2.5: Найшвидша крива для заданої горизонтальної відстані

Припустимо, ми хочемо знайти криву, на якій кулька ковзає вниз, щоб мінімізувати час від початку до певного заданого горизонтального зміщення X, але нам все одно, що вертикальне падіння це тягне за собою.

Нагадаємо, як ми вивели рівняння для кривої:

Як мінімум, при будь-яких нескінченно малих варіаціях$\delta y(x)$.

$$\delta J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y} \delta y(x)+\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}(x)\right] d x=0$$

$\delta y^{\prime}=\delta(d y / d x)=(d / d x) \delta y$Написання та інтеграція другого терміну частинами,

$$\delta J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right)\right] \delta y(x) d x+\left[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}} \delta y(x)\right]_{0}^{X}=0$$

У попередньому лікуванні обидві кінцеві точки були зафіксовані,$\delta y(0)=\delta y(X)=0$ тому ми відкинули цей останній термін.

Однак зараз ми намагаємося знайти найшвидший час для заданої горизонтальної відстані, тому кінцева відстань по вертикалі є регульованим параметром:$\delta y(X) \neq 0$

Як і раніше, оскільки$\delta J[y]=0$ або довільний,$\delta y, \text { we can still choose a } \delta y(x)$ який є лише ненульовим поруч з якоюсь точкою, а не в кінці, тому ми все одно повинні мати

$$\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right)=0$$

Однак ми також повинні мати$\frac{\partial f\left(y(X), y^{\prime}(X)\right)}{\partial y^{\prime}} \delta y(X)=0$, у першому порядку для довільного нескінченно малого$\delta y(X)$, (уявіть варіацію$\delta y$ лише ненульова поблизу кінцевої точки), це може бути вірно лише тоді, коли$\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}=0 \text { at } x=X$

Для брахістохрону,

$$f=\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{2 g y}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}=\frac{y^{\prime}}{\sqrt{2 g y\left(1+y^{\prime 2}\right)}}$$

Отже$\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}=0 \text { at } x=X \text { means that } f^{\prime}=0$, крива горизонтальна в кінці$x=X$

Отже, крива, яка забезпечує кульку на задану горизонтальну відстань, найшвидша - це напівциклоїдна (перевернута) плоска в кінці. Легко побачити, що це фіксує криву однозначно: подумайте про криву, яку генерує колесо, що кочується, одна половина обороту колеса займає верхню точку внизу на відстані$X$

Вправа: наскільки низько воно йде?