Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2: Мильна плівка між двома горизонтальними кільцями - рівняння Ейлера-Лагранжа

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75324

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    clipboard_eace74d36aa47b93286bd561c2b3f461d.png

    Ця проблема дуже схожа на контактну: поверхневий натяг витягне мильну плівку на мінімально можливу загальну площу, сумісну з фіксованими межами (і нехтуючи гравітацією, що є невеликим ефектом).

    (Цікаво, що ця проблема також тісно пов'язана з теорією струн: коли закритий рядок поширюється, його шлях простежується як «світовий аркуш», а динаміка рядка визначається тим листом, що має мінімальну площу.)

    clipboard_e49dd79deaf8647196d821502a7708f53.png

    Взявши вісь обертальної симетрії за осі х\(y(x)\), а радіус, нам потрібно знайти функцію,\(y(x)\) яка мінімізує загальну площу (\(ds\)вимірюється по кривій поверхні). Подумайте про мильну плівку як про послідовність кілець або комірів\(y\), радіусу, а отже, і площі Загальна площа задається інтеграцією, додаючи всі ці додаткові коміри,\(2 \pi y d s .\)

    \ [J [y (x)] =2\ пі\ int_ {x_ {1}}} ^ {x_ {2}} y d s = 2\ пі\ int_ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} y\ sqrt {1+y^ {\ прайм 2}} д х]\

    з урахуванням заданих значень\(y\) на двох кінцях. (Можливо, ви думаєте в цей момент: хіба це не ідентично рівнянню контактної мережі? Відповідь - так, але у ланцюга є додаткова вимога: вона має фіксовану довжину. Мильна плівка не обмежена таким чином, вона може розтягуватися або стискатися, щоб мінімізувати загальну площу, так що це інша проблема!)

    Тобто ми хочемо\(\delta J=0\) в першу чергу замовити, якщо ми внесемо зміни\(y(x) \rightarrow y(x)+\delta y(x)\). Звичайно, це також означає\(y^{\prime}(x) \rightarrow y^{\prime}(x)+\delta y^{\prime}(x) \text { where } \delta y^{\prime}=\delta(d y / d x)=(d / d x) \delta y\)