19.9: Циклоїдний маятник

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 19.8: Скорочені та розширені циклоїди
- 19.10: Приклади циклоїдного руху у фізиці

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Уявімо собі будівництво дерев'яної конструкції у формі циклоїди

альт

$\begin{align} x &= a(2 \theta - \sin 2 \theta ) \label{19.9.1} \\[4pt] y &= 2a \cos ^2 \theta \label{19.9.2} \end{align}$

показаний товстою лінією на малюнку XIX.10. Тепер підвісьте маятник довжиною $4a$ від чашок, і дайте йому розгойдуватися туди-сюди, частково обертаючись об дерев'яну раму так, як це робить. Якщо довжина дуги від зрізу до Р дорівнює $s$ , то довжина «вільної» струни дорівнює $4a − s$ , і тому координати боба на кінці маятника дорівнюють

$\begin{align} x &= a(2 \theta - \sin 2 \theta) + (4 a - s) \cos (180 ^\circ - \psi) \nonumber \\ &= a (2 \theta - \sin 2 \theta) + (4a - s) \sin \theta. \nonumber \end{align} \label{19.9.3}$

$\begin{align} y &= 2 a \cos^2 \theta - (4a - s) \sin (180 ^\circ - \psi) \nonumber \\&= 2 a \cos^2 \theta - (4a - s) \cos \theta \nonumber \end{align} \label{19.9.4}$

(Вам потрібно буде нагадати собі точне значення, $\psi$ а також використовувати Рівняння 19.4.20.) Тепер рівняння 19.4.18 говорить нам про те, що, і на заміну цього в рівняннях $\ref{19.9.3}$ і $\ref{19.9.4}$ , ми знаходимо (після дуже невеликої алгебри і тригонометрії) для параметричних рівнянь до шляху, описаного боб маятника:

$x = a(2 \theta + \sin 2 \theta \label{19.9.5}$

$y = -2 a \cos ^2 \theta. \label{19.9.6}$

Таким чином, шлях маятникового боб (показаний у вигляді пунктирної лінії на малюнку XIX.10) є циклоїдою, а значить, його період не залежить від його амплітуди. (Нагадаємо, розділ 19.5.) При цьому маятник ізохронний або тавтохронний. Дивно дізнатися, що Гюйгенс побудував саме такий маятник ще в 1673 році.

Малюнок $\PageIndex{1}$ : П'ять ізохронних циклоїдних пендул з різною амплітудою. Всі вони ізохронні, тобто вони мають однакову частоту незалежно від їх амплітуди. Зверніть увагу на дві верхні циклоїдні дуги, які роблять боби описують циклоїдні траєкторії. (CC BY-SA 4.0; РЕМ088рой).