2.4: Важливий перший інтеграл рівняння Ейлера-Лагранжа
- Page ID
- 75323
Виходить, що, оскільки функція\ (f\) не містить x явно, існує простий перший інтеграл цього рівняння. Множення по всьому\(y^{\prime}=d y / d x\)
\[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y} \frac{d y}{d x}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right) y^{\prime}=0\]
Оскільки\(f\) не залежить явно від\(x\), у нас є
\[\frac{d f}{d x}=\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d x}+\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \frac{d y^{\prime}}{d x}\]
і використання цього для заміни\(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y} \frac{d y}{d x}\) в попередньому рівнянні дає
\[\frac{d f}{d x}-\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \frac{d y^{\prime}}{d x}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right) y^{\prime}=0\]
потім множимо на − (щоб відповідати рівнянню, як зазвичай пишеться), ми маємо
\[\frac{d}{d x}\left(y^{\prime} \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}-f\right)=0\]
даючи перший інтеграл
\[y^{\prime} \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}-f=\mathrm{constant.}\]
Для мильної плівки між двома кільцями проблема,
\[f\left(y, y^{\prime}\right)=y \sqrt{1+y^{\prime 2}}\]
тому рівняння Ейлера-Лагранжа
\[\sqrt{1+y^{\prime 2}}-\frac{d}{d x} \frac{y y^{\prime}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=0\]
і має перший інтеграл
\[y^{\prime} \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}-f=\frac{y y^{\prime 2}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}-y \sqrt{1+y^{\prime 2}}=-\frac{y}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\mathrm{constant.}\]
Ми напишемо
\[\frac{y}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=a\]
з константою інтеграції, яка буде залежати від кінцевих точок.
Це диференціальне рівняння першого порядку, і його можна вирішити.
Перестановка,
\[\frac{d y}{d x}=\sqrt{\left(\frac{y}{a}\right)^{2}-1}\]
або
\[d x=\frac{a d y}{\sqrt{y^{2}-a^{2}}}\]
Стандартна заміна тут -\(y=a \cosh \xi\) з якої
\[y=a \cosh \left(\frac{x-b}{a}\right)\]
\(b\)Ось друга константа інтеграції, визначають фіксовані кінцеві точки\(a,b\).