Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6: Ідеальний маятник

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75314

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    clipboard_e365fa536f83ea33f72239d89613d2ebe.png

    Приблизно за часів Ньютона кращими хронометрамі були маятникові годинники-але час коливання простого маятника залежить від його амплітуди, хоча, звичайно, корекція невелика для невеликої амплітуди. Маятник займає більше часу для більшої амплітуди. Це можна виправити, маючи струну, обмежену між огороджувальними поверхнями, щоб крутити шлях маятника для більших амплітуд і тим самим прискорити його.

    Виявляється (і було доведено геометрично Ньютоном), що ідеальна маятникова доріжка - циклоїда. Думаючи з точки зору еквівалентної намистини на дроті задачі, з симетричною циклоїдою, що замінює дугу окружності звичайного маятника, якщо кульку відпустити з спокою в будь-якій точці дроту, він досягне центру в той же час, як і з будь-якої іншої точки. Так що годинник з обмеженим на такій траєкторії маятником будуть дуже добре тримати час, і не будуть чутливі до амплітуди розгойдування.

    Доказ включає подібні інтеграли та хитрощі, що використовуються вище:

    \[T\left(y_{0}\right)=\int \frac{d s}{\sqrt{2 g\left(y-y_{0}\right)}}=\int \frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2 g\left(y-y_{0}\right)}} d x\]

    і з параметризацією вище інтеграл стає\(y^{\prime}=\sin \theta /(1-\cos \theta)\)

    \[\sqrt{\frac{a}{g}} \int_{\theta_{0}}^{\pi} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta_{0}-\cos \theta}} d \theta\]

    Як і раніше, тепер ми можемо писати тощо\(1-\cos \theta=2 \sin ^{2}(\theta / 2)\), щоб виявити,\(T\left(y_{0}\right)\) що насправді не залежить від\(y_{0}\)

    Це залишається як вправа для читача. (Підказка: можливо\(\int_{a}^{b} d x / \sqrt{(x-a)(b-x)}=\pi\), вам буде корисно. Чи можете ви довести, що цей інтеграл є правильним? Чому це не залежить від a, b?)

    Вправа: Як ви добре знаєте, простий гармонічний генератор, маса на лінійній пружині з відновлювальною силою\(-k x\), має період, незалежний від амплітуди. Чи означає це, що частинка, що ковзає на циклоїді, еквівалентна простому гармонічному осцилятору? Дізнайтеся, висловивши рух як рівняння,\(F=m a\) де змінна відстані від початку вимірюється вздовж кривої.