Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4: Важливий перший інтеграл рівняння Ейлера-Лагранжа

  • Page ID
    75323
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Виходить, що, оскільки функція\ (f\) не містить x явно, існує простий перший інтеграл цього рівняння. Множення по всьому\(y^{\prime}=d y / d x\)

    \[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y} \frac{d y}{d x}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right) y^{\prime}=0\]

    Оскільки\(f\) не залежить явно від\(x\), у нас є

    \[\frac{d f}{d x}=\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d x}+\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \frac{d y^{\prime}}{d x}\]

    і використання цього для заміни\(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y} \frac{d y}{d x}\) в попередньому рівнянні дає

    \[\frac{d f}{d x}-\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \frac{d y^{\prime}}{d x}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right) y^{\prime}=0\]

    потім множимо на − (щоб відповідати рівнянню, як зазвичай пишеться), ми маємо

    \[\frac{d}{d x}\left(y^{\prime} \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}-f\right)=0\]

    даючи перший інтеграл

    \[y^{\prime} \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}-f=\mathrm{constant.}\]

    Для мильної плівки між двома кільцями проблема,

    \[f\left(y, y^{\prime}\right)=y \sqrt{1+y^{\prime 2}}\]

    тому рівняння Ейлера-Лагранжа

    \[\sqrt{1+y^{\prime 2}}-\frac{d}{d x} \frac{y y^{\prime}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=0\]

    і має перший інтеграл

    \[y^{\prime} \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}-f=\frac{y y^{\prime 2}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}-y \sqrt{1+y^{\prime 2}}=-\frac{y}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\mathrm{constant.}\]

    Ми напишемо

    \[\frac{y}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=a\]

    з константою інтеграції, яка буде залежати від кінцевих точок.

    Це диференціальне рівняння першого порядку, і його можна вирішити.

    Перестановка,

    \[\frac{d y}{d x}=\sqrt{\left(\frac{y}{a}\right)^{2}-1}\]

    або

    \[d x=\frac{a d y}{\sqrt{y^{2}-a^{2}}}\]

    Стандартна заміна тут -\(y=a \cosh \xi\) з якої

    \[y=a \cosh \left(\frac{x-b}{a}\right)\]

    \(b\)Ось друга константа інтеграції, визначають фіксовані кінцеві точки\(a,b\).