8.5: Космологічні рішення (частина 3)

Рішення, яке переважає у вакуумі

Протягом 70 років після відкриття Хабблом космологічної експансії стандартна картина була такою, в якій Всесвіт розширювався, але розширення повинно сповільнюватися. Уповільнення передбачається особливими випадками космології FRW, які вважалися застосовними, і навіть якщо ми нічого не знали про загальну відносність, було б розумно очікувати уповільнення через взаємне ньютонівське гравітаційне тяжіння всієї маси у Всесвіті.

Але спостереження далеких наднових, починаючи приблизно з 1998 року, внесли в сюжет ще один поворот. У двійковій зоряній системі, що складається з білого карлика і невиродженої зірки, оскільки невироджена зірка еволюціонує в червоного гіганта, її розмір збільшується, і вона може почати скидати масу на білого карлика. Це може призвести до того, що білий карлик перевищить межу Чандрасекхара (розділ 4.4), що призведе до вибуху, відомого як наднова типу Ia. Оскільки межа Чандрасекхара забезпечує рівномірний набір початкових умов, поведінка наднових типу Ia досить передбачувано, і, зокрема, їх світності приблизно рівні. Тому вони забезпечують своєрідну стандартну свічку: оскільки відома внутрішня яскравість, відстань можна зробити висновок з видимої яскравості. З огляду на відстань, ми можемо зробити висновок про час, який був проведений в дорозі світлом на шляху до нас, тобто час огляду. З вимірювань доплерівських зрушень спектральних ліній ми також можемо знайти швидкість, з якою наднова відступала від нас. Результатом є те, що ми можемо виміряти швидкість розширення Всесвіту як функцію часу. Спостереження показують, що ця швидкість розширення прискорюється. Рівняння Фрідмана показують, що це може відбуватися лише для\(\Lambda \gtrsim 4 \rho\). Ця картина була незалежно перевірена вимірюваннями випромінювання космічного мікрохвильового фону (CMB). Більш детальне обговорення даних про наднові і СМБ наведено в розділі 8.2.

Озираючись назад, ми бачимо, що в квантово-механічному контексті природно очікувати, що коливання вакууму, вимагаються принципом невизначеності Гейзенберга, сприятимуть космологічній константі, і насправді моделі, як правило,\(\Lambda\) перепрогнозують в рази близько 10 ¹²⁰! З цієї точки зору таємниця полягає в тому, чому ці ефекти скасовуються так точно. Правильне розуміння космологічної константи імовірно вимагає повної теорії квантової гравітації, яка в даний час далека від нашої досяжності.

Останні дані показують, що у нашому Всесвіті в сучасну епоху переважає космологічна константа, тому як наближення ми можемо записати рівняння Фрідмана як

\[\begin{split} \frac{\ddot{a}}{a} &= \frac{1}{3} \Lambda \\ \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} &= \frac{1}{3} \Lambda \ldotp \end{split}\]

Це називається всесвітом, що домінує у вакуумі, або простором де Ситтер. Рішення є

\[a = e^{\sqrt{\frac{\Lambda}{3}} t}, \tag{8.2.5} \]

де спостереження показують\(\Lambda\), що 10 ⁻²⁶ кг/м ³,\(\sqrt{\frac{3}{\Lambda}}\) даючи 10 ¹¹ років.

Наслідки для долі Всесвіту пригнічують. Всі частини Всесвіту прискорюватимуться один від одного все швидше і швидше з часом. Відносний поділ між двома об'єктами, скажімо, галактикою A і галактикою B, в кінцевому підсумку буде збільшуватися швидше, ніж швидкість світла. (Лоренціанський характер простору-часу є локальним, тому відносний рух швидше, ніж c, забороняється лише між об'єктами, які проходять один за одним.) У цей момент спостерігач у будь-якій галактиці скаже, що інша пройшла за горизонтом подій. Якщо розумні спостерігачі дійсно існують у далекому майбутньому, вони не можуть сказати, що космос навіть існує. Вони сприймуть себе як живуть у острівних всесвітах, таких як ми вважали, що наша власна галактика була сто років тому.

Коли я ввів стандартні космологічні координати раніше, я описав їх як координати, в яких події, які є одночасними відповідно до цього t, є подіями, при яких локальні властивості Всесвіту однакові. Однак у випадку з ідеально домінуючим вакуумом всесвіту це поняття втрачає своє значення. Єдине спостережуване локальне властивість такого Всесвіту - енергія вакууму, описана космологічної постійною, а її щільність завжди однакова, тому що вона вбудована в структуру вакууму. Таким чином, космологія, що домінує у вакуумі, є особливою, максимально симетричною, в тому сенсі, що вона має не тільки симетрії однорідності та ізотропії, які ми припускали весь час, але і симетрію щодо часу: це космологія без історії, в якій всі часи здаються ідентичними місцевий спостерігач. Одним із способів перевірки цього твердження є обчислення скалярів кривизни, і ми виявимо, наприклад, що скаляр Річчі є константою R = −12\(\Lambda\) (зі знаком залежно від сигнатури + − −−, приклад 25).

В окремому випадку цієї космології коливання коефіцієнта масштабування a (t) не спостерігається і може розглядатися як невдалий результат вибору невідповідного набору координат, які затьмарюють основну симетрію. Коли я сперечався в розділі 8.2 за спостережливість розширення Всесвіту, зверніть увагу, що всі мої аргументи передбачали наявність матерії або випромінювання. Вони повністю відсутні в ідеально вакуумній космології.

З цих причин де Сіттер спочатку запропонував це рішення як статичний всесвіт у 1927 році. Але до 1920 року було усвідомлено, що це надмірне спрощення. Аргумент вище лише показує, що зміна часу a (t) не дозволяє відрізнити одну епоху Всесвіту від іншої. Тобто ми не можемо дивитися у вікно і вивести дату (наприклад, з температури космічного мікрохвильового фонового випромінювання). Однак це не означає, що Всесвіт статичний у тому сенсі, який передбачався до спостережень Хаббла. r-t частина метрики дорівнює

\[ds^{2} = dt^{2} - a^{2} dr^{2}, \tag{8.2.6} \]

де a вибухає експоненціально з часом, а k-залежність була знехтована, як це було в наближенні до рівнянь Фрідмана, використовуваних для виведення\(a(t)\). ²¹ Нехай тестова частинка рухається в радіальному напрямку, починаючи з події A = (0, 0) і закінчуючи B = (t', r'). У плоскому просторі світова лінія лінійної форми r = vt буде геодезичним з'єднанням A і B; це дозволить максимізувати належний час частинки. Але в цій метриці вона не може бути геодезичною. Кривизну геодезики щодо лінії на r-t ділянці найлегше зрозуміти в межі, де t 0 p досить довга порівняно з часовою шкалою T =\(\sqrt{\frac{3}{\Lambda}}\) експоненціальної, так що a (t') є величезною. Найкраща стратегія частинки для максимізації належного часу полягає в тому, щоб переконатися, що її dr надзвичайно малий, коли a надзвичайно великий. Таким чином, геодезичні повинні мати майже постійну r в кінці. Це робить це звучати так, ніби частка сповільнюється, але насправді все навпаки. Якщо r константа, то відстань частинки від початку є просто ra (t), яка вибухає експоненціально. Майже сталість координати r при великому t насправді означає, що рух частинки при великому t насправді не пов'язано з інерційною пам'яттю частинки про її початковий рух, як у першому законі Ньютона. Натомість відбувається те, що початковий рух частинки дозволяє їй відсуватися на деяку відстань від початку протягом часу на порядку T, але після цього розширення Всесвіту стало настільки швидким, що рух частинки просто витікає назовні через розширення самого простору. Його початковий рух мав значення лише тому, що він визначав, наскільки далеко частинка потрапила до того, як її змітало експоненціальне розширення.

Примітка

Обчислення тензора Ейнштейна з ds ² = d\(\bar{t^{2}}\) − a ² (^{1 − kr 2) −1 dr 2} показує, що k входить лише через множник у вигляді (.) e (^{...) t} + (.) k. стає G ^a _b = g ^a _b\(\Lambda\), Це узгоджується з наближенням, яке ми використовували при отриманні розв'язку, яке повинно було ігнорувати як вихідні члени, так і k член в рівняннях Фрідмана. Точні розв'язки з\(\Lambda\) > 0 та k = −1, 0 та 1 фактично виявляються еквівалентними за винятком зміни координат.

Приклад 19: Геодезичні роботи у всесвіті, де домінують вакуум

У цьому прикладі ми підтверджуємо наведену вище інтерпретацію в особливому випадку, коли частинка, замість того, щоб бути випущена в русі біля початку, звільняється з деяким ненульовим радіусом r, з\(\frac{dr}{dt}\) = 0 спочатку. Спочатку згадаємо геодезичне рівняння.

\[\frac{d^{2} x^{i}}{d \lambda^{2}} = \Gamma^{i}_{jk} \frac{dx^{j}}{d \lambda} \frac{dx^{k}}{d \lambda} \ldotp \tag{8.2.7} \]

з розділу 5.7. Незникаючі символи Крістоффеля для 1+1- розмірної метрики ds ² = dt ² − a ² dr ² є\(\Gamma^{r}_{tr} = \frac{\dot{a}}{a}\) і\(\Gamma^{t}_{rr} = \dot{a} a\). Встановлюючи T = 1 для зручності, маємо\(\Gamma^{r}_{tr}\) = 1 і\(\Gamma^{t}_{rr} = e^{−2t}\).

Ми припускаємо, що частинка залишається на тому ж значенні r Враховуючи цю здогаду, належний час частинки\(\int\) ds просто такий же, як її часова координата t, і тому ми можемо використовувати t як афінну координату. Відпускаючи\(\lambda\) = t, у нас є

\[\frac{d^{2} t}{dt^{2}} - \Gamma^{t}_{rr} \left(\dfrac{dr}{dt}\right)^{2} = 0 \tag{8.2.8} \]

\[0 - \Gamma^{t}_{rr} \dot{r}^{2} = 0 \tag{8.2.9} \]

\[\dot{r} = 0 \tag{8.2.10} \]

\[r = constant \tag{8.2.11} \]

Це підтверджує самоузгодженість гіпотези про те, що r = константа - геодезична.

Зауважте, що нам ніколи не доводилося використовувати фактичні вирази для символів Крістоффеля; нам потрібно було лише знати, які з них зникли, а які ні. Висновок залежав лише від того, що метрика мала вигляд ds ² = dt ² − a ² dr ² для деяких функція a (t). Це забезпечує суворе обґрунтування інтерпретації космологічного масштабного коефіцієнта а як надання універсальної варіації часу на всіх шкалах відстані.

Розрахунок також підтверджує, що нічого особливого в r = 0 немає. Частка, що виділяється з r\(\dot{r}\) = 0 і = 0, спочатку залишається при r = 0, але частинка, що виділяється при будь-якому іншому значенні r, також залишається при цьому r. Ця космологія однорідна, тому будь-яку точку можна було вибрати як r = 0. Якщо ми посипаємо частинки тесту, все в спокої, по всій поверхні кулі, зосередженої на цій довільно обраній точці, то всі вони будуть прискорюватися назовні відносно один одного, і обсяг сфери збільшиться. Це саме те, що ми очікуємо. Кривизна Річчі інтерпретується як друга похідна обсягу області простору, визначеної тестовими частинками таким чином. Той факт, що друга похідна є позитивною, а не негативною, говорить нам про те, що ми спостерігаємо вид відштовхування, що забезпечується космологічною константою, а не тяжіння, яке виникає внаслідок існування матеріальних джерел.

Приклад 20: простір Шварцшильда де Нитер

Метрика

\[ds^{2} = \left(1 - \dfrac{2m}{r} - \dfrac{1}{3} \Lambda r^{2} \right) dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{2m}{r} - \frac{1}{3} \Lambda r^{2}} - r^{2} d \theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta d \phi^{2} \tag{8.2.12} \]

є точним рішенням польових рівнянь Ейнштейна з космологічною постійною\(\Lambda\), і може бути інтерпретований як Всесвіт, в якому єдиною масою є чорна діра маси m, розташована в r = 0. Біля чорної діри\(\Lambda\) терміни стають мізерно малими, і це просто метрика Шварцшильда. Як стверджується в розділі 8.2, це простий приклад того, як космологічне розширення не змушує всі структури у Всесвіті рости з однаковою швидкістю.

Приклад 21: Збереження енергетичного імпульсу

Припустимо, що ми припускаємо геометрію де Ситтера, і запитуємо, який тип поля матерії необхідні для його створення. Ми знаємо, що космологічна константа зробить цю роботу, але чи можемо ми мати інше поле матерії, яке також працювало б? Припустимо, що матеріальне поле обмежене бути ідеальною рідиною. Тоді загальна енергія напружень має вигляд\(T^{\mu}_{\nu}\) = diag (\(\rho\), −P, −P, −P) у декартових координатах. (Див. приклад 4 для знаків, деякі з яких залежать від використання нами підпису + − −−.) Дивергенція\(\nabla_{\mu} T^{\mu}_{t}\) вимірює швидкість, з якою спостерігач каже, що створюється енергія, і нам потрібно, щоб вона була нульовою. Цей вираз є одним із тих складних прикладів, де коваріантна похідна може бути ненульовою, навіть коли диференційована річ зникає однаково. Розбіжність є\(\nabla_{t} T^{t}_{t} + \nabla_{x} T^{x}_{t}\), і термін, який не зникає, є другим, хоча T ^x _t = 0. Використовуючи незникаючі символи Крістоффеля, це стає таким чином\(\Gamma^{x}_{xt} T^{t}_{t} − \Gamma^{x}_{tx} T^{x}_{x} = \frac{\dot{a}}{a} (\rho + P)\), що\(\rho\) + P = 0. Цій умові задовольняє космологічна константа. Наш результат полягає в тому, що єдиний спосіб отримати геометрію де Ситтера - це поля матерії, які точно імітують космологічну константу. Це представляє певний історичний інтерес в контексті сталих космологій, розділ 8.4. Може здатися загадковим, що ми отримали цей результат, вимагаючи збереження енергетичного імпульсу, але ми також могли б зробити це за допомогою рівнянь поля Ейнштейна. Насправді це не дві окремі вимоги, оскільки польові рівняння вимагають збереження енергії-імпульсу, щоб бути послідовним.

Сингулярність великого вибуху у Всесвіті з космологічною константою

Раніше ми обговорювали можливість того, що особливість Великого вибуху була артефактом нереально досконалої симетрії, передбаченої нашими космологічними моделями, і виявили, що це не так: теореми сингулярності Пенроза-Хокінга демонструють, що сингулярність реальна, за умови, що космологічна постійна дорівнює нулю. Однак космологічна константа не дорівнює нулю. Моделі з дуже великою позитивною космологічною константою також можуть відображати Big Bounce, а не Великий вибух. Якщо ми уявляємо, що за допомогою рівнянь Фрідмана еволюціонувати Всесвіт назад у часі від його теперішнього стану, аргументи масштабування в прикладі 14 припускають, що в досить ранні часи випромінювання і матерія повинні домінувати над космологічною константою. При досить великому значенні космологічної константи, однак, може статися так, що це перемикання ніколи не відбувається. У такій моделі Всесвіт є і завжди переважає космологічна константа, і ми отримуємо Big Bounce у минулому через відштовхування космологічної константи. У цій книзі я розроблю лише прості космологічні моделі, в яких у Всесвіті домінує один компонент; для обговорення підстрибуючих моделей як з матерією, так і з космологічною константою див. Керролл, «Космологічна константа», http://www.livingreviews.org/lrr-2001-1. До 2008 року різноманітні дані спостережень досить добре закріпили космологічну константу, щоб виключити можливість відскоку, спричиненого дуже сильною космологічною константою.

Рішення, в якому переважають питання

Наш Всесвіт не ідеально домінував у вакуумі, а в минулому це було ще менше. Розглянемо домінуючу матерією епоху, в якій космологічна константа була незначною порівняно з матеріальними джерелами. Рівняння стану нерелятивістської матерії (приклад 4) дорівнює

\[P = 0 \ldotp \tag{8.2.13} \]

Розведення пилу з космологічним розширенням дає

\[\rho \propto a^{-3} \tag{8.2.14} \]

(Див. приклад 23). Рівняння Фрідмана стають

\[\begin{split} \frac{\ddot{a}}{a} &= - \frac{4 \pi}{3} \rho \\ \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} &= \frac{8 \pi}{3} \rho - ka^{-2}, \end{split}\]

де для компактності\(\rho\) залежність від a, з деякою константою пропорційності, явно не показана. Статичне рішення, з постійною a, неможливо і\(\ddot{a}\) є негативним, що ми можемо інтерпретувати в ньютонівських термінами як уповільнення матерії у Всесвіті через гравітаційне тяжіння. Існує три випадки, які слід розглянути, відповідно до значення k.

Закритий Всесвіт

Ми бачили, що k = +1 описує всесвіт, в якому просторова кривизна є позитивною, тобто окружність кола менше, ніж його евклідова величина. За аналогією зі сферою, яка є двовимірною поверхнею постійної позитивної кривизни, ми очікуємо, що сумарний обсяг цього Всесвіту кінцевий.

Друге рівняння Фрідмана також показує нам, що при деякому значенні a ми матимемо\(\dot{a}\) = 0. Всесвіт буде розширюватися, зупинятися, а потім знову згортатися, врешті-решт повертаючись разом у «Великому кризу», який є зворотною версією Великого вибуху.

Припустимо, ми повинні були описати початкову задачу в цій космології, в якій початкові умови задані для всіх точок у Всесвіті на деякій космічній поверхні, скажімо t = константа. Оскільки Всесвіт вважається однорідним у всі часи, насправді існує лише три числа, щоб вказати, а\(\dot{a}\), і\(\rho\): наскільки великий Всесвіт, наскільки швидко він розширюється і скільки матерії в ньому? Але ці три частини даних можуть або не відповідати другому рівнянню Фрідмана. Тобто проблема перевизначена. Зокрема, ми можемо бачити, що для досить малих значень\(\rho\), ми не маємо дійсного рішення, оскільки\(\frac{\dot{a}}{a}\) квадрат повинен бути негативним. Таким чином, замкнутий Всесвіт вимагає певної кількості речовини в ній. Справжніх спостережних доказів (від наднових і космічного мікрохвильового фону, як описано вище) достатньо, щоб показати, що наш Всесвіт не містить цієї великої кількості матерії.

Плоский Всесвіт

Випадок k = 0 описує всесвіт, який просторово плоский. Він являє собою корпус з ножем, що лежить між замкнутим і відкритим всесвітами. У ньютонівській аналогії він представляє випадок, коли Всесвіт рухається точно зі швидкістю втечі; коли t наближається до нескінченності, ми маємо a\(\rho\) → ∞, → 0 та\(\dot{a}\) → 0. Цей випадок, на відміну від інших, дозволяє легко закриту форму рішення руху. Нехай константа пропорційності у рівнянні стану\(\rho \propto a^{−3}\) фіксується встановленням\(\frac{−4 \pi \rho}{3}\) = −ca ⁻³. Рівняння Фрідмана

\[\begin{split} \ddot{a} &= -ca^{-2} \\ \dot{a} &= \sqrt{2c} a^{-1/2} \ldotp \end{split}\]

Шукаючи розв'язок виду a\(\propto\) t ^p, ми знаходимо, що вибравши p = 2/3 ми можемо одночасно задовольнити обидва рівняння. Константа c також фіксована, і ми можемо дослідити це найбільш прозоро, визнаючи, що\(\frac{\dot{a}}{a}\) інтерпретується як константа Хаббла, H, яка є константою пропорційності, що стосується швидкості далекої галактики до її відстані. Зауважте, що H є «постійною» в тому сенсі, що вона однакова для всіх галактик, в цій конкретній моделі з зникаючою космологічною постійною; вона не залишається постійною з плином космологічного часу. Повертаючись до початкової форми рівнянь Фрідмана, ми виявляємо, що плоский Всесвіт може існувати лише в тому випадку, якщо щільність речовини задовольняє\(\rho = \rho_{crit} = \frac{3H^{2}}{8 \pi} = \frac{3H^{2}}{8 \pi G}\). Спостережуване значення константи Хаббла становить близько 1/ (14 × 10 ⁹ років), що приблизно інтерпретується як вік Всесвіту, тобто належний час, який переживає тестова частинка з часів Великого вибуху. Це дає\(\rho_{crit}\) 10 ⁻²⁶ кг/м ³.

Як обговорювалося в розділі 8.2, наш Всесвіт виявляється майже точно просторово плоским. Хоча в даний час він переважає у вакуумі, плоска і матерія, що домінує космологія FRW, є корисним описом його епохи, в якій домінують питання.

Відкритий Всесвіт

Випадок k = −1 представляє всесвіт, який має негативну просторову кривизну, просторово нескінченний, а також нескінченний у часі, тобто, навіть якби космологічна константа була нульовою, розширення Всесвіту мало б у ньому занадто мало матерії, щоб змусити її перескоротити і закінчитися Великим кризом.

Симетрія загальної відносності у часі розглядалася в розділі 6.2 у зв'язку з метрикою Шварцшильда. ²² Через цю симетрію ми очікуємо, що розв'язки рівнянь поля будуть симетричними під час зміни часу (якщо не були накладені асиметричні граничні умови). Закритий Всесвіт має саме такий тип симетрії зворотного часу. Але відкритий Всесвіт явно порушує цю симетрію, і саме тому ми говоримо про Великий вибух як про лежав у минулому, а не в майбутньому. Це приклад спонтанного порушення симетрії. Спонтанне порушення симетрії відбувається, коли ми намагаємося врівноважити олівець на його кінчику, і це також важливе явище у фізиці частинок. Зворотна за часом версія відкритого Всесвіту є однаково дійсним рішенням польових рівнянь. Іншим прикладом спонтанного порушення симетрії в космологічних рішеннях є те, що рішення мають кращу систему відліку, яка є спокою щодо космічного мікрохвильового фону та середнього руху галактик. Це називається потоком Хаббла.

Примітка

Задача 5 показує, що ця симетрія також проявляється рівняннями Фрідмана.

Приклад 22: Розмір і вік спостережуваного Всесвіту

Спостережуваний Всесвіт визначається регіоном, з якого світло встиг дістатися до нас з часів Великого вибуху. Багато людей схильні вважати, що його радіус в одиницях світлових років тому повинен дорівнювати віку Всесвіту, вираженому в роках. Це неправда. Космологічні відстані, подібні до цих, навіть не однозначно визначені, оскільки загальна відносність має лише локальні системи відліку, а не глобальні.

Припустимо, ми приймаємо належну відстань L, визначену в розділі 8.2, як нашу міру радіуса. За цією мірою реалістичні космологічні моделі говорять про те, що наш 14-мільярдний всесвіт має радіус 46 мільярдів світлових років.

Для плоского всесвіту f = 1, тому, оглянувши метрику FRW, ми виявимо, що фотон, що рухається радіально з ds = 0, має\(\frac{dr}{dt}\) | | = a ⁻¹, даючи\(r = \pm \int^{t_{2}}_{t_{1}} \frac{dt}{a}\). Пригнічуючи знаки, належна відстань, яку проходить фотон, починаючи незабаром після Великого вибуху, дорівнює L = a (t ₂)\(\int\) d\(\ell\) = a (t ₂)\(\int\) dr = a (t ₂) r = a (t ₂)\(\int^{t_{2}}_{t_{1}} \frac{dt}{a}\). У випадку, де домінують питання, a\(\propto\) t ^2/3, тому це призводить до L = 3t ₂ в межі, де t1 малий. Наш Всесвіт провів більшу частину своєї історії, будучи домінуючим, тому обнадійливо, що розрахунок, який домінує, здається, робить досить хорошу роботу по відтворенню фактичного співвідношення\(\frac{46}{14}\) = 3.3 між L і t ₂.

Поки ми на це, ми можемо побачити, що відбувається в чисто вакуумному випадку, який має\(\propto\) e ^T/T, де T =\(\sqrt{\frac{3}{\Lambda}}\). Ця космологія не має Великого вибуху, але ми можемо думати про це як наближення до більш пізньої історії Всесвіту, приклеєного до більш раннього рішення, яке домінує питання. Тут ми знаходимо L = [e ^{(t ₂ −t ₁) /T} − 1] T, де t ₁ - час, коли відбувся перехід до вакуумного домінування. Ця функція зростає швидше з t ₂, ніж та, що отримується у випадку, де домінують питання, тому має сенс, що реальне співвідношення\(\frac{L}{t_{2}}\) дещо більше, ніж значення 3, що домінує у речовині.

Версія, що переважає радіація, розглядається в задачі 12.

Приклад 23: Локальне збереження масової енергії

Будь-яке рішення рівнянь Фрідмана є розв'язком польових рівнянь, а тому локально зберігає мас-енергію. Ми зберегли роботу вище, застосувавши цю умову заздалегідь у вигляді\(\rho \propto\) a ⁻³, щоб пил розбавлявся належним чином з космологічним розширенням. У цьому прикладі ми доводимо однакову пропорційність шляхом явного розрахунку.

Локальне збереження маси енергії виражається нульовою розбіжністю тензора напруження-енергії,\(\nabla_{j}\) T ^jb = 0. Визначення коваріантної похідної дає

\[\nabla_{j} T^{bc} = \partial_{j} T^{bc} + \Gamma^{b}_{jd} T^{dc} + \Gamma^{c}_{jd} T^{bd} \ldotp \tag{8.2.15} \]

Для зручності проводимо розрахунок при r = 0; якщо консервація тримається тут, то вона скрізь тримається по однорідності.

У локальному декартовому кадрі (t', x', y', z') у спокої відносно пилу тензор енергії напруження діагональний з T ^t't' =\(\rho\). При r = 0 перетворення з координат FLRW в ці координати не змішується t або t' з іншими координатами, тому за законом тензорного перетворення ми все ще маємо T ^tt =\(\rho\).

Є ряд символів Christoffel беруть участь, але єдині три актуальності, які не зникають при r = 0 виявляються\(\Gamma^{r}_{rt} = \Gamma^{\theta}_{\theta t} = \Gamma^{\phi}_{\phi t} = \frac{\dot{a}}{a}\). Результат -

\[\nabla_{\mu} T^{t \mu} = \partial_{t} T^{tt} + 3 \frac{\dot{a}}{a} T^{tt}, \tag{8.2.16} \]

або\(\frac{\dot{\rho}}{\rho} = −3 \frac{\dot{a}}{a}\), які можуть бути переписані як

\[\frac{d}{dt} \ln \rho = −3 \frac{d}{dt} \ln a, \tag{8.2.17} \]

виробляючи спочатку заявлену пропорційність.