8.3: Космологічні рішення (частина I)
- Page ID
- 77769
Таким чином, ми змушуємо поставити два взаємопов'язаних питання. По-перше, що можуть розповісти нам емпіричні спостереження про Всесвіт про закони фізики, такі як нульова або ненульова величина космологічної постійної? По-друге, що закони фізики в поєднанні зі спостереженням можуть розповісти нам про масштабну будову Всесвіту, її походження, її долю?
Докази скінченного віку Всесвіту
У нас є різні докази того, що існування Всесвіту не тягнеться на необмежений час в минуле.
Коли астрономи розглядають світло з глибокого неба, яке протягом мільярдів років подорожує космосом, вони спостерігають всесвіт, який виглядає інакше, ніж сьогоднішній. наприклад, квазари були поширені в ранньому Всесвіті, але є рідкістю сьогодні.
У сучасному Всесвіті зірки використовують ядра дейтерію, але немає відомих процесів, які могли б поповнити їх запас. Тому ми очікуємо, що велика кількість дейтерію у Всесвіті з часом зменшиться. Якби Всесвіт існував нескінченний час, ми б очікували, що весь його дейтерій був би втрачений, і все ж ми спостерігаємо, що дейтерій дійсно існує в зірках і в міжзоряному середовищі.
Другий закон термодинаміки передбачає, що будь-яка система повинна наблизитися до стану термодинамічної рівноваги, і все ж наш Всесвіт дуже далека від теплової рівноваги, про що свідчить той факт, що наше сонце гаряче міжзоряного простору, або наявністю функціонуючих теплових двигунів, таких як ваше тіло або автомобільний двигун.
Озираючись назад, ці спостереження говорять про те, що ми не повинні шукати космологічні моделі, які зберігаються протягом нескінченного часу в минулому.
Докази розширення Всесвіту
Ми не тільки бачимо коливання часу в локально спостережуваних кількостях, таких як кількість квазарів, достаток дейтерію та ентропія. Крім того, ми знаходимо емпіричні докази глобальних змін у Всесвіті. До 1929 року Едвін Хаббл на горі Вілсон визначив, що Всесвіт розширюється, і історично це було першим переконливим свідченням того, що початкова мета Ейнштейна моделювати статичну космологію була помилкою. Пізніше Ейнштейн називав космологічну константу «найбільшою помилкою мого життя», і протягом наступних 70 років прийнято вважати, що\(\Lambda\) це рівно нуль.
Оскільки ми спостерігаємо, що Всесвіт розширюється, закони термодинаміки вимагають, щоб вона також охолоджувалася, так само, як вибухаюча повітряно-газова суміш в циліндрі двигуна автомобіля охолоджується, коли вона розширюється. Якщо Всесвіт в даний час розширюється і охолоджується, природно уявити, що в минулому вона могла бути дуже щільною і дуже гарячою. Це підтверджується безпосередньо поглядом вгору в небо і бачачи випромінювання гарячої ранньої всесвіту. У 1964 році Пензіас і Вілсон в Bell Laboratories в Нью-Джерсі виявили таємничий фон мікрохвильового випромінювання за допомогою спрямованої рогової антени. Як і у багатьох випадкових відкриттях в науці, важливим було звертати увагу на дивовижне спостереження, а не здаватися і рухатися далі, коли воно плутало спроби зрозуміти його. Вони вказали антену на Нью-Йорк, але сигнал не збільшився. Випромінювання не показало цілодобової періодичності, тому воно не могло бути від джерела в певному напрямку в небі. Вони навіть зайшли так далеко, щоб змітати голубиний послід всередину. Врешті-решт було встановлено, що випромінювання надходило рівномірно з усіх боків на небі і мало спектр чорного тіла з температурою близько 3 К.
Це тепер інтерпретується наступним чином. Свого часу Всесвіт був досить гарячим, щоб іонізувати речовину. Іонізований газ непрозорий для світла, так як коливальні поля електромагнітної хвилі прискорюють заряджені частинки, відкладаючи в них кінетичну енергію. Як тільки Всесвіт став досить прохолодним, однак, матерія стала електрично нейтральною, а Всесвіт став прозорим. Світло з цього часу - це саме довготривале світло, яке ми можемо виявити зараз. Останні дані показують, що прозорість встановлена при температурі близько 3000 К. Поверхня, яку ми бачимо, починаючи з цього часу, відома як поверхня останнього розсіювання. З тих пір Всесвіт розширився приблизно в 1000 разів, внаслідок чого довжини хвиль фотонів розтягуються на однакову величину за рахунок розширення підстилаючого простору. Це еквівалентно доплерівському зсуву через рух джерела від нас; два пояснення еквівалентні. Тому ми бачимо оптичне випромінювання чорного тіла 3000 К, зміщене червоним кольором до 3 К, в мікрохвильовій області.
Логічно можливо мати всесвіт, який розширюється, але локальні властивості якого, тим не менш, статичні, як у стаціонарній моделі Фреда Хойла, в якій якийсь новий фізичний процес спонтанно створює нові атоми водню, запобігаючи нескінченному розрідженню матерії над історією Всесвіту, яка в цій моделі нескінченно далеко йде в минуле. Але ми вже бачили сильні емпіричні докази того, що локальні властивості Всесвіту (велика кількість квазарів тощо) змінюються з часом. CMB є ще більш екстремальним і прямим прикладом цього; Всесвіт, повний гарячого, щільного газу, який випромінював CMB, явно не що інше, як сьогоднішня Всесвіт. Коротке обговорення моделі сталого стану наведено в розділі 8.4.
Докази однорідності та ізотропії
Ці спостереження демонструють, що Всесвіт неоднорідний за часом, тобто, що можна спостерігати теперішні умови Всесвіту (такі як його температура та щільність), і зробити висновок, яку епоху еволюції Всесвіту ми населяємо. Інше питання Коперника - це одне про те, чи є Всесвіт однорідною в просторі. Обстеження далеких квазарів показують, що Всесвіт має дуже мало структури в масштабах більше 10 25 м. (Це можна побачити на чудовій логарифмічній карті, побудованій Готтом та ін., astro.princeton.edu/universe.) Це говорить про те, що ми можемо, до хорошого наближення, змоделювати Всесвіт як ізотропний (однаковий у всіх просторових напрямках) і однорідний (однаковий у всіх місцях у просторі). (Ізотропія не випливає з однорідності. Приклади однорідних, але анізотропних космологій включають обертові космології та метрику Кантовського-Сакса, задача 13.)
Подальші докази виходять з надзвичайної рівномірності випромінювання космічного мікрохвильового фону, коли віднімається дипольна анізотропія через доплерівський зсув, що виникає внаслідок руху нашої галактики щодо CMB. Коли КМБ вперше був виявлений, виникли сумніви щодо того, чи є він космологічним за походженням (а не, скажімо, асоціюватися з нашою галактикою), і очікувалося, що його ізотропія складе цілих 10%. Оскільки фізики почали переконуватися, що це справді пережиток раннього Всесвіту, інтерес зосереджувався на вимірюванні цієї анізотропії, а низка вимірювань ставила на неї більш жорсткі та жорсткі верхні межі. Крім дипольного терміна, є два способи, за допомогою яких можна, природно, очікувати анізотропії. Можливо, у ранньому Всесвіті була якась грудочка, яка могла послужити насінням для конденсації скупчень галактик з космічного середовища. Крім того, ми можемо задатися питанням, чи обертається Всесвіт в цілому. Загально-релятивістське поняття обертання сильно відрізняється від ньютонівського, і, зокрема, можна мати космологію, яка обертається, не маючи жодного центру обертання (див. Задача 5). Насправді одним з перших точних рішень, виявлених для рівнянь поля Ейнштейна, була метрика Геделя, яка описувала химерну обертається всесвіт із замкнутими часовими кривими, тобто той, в якому порушувалася причинність. У обертовому Всесвіті очікують, що випромінювання, отримане з великих космологічних відстаней, матиме поперечний доплерівський зсув, тобто зсув, що походить від розширення часу через рух віддаленої матерії по небу. Цей зсув був би найбільшим для джерел, що лежать у площині обертання відносно нас, і зникне для джерел, що лежать уздовж осі обертання. Таким чином, CMB покаже варіацію у формі чотирипольного члена, 3 cos 2\(\theta\) − 1. У 1977 U-2 спіплан (той же тип бере участь в 1960 США-радянський інцидент) був використаний Smoot et al. 14 для пошуку анізотропій в КМБ. Цей експеримент був першим, хто остаточно досяг успіху у виявленні дипольної анізотропії. Після віднімання дипольної складової було виявлено, що CMB є рівномірним на рівні 3 × 10 −4. Це забезпечило потужну підтримку однорідних космологічних моделей та виключило обертання Всесвіту з\(\omega \gtrsim\) 10 −22 Гц.
Примітка
Г.Ф. Смут, М.В. Горенштейн, і Р.А. Мюллер, «Виявлення анізотропії в космічному випромінюванні чорного тіла», Фіз. Преподобний Летт 39 (1977) 898. Інтерпретація вимірювань CMB дещо залежить від моделі; у перші роки спостережної космології навіть не було загальноприйнятого, що CMB має космологічне походження. Кращий модельний незалежний межа на обертання Всесвіту походить від спостережень Сонячної системи, Клеменса, «Астрономічного часу», преподобного Мод. Фіз.29 (1957) 2.
Космології FRW
Метрика FRW та стандартні координати
Мотивовані спостереженням Хаббла про те, що Всесвіт розширюється, ми висуваємо гіпотезу про існування розв'язків рівняння поля, в якому властивості простору однорідні та ізотропні, але загальний масштаб простору збільшується, як описано деякою масштабною функцією a (t). Через інваріантність координат метрика все ще може бути записана в різних формах. Однією з таких форм є
\[ds^{2} = dt^{2} - a(t)^{2} d \ell^{2},\]
де просторова частина
\[d \ell^{2} = f(r) dr^{2} + r^{2} d \theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta d \phi^{2} \ldotp\]
Для інтерпретації координат зауважимо, що якщо спостерігач здатний визначити функції a і f для свого Всесвіту, то вона завжди може виміряти деяку скалярну кривизну, таку як скаляр Річчі або інваріант Кретчмана, і оскільки вони пропорційні a підвищеної до деякої потужності, вона може визначити a і t. показує, що t - це час «погляду-вікна», тобто часова координата, яку ми можемо визначити, дивлячись у вікно та спостерігаючи за теперішніми умовами у Всесвіті. Оскільки величина, що вимірюється безпосередньо, є скаляром, результат не залежить від стану руху спостерігача. (На практиці ці скалярні викривлення важко виміряти безпосередньо, тому ми вимірюємо щось інше, наприклад, середню температуру космічного мікрохвильового фону.) Одночасність, як передбачається, буде погано визначена в відносності, але час огляду вікна визначає поняття одночасності, яке є найбільш природно цікавим у цьому просторі часу. За допомогою цього конкретного визначення одночасності ми також можемо визначити бажаний стан спокою в будь-якому місці простору-часу, яке є тим, в якому t змінюється якомога повільніше щодо власних годин. Цей локальний кадр відпочинку, який легше визначити на практиці як той, в якому мікрохвильовковий фон найбільш рівномірний по небу, також може бути інтерпретований як той, який рухається разом з потоком Хаббла, тобто середній рух галактик, фотонів або будь-що інше населяє простор часу. Час t інтерпретується як належний час частинки, яка завжди була локально в спокої. Просторова відстань, виміряна L =\(\int\) a d\(\ell\), називається належним відстанню. Саме відстань вимірювалася б ланцюжком правителів, кожна з них «в спокої» в вищезгаданому сенсі.
Ці координати називаються «стандартними» космологічними координатами; один також зіткнеться з іншими варіантами, такими як комотивні та конформні координати, які є більш зручними для певних цілей. Історично склалося так, що рішення для функцій a і f було знайдено де Сіттером в 1917 році.
Просторова метрика
Невідома функція f (r) повинна дати 3-просторову метрику d\(\ell^{2}\) з постійним тензором кривизни Ейнштейна. Наступна програма Maxima обчислює кривизну.
Рядок 2 говорить Maxima, що ми працюємо в просторі з трьома вимірами, а не за замовчуванням з чотирьох. Рядок 4 говорить йому, що f є функцією часу. Рядок 9 використовує свою вбудовану функцію для обчислення тензора Ейнштейна G a b. Результат має лише один незникаючий компонент,\(G^{t}_{t} = \frac{1 − \frac{1}{f}}{r^{2}}\). Це повинно бути постійним, і оскільки масштабування може бути поглинене в коефіцієнті a (t) в 3+1-мірній метриці, ми можемо просто встановити значення G tt більш-менш довільно, за винятком його знака. Результатом є f =\(\frac{1}{1 − kr^{2}}\), де k = −1, 0 або 1.
Отримана метрика, яка називається метрикою Робертсона-Уокера, дорівнює
\[ds^{2} = dt^{2} - a^{2} \left(\dfrac{dr^{2}}{1 - kr^{2}} + r^{2} d \theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta d \phi^{2} \right) \ldotp\]
Форма d\(\ell^{2}\) показує нам, що k можна інтерпретувати з точки зору знака просторової кривизни. Ми визнаємо метрику k = 0 як плоский простор-час, описаний у сферичних координатах. Для інтерпретації випадків k ≠ 0 відзначимо, що коло з координатою r має належну окружність C = 2\(\pi\) ar і належний радіус R =\(a \int_{0}^{r} \sqrt{f(r')}\) dr'. Для k < 0 ми маємо f < 1 and C > 2\(\pi\) R, що вказує на негативну просторову кривизну. Для k > 0 існує позитивна кривизна.
Розглянемо випадок позитивної кривизни більш уважно. Припустимо, ми вибираємо певну площину одночасності, визначену t = константою і\(\phi = \frac{\pi}{2}\), і починаємо робити геометрію в цій площині. У двох просторових вимірах тензор Рімана має лише одну незалежну складову, яку можна ідентифікувати за гаусовою кривизною (сек. 5.4), і коли ця гаусова кривизна є позитивною та постійною, її можна інтерпретувати як кутовий дефект трикутника на одиницю площі (сек. 5. 3). Оскільки сума внутрішніх кутів трикутника ніколи не може бути більше 3\(\pi\), у нас є верхня межа на площі будь-якого трикутника. Це відбувається тому, що метрика Робертсона-Уокера з позитивною кривизною представляє космологію, яка є просторово скінченною. При заданому t він є тривимірним аналогом двошарової. На дві сфери, якщо ми встановимо полярні координати з заданою точкою довільно обраної як походження, то ми знаємо, що координата r повинна «обертатися», коли ми дістаємося до антиподів. Тобто там є координатна сингулярність. (Ми знаємо, що це може бути лише координатна сингулярність, тому що якби цього не було, то антиподи мали б особливі фізичні характеристики, але модель FRW була побудована так, щоб бути просторово однорідною.) Ця поведінка «обгортання» описується тим, що модель закрита.
У випадку з негативною кривизною обмеження на відстані немає, рис. 8.2.2 (3). Такий всесвіт називається відкритою. У випадку з відкритим всесвітом, особливо легко продемонструвати факт, який турбує багатьох студентів, який полягає в тому, що належні відстані можуть зростати зі швидкістю, що перевищує c Нехай частинки A і B обидва знаходяться в спокої щодо потоку Хаббла. Правильна відстань між ними потім задається L = a\(\ell\), де\(\ell = \int_{A}^{B} d\ell\) постійна. Потім диференціювання L щодо часу погляду вікна t дає\(\frac{dL}{dt} = \dot{a} \ell\). У відкритому всесвіті немає обмежень на розмір\(\ell\), тому в будь-який момент часу ми можемо зробити\(\frac{dL}{dt}\) стільки, скільки нам подобається. Це не порушує спеціальну відносність, оскільки лише локально спеціальна відносність є дійсним наближенням до загальної відносності. Оскільки GR постачає нам лише рамки відліку, які є локальними, швидкість двох об'єктів відносно один одного навіть не визначена однозначно; наш вибір\(\frac{dL}{dt}\) був лише одним з нескінченно багатьох можливих визначень.
Різниця між замкнутими та відкритими всесвітами - це не лише питання геометрії, це також питання топології. Подібно до того, як дві сфери не можуть бути перетворені в евклідову площину без розрізання або розриву, замкнутий Всесвіт не топологічно еквівалентний відкритій. Кореляція між локальними властивостями (кривизною) і глобальними (топологія) є загальною темою в диференціальній геометрії. Всесвіт, яка відкрита, відкрита назавжди, і аналогічно для замкнутої.
Рівняння Фрідмана
Зафіксувавши f (r), тепер ми можемо побачити, що рівняння поля говорить нам про a (t). Наступна програма обчислює тензор Ейнштейна для повного чотиривимірного просторучасу:
Результатом є
\[\begin{split} G^{t}_{t} &= 3 \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} + 3ka^{-2} \\ G^{r}_{r} = G^{\theta}_{\theta} = G^{\phi}_{\phi} &= 2 \frac{\ddot{a}}{a} + \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} + ka^{-2}, \end{split}\]
де точки вказують на диференціацію щодо часу.
Оскільки у нас є G a b зі змішаними верхнім і нижнім індексами, ми або повинні перетворити його в G ab, або виписати рівняння поля в цій змішаній формі. Останній виявляється простіше. У перерахунку на змішані показники g a b завжди просто діаг (1, 1, 1, 1). Довільно виділивши r = 0 для простоти, маємо g = diag (1, −a 2, 0, 0). Тензор енергії напруження дорівнює\(T^{\mu}_{\nu}\) = діаг (\(\rho\), −P, −P, −P). (Див. Приклад 4 для знаків.) Підставивши в G a b = 8\(\pi\) T a b +\(\Lambda\) g a b, знаходимо
\[\begin{split} 3 \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} + 3ka^{-2} - \Lambda &= 8 \pi \rho \\ 2 \frac{\ddot{a}}{a} + \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} + ka^{-2} - \Lambda &= -8 \pi P \ldotp \end{split}\]
Трохи переставляючи, ми маємо набір диференціальних рівнянь, відомих як рівняння Фрідмана,
\[\begin{split} \frac{\ddot{a}}{a} &= \frac{1}{3} \Lambda - \frac{4 \pi}{3} \Lambda - \frac{4 \pi}{3} (\rho + 3P) \\ \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^{2} &= \frac{1}{3} \Lambda + \frac{8 \pi}{3} \rho - ka^{-2} \ldotp \end{split}\]
Космологія, яка виникає в результаті розв'язання цих диференціальних рівнянь, відома як космологія Фрідманна-Робертсона-Уокера (FRW) або Фрідманна-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW) космології.
Перше рівняння Фрідмана описує швидкість, з якою космологічне розширення прискорюється або сповільнюється. Давайте називаємо це рівнянням прискорення. Він виражає основну ідею польових рівнянь, яка полягає в тому, що неприливна кривизна (ліва сторона) викликана речовиною, яка присутня локально (права сторона). Приклад 15 ілюструє це в простому випадку.
Друге рівняння Фрідмана говорить нам про величину швидкості розширення або скорочення. Називайте це рівнянням швидкості. Величина\(\frac{\dot{a}}{a}\), оцінена в даний космологічний час, є постійною Хаббла H o (яка є постійною лише в тому сенсі, що у фіксований час це константа пропорційності між відстанню та швидкістю спаду).
Практикуваному оку здається дивним мати два динамічні закони, один прогнозує швидкість і один прискорення. Аналогічними законами в механіці першокурсників був би другий закон Ньютона, який пророкує прискорення, і збереження енергії, що пророкує швидкість. Закони Ньютона і збереження енергії не є незалежними, і для механічних систем або можуть бути виведені з іншого. Рівняння Фрідмана, однак, не є надмірними або надмірними. Вони недовизначені, тому що ми хочемо передбачити три невідомі функції часу: a\(\rho\), і P. Оскільки рівняння всього два, їх недостатньо для однозначного визначення розв'язку для всіх трьох функцій. Третє обмеження приходить у вигляді якогось типу рівняння стану для матерії, описаної\(\rho\) і P, яке в простих моделям часто можна записати у вигляді P = w\(\rho\). Наприклад, пил має w = 0.
На відміну від a\(\rho\), і P,\(\Lambda\) космологічна константа не може вільно змінюватися з часом; якби це було, то тензор напруження-енергії мав би незникаючу розбіжність, що не узгоджується з рівняннями поля Ейнштейна (див. Розділ 8.1).
Хоча загальна відносність не забезпечує жодної скалярної, глобально збереженої міри масової енергії, яка зберігається у всіх просторах часу, рівняння швидкості Фрідмана можна вільно інтерпретувати як твердження збереження масової енергії в просторі FRW. Ліва сторона діє як кінетична енергія. У космології, яка розширюється, а потім повторюється у Великому Crunch, точка повороту визначається часом, коли права сторона дорівнює нулю. Походження рівняння швидкості фактично є часово-часовою частиною польових рівнянь, джерелом якого є масово-енергетична складова тензора напруження-енергія.
Приклад 15: Вичерпування дірки
Цей приклад ілюструє зв'язок між космологічним прискоренням та локальною щільністю речовини, заданої рівнянням прискорення Фрідмана. Розглянемо дві космології, кожна з яких\(\Lambda\) = 0. Космологія 1 - це простір FRW, в якому вся матерія знаходиться у вигляді нерелятивістських частинок, таких як атоми або галактики. 2 ідентичний 1, за винятком того, що вся речовина була вичерпана з невеликої сферичної області S, залишаючи вакуум. («Малий» означає малий порівняно зі шкалою Хаббла\(\frac{1}{H_{o}}\).) У межах S ми вводимо тестові частинки A і B. Оскільки простір FRW є однорідним і ізотропним, космологія 2 зберігає сферичну симетрію навколо центру S. Оскільки\(\Lambda\) = 0, теорема Біркхофа застосовується до 2, тому 2 плоска всередині S. Тому в 2 відносне прискорення a тесту частинки дорівнює нулю.
Оскільки S невеликий порівняно з космологічними відстанями, і оскільки пил нерелятивістський, місцеві спостерігачі можуть точно віднести різницю в поведінці між 1 і 2 до ньютонівської гравітаційної сили від пилу, який був присутній в 1, але не в 2. Для зручності нехай А і В обидва спочатку знаходяться в спокої щодо місцевої пилу (тобто мають\(\dot{\theta} = \dot{\phi} = 0\)). За визначенням масштабного коефіцієнта (тобто шляхом огляду метрики FRW) відстань між ними змінюється як const × a (t). Якщо одна з цих частинок є спостерігачем, вона бачить «силу», що діє на іншу частинку, яка викликає прискорення (a¨ /a) r, де r - зміщення між частинками.
Оскільки a = 0 в 2, то випливає, що прискорення в 1 можна точно розрахувати, знаходячи ньютонівську гравітаційну силу за рахунок доданої пилу. Це призводить до зв'язку між\(\frac{\ddot{a}}{a}\), на лівій стороні рівняння прискорення Фрідмана, і\(\rho\), з правого боку.
Для узгодженості ми можемо перевірити, що гравітаційна сила Ньютона, що чиниться рівномірною сферою, в точці її внутрішньої частини, пропорційна r. Це класичний результат, який легко виводиться з теореми про оболонку Ньютона.