19.6: Рух на циклоїді, згортання вниз

Ми уявляємо частинку, що ковзає по зовнішній стороні перевернутої гладкої циклоїдної чаші, або кульку, що ковзає вниз гладким циклоїдним дротом. Припустимо, що в той час$t = 0$ частка знаходилася у верхній частині циклоїди і проектувалася вперед з горизонтальною швидкістю$v_0$. Див. Малюнок XIX.7.

Цього разу рівняння руху

$$\ddot{s} =g sin \psi \label{19.6.1}$$

і

$$\dfrac{mv^2}{ \rho} = mg \cos \phi - R. \label{19.6.2}$$

Аргументами, подібними до тих, що наведені в розділі 19.5, ми виявляємо, що

$$\ddot{s} = \dfrac{gs}{4a} \label{19.6.3}$$

Загальним рішенням цього є

$$s = Ae^{pt} + Be^{-pt}, \label{19.6.4}$$

де

$$p = \sqrt{g/(2a)}. \label{19.6.5}$$

З заданою початковою умовою (at$t = 0, s = 0, \dot{s} = v_0$), ми можемо знайти A і B і, отже,:

$$s = v_{0} \sqrt{\dfrac{a}{g}} (e^{pt} - e^{-pt})\label{19.6.6}$$

Знову продовжуючи, як у розділі 19.5, знаходимо для$R$:

$$R = \dfrac{m}{4 \cos \psi} (4ga \cos 2 \psi - v^2_0) . \label{19.6.7}$$

Отже — що відбувається?

Якщо обмеження двостороннє (кулька ковзає по дроті) R стає нулем, коли$\cos 2 \pi = v^2_0 / (2 /ga),$ і після цього R знаходиться в протилежному напрямку.

Якщо обмеження одностороннє (частка ковзає по зовнішній стороні гладкої циклоїдної чаші):

1. Якщо$v^2_0\ > 4ga$, частка втрачає контакт в момент проекції.
2. Якщо$v^2_0\ < 4ga$ частка втрачає контакт$\cos 2 \pi = v^2_0 /(2ga)$, як тільки, дуже мала (тобто дуже значно менше, ніж$\sqrt(2ga)$), це станеться тоді, коли$\psi = 45 \circ$; для більш швидких початкових швидкостей контакт втрачається швидше.

Приклад$\PageIndex{1}$

Частка проектується горизонтально зі швидкістю v ₀ = 1 m s ⁻¹ від вершини гладкого циклоїдного пагорба

$x = a(2\theta + \sin 2 \theta$

$y = 2a \cos ^2 \theta ,$

де$a = 2$ м. припускаючи, що g = 9.8 m s ⁻², скільки часу потрібно, щоб спуститися на півдорозі з пагорба (тобто до$y = a$)?

Рішення

Ми повинні використовувати рівняння\ ref {19.6.6}. При наведених числових даних це

$s = 0.451754(e^{1.565248t} - e^{-1.565248t}).$

Ми можемо знайти$s$ з Рівняння 19.4.12, яке дає нам$s$ = 2.828427 м Якщо ми дозволимо нам тепер вирішити 6.26099 =$\xi - 1 / \xi$, або$\xi^2 - 6.26099 \xi -1 = 0$. Від цього$\xi$ = 6,41683 і, отже,$t$ = 1,19 с.

Я залишаю читачеві обчислити R в цей час - і справді, щоб побачити, чи втрачає частка контакт з пагорбом до цього. Можливо, той факт, що я отримав позитивний справжній корінь,$\xi$ означає, що у нас все гаразд, і частка все ще контактує - але я б не був у цьому впевнений. Я залишаю це читачеві для подальшого дослідження.