2.7: Обчислення варіацій з багатьма змінними

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75334

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми знайшли рівняння, що визначають криву,\(y(x)\) вздовж якої інтеграл

\[J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} f\left(y, y^{\prime}\right) d x\]

має стаціонарне значення, і ми бачили, як це працює в деяких двовимірних прикладах кривої.

Але більшість динамічних систем параметризуються більш ніж однією змінною, тому нам потрібно знати, як перейти від кривої\((x,y)\) до однієї в просторі\(\left(x, y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}\right)\), і нам потрібно мінімізувати (скажімо)

\[J\left[y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}\right]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} f\left(y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}, y_{1}^{\prime}, y_{2}^{\prime}, \ldots y_{n}^{\prime}\right) d x\]

Насправді узагальнення прямолінійне: відхилення шляху просто стає вектором,

\[\delta \vec{y}(x)=\left(\delta y_{1}(x), \delta y_{2}(x), \ldots, \delta y_{n}(x)\right)\]

Тоді при будь-яких нескінченно малих варіаціях\[\delta \mathbf{y}(x) \text { (writing also } \left.\mathbf{y}=\left(y_{1}, \ldots y_{n}\right)\right)\]

\[\delta J[\vec{y}]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \sum_{i=1}^{n}\left[\frac{\partial f\left(\vec{y}, \vec{y}^{\prime}\right)}{\partial y_{i}} \delta y_{i}(x)+\frac{\partial f\left(\vec{y}, \vec{y}^{\prime}\right)}{\partial y_{i}^{\prime}} \delta y_{i}^{\prime}(x)\right] d x=0\]

Так само, як і раніше, ми беремо варіацію нуль в кінцевих точках і інтегруємо частинами, щоб отримати тепер n окремих рівнянь для стаціонарного шляху:

\[\frac{\partial f\left(\vec{y}, \vec{y}^{\prime}\right)}{\partial y_{i}}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(\vec{y}, \vec{y}^{\prime}\right)}{\partial y_{i}^{\prime}}\right)=0, \quad i=1, \ldots, n\]