . \label{19.4.15}\tag{19.4.15} \]

    альт

    IV. Коло котиться проти годинникової стрілки уздовж\(y = 2a\) P починається вгорі. Постулки вгору. А чаша - це\(x = 0\).

    \[ x = a (2 \theta - \sin 2 \theta) \label{19.4.16}\tag{19.4.16} \]

    \[ y = 2a \cos^2 \theta \label{19.4.17}\tag{19.4.17} \]

    \[ s = 4a (1-\cos \theta) \label{19.4.18}\tag{19.4.18} \]

    \[ s^2 - 8as + 8a(2a - y) = 0 \label{19.4.19}\tag{19.4.19} \]

    \[ \psi = 90 \circ + \theta \label{19.4.20}\tag{19.4.20} \]

    альт