8.E: Джерела загальної теорії відносності (вправа)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77779

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Переконайтеся, як стверджується в розділі 8.1, що електромагнітний тиск всередині атомного ядра середньої ваги становить близько 10 ³³ Па.
Чи знімається сингулярність Великого вибуху координатним перетворенням t →$\frac{1}{t}$?
Перевірте твердження, викладене в розділі 8.2, що a є лінійною функцією часу у випадку Всесвіту Мілна, і що k = −1.
Приклади 16 і 18 обговорювалися канати з космологічними довжинами. Перегляньте ці приклади у випадку Всесвіту Мілна.
(а) Показати, що рівняння Фрідмана симетричні під час зміни часу. (b) Спонтанне порушення цієї симетрії в постійно розширюваних рішеннях обговорювалося в розділі 8.2. Використовуйте визначення колектора, щоб показати, що ця симетрія не може бути відновлена шляхом склеювання розширюється рішення і стискається один «спина до спини», щоб створити єдине рішення на одному, з'єднаному колекторі.
Польовими рівняннями Ейнштейна є $$G_ {ab} = 8\ pi T_ {ab} +\ Lambda g_ {ab}, $$і коли можна прийняти систему відліку, в якій локальна масова енергія знаходиться в стані спокою в середньому, ми можемо інтерпретувати тензор напруження-енергії як $$T^ {\ mu} _ {\ nu} = diag (-\ rho, P, P, P), $ $ де$\rho$ маса-енергія щільність і Р - тиск. Виправте деяку точку як початок локальної Лоренціанської системи координат. Проаналізуйте властивості цих зв'язків у відображенні, наприклад x → −x або t → −t.
(а) Показати, що позитивна космологічна константа порушує сильний енергетичний стан у вакуумі. Застосовуючи визначення сильної енергетичної умови, розглядайте космологічну константу як форму матерії, тобто «згорнути» космологічний сталий термін до терміна напруження-енергія в польових рівняннях. (б) Прокоментуйте, як це впливає на результати наступної роботи: Хокінг та Елліс, «Космічне випромінювання чорного тіла та існування сингулярностей у нашому Всесвіті», Астрофізичний журнал, 152 (1968) 25, articles.adsabs.harvard.edu/f... pJ... 152... 25H.
У задачі 7 глави 5 ми проаналізували властивості метрики $$ds^ {2} = e^ {2gz} dt^ {2} - dz^ {2}\ ldotp$$
1. У цій задачі ми виявили, що ця метрика має однакові властивості у всіх точках простору. Переконайтеся, зокрема, що він має однакову скалярну кривизну R у всіх точках простору.
2. Показати, що це розв'язання вакууму в двовимірному (t, z) просторі.
3. Припустимо, ми спробуємо узагальнити цю метрику до чотирьох вимірів як $$ds^ {2} = e^ {2gz} dt^ {2} - dx^ {2} - dy^ {2} - dz^ {2}\ lDotP$$Показати, що для цього потрібен тензор Ейнштейна з нефізичними властивостями.
Розглянемо наступну пропозицію щодо подолання заборони відносності на швидкості, більші за c. Припустимо, ми складемо ланцюг довжиною мільярди світлових років і прикріпимо один кінець ланцюга до певної галактики. На іншому його кінці ланцюг вільна, і вона проноситься повз місцевих галактик з дуже високою швидкістю. Ця швидкість пропорційна довжині ланцюга, тому зробивши ланцюг досить довгою, ми можемо змусити швидкість перевищувати c
Розвінчати цю пропозицію в особливому випадку Всесвіту Мілна.
Зробіть суворе визначення об'єму V спостережуваного Всесвіту. Припустимо, хтось запитує, чи залежить V від стану руху спостерігача. Чи має це питання чітко визначену відповідь? Якщо так, то що це таке? Чи можемо ми обчислити залежність від спостерігача V, застосовуючи стиснення Лоренца?
Для ідеальної рідини ми маємо P = w$\rho$, де w - константа. Випадки w = 0 і w =$\frac{1}{3}$ відповідають, відповідно, пилу і випромінювання. Показати, що для плоского всесвіту з$\Lambda$ = 0 домінує один компонент, який є ідеальною рідиною, рішення рівнянь Фрідмана має вигляд a$\propto$ t ^$\delta$, і визначити показник$\delta$. Перевірте свій результат у корпусі пилу проти того, який у розділі 8.2, а потім знайдіть показник у випадку випромінювання. Хоча випадок w = −1 відповідає космологічній константі, показати, що розв'язок не має такої форми для w = −1.
Застосуйте результат задачі 11 для узагальнення результату прикладу 22 для розміру спостережуваного Всесвіту. Який результат у випадку всесвіту, де панує радіація?
Метрика Кантовського-Сакса дорівнює $$ds^ {2} = dt^ {2} -\ Лямбда^ {-1} (d\ theta^ {2} +\ sin^ {2}\ theta d\ phi^ {2}) - e^ {2\ sqrt {\ Lambda} t} dz^ {2}\ lDotP$$ описує всесвіт з просторовою топологією 3-циліндровий. Використовуйте систему комп'ютерної алгебри, таку як Maxima, щоб перевірити наступні факти.
1. Будь-яка світова лінія форми (t$\theta, \phi$, z) = ($\lambda$, константи) є геодезичною параметризованою відповідним часом. (Якщо ви використовуєте Maxima, ви виявите, що функція cgeodesic () економить час тут.)
2. Якщо дві такі геодезики розділені тільки в напрямку z, відстань між ними по поверхні нерухомого t збільшується експоненціально з t, тоді як геодезики відокремлюються тільки в$\theta$ і$\phi$ не відступають одна від одної.
3. Тут немає полів матерії, тільки космологічна константа$\Lambda$.
4. Скаляр Річчі R = −4$\Lambda$ (+ − −− підпис) дорівнює$\frac{1}{3}$ значенню космології де Сіттера, де Сіттер, де Сіттер, де домінують у вакуумі (сек. 8.2), коефіцієнт 3 відбувається через те, що існує розширення лише вздовж однієї осі, а не три.
5. Космологія, що домінує у вакуумі, знайдена де Сіттером і представлена в тексті, повинна була бути унікальним космологічним рішенням цього типу. Чому метрика Кантовського-Сакса не є зустрічним прикладом?