8.6: Джерела загальної теорії відносності (частина 3)

Геодезичний рух тестових частинок

Питання 1 було: «Чи завжди невеликий фізичний об'єкт має світову лінію, яка є приблизно геодезичною?» Іншими словами, чи дають експерименти Eötvös нульові результати при проведенні в лабораторіях з використанням реальних апаратів досить невеликих розмірів? Ми хотіли б, щоб щось такого типу було правдою, оскільки загальна відносність базується на принципі еквівалентності, а принцип еквівалентності мотивований нульовими результатами експериментів Етвеса. Тим не менш, досить легко показати, що відповідь на питання - ні, якщо ми не зробимо якесь більш конкретне припущення, наприклад, енергетичний стан, про систему, що моделюється.

Перш ніж турбуватися про енергетичні умови, давайте розглянемо, чому малий розмір апарату актуальний. По суті це відбувається через гравітаційного випромінювання. У гравітаційно випромінювальній системі, такій як бінарний пульсар Халсе-Тейлора (розділ 6.2), матеріальні тіла втрачають енергію, і, як і при будь-якому радіаційному процесі, випромінювана потужність залежить від квадрата сили джерела. Отже, світова лінія такого тіла залежить від його маси, і це показує, що його світова лінія не може бути точною геодезичною, оскільки спочатку дотичні світові лінії двох різних мас розходяться один від одного, і ці дві світові лінії не можуть бути геодезичними.

Давайте приступимо до наведення грубого аргументу на користь геодезичного руху і потім спробуємо тикати в ньому дірки. Коли ми перевіряємо геодезичний рух, ми проводимо експеримент Eötvös, який обмежений певною невеликою областю простору-часу S Світова лінія нашого тестового тіла входить в S з певним вектором енергії-імпульсу p і виходить з p '. Якби просторовий час був плоским, то теорема Гаусса тримала б точно, а зникаюча розбіжність\(\nabla_{b}\) T ^ab тензора напруження-енергія вимагала б, щоб вхідний потік, представлений p, був точно скасований вихідним потоком через p '. Насправді просторовий час не є плоским, і навіть неможливо порівняти p і p 'за винятком паралельного транспортування одного в те ж місце, що й інше. Паралельний транспорт залежить від шляху, але якщо ми зробимо розумне обмеження для шляхів, які залишаються в межах S, ми очікуємо, що неоднозначність через залежність від шляху буде пропорційною площі, укладеної будь-якими двома шляхами, так що якщо S досить малий, неоднозначність може бути зроблена невеликою. Ігноруючи цю невелику неоднозначність, ми бачимо, що одним із способів скасування потоків було б переміщення частинки уздовж геодезичної, оскільки p і p 'є дотичними до світової лінії тестового тіла, а геодезична - це крива, яка паралельно транспортує свій власний тангенсний вектор. Таким чином, геодезичний рух є одним з рішень, і ми очікуємо, що рішення буде майже унікальним, коли S невеликий.

Хоча цей аргумент майже вірний, він має деякі проблеми. Спочатку ми повинні запитати, чи означає «геодезичний» геодезичний повний простор-час, включаючи власні поля об'єкта, або фонового простору/часу B, який існував би без об'єкта. Останнє є більш розумною інтерпретацією, оскільки питання в основному задається питанням, чи дійсно простір можна визначити геометрично, як стверджує принцип еквівалентності, заснований на русі тестових частинок, вставлених в нього. Ми також повинні визначити такі слова, як «досить маленький» і «приблизно;» для цього ми уявляємо послідовність об'єктів На які стають все менше і менше, як n збільшується. Потім ми формуємо наступну гіпотезу, яка покликана сформулювати питання 1 більш точно: З урахуванням вакуумного фонового простору-часу B та часоподібної світової лінії\(\ell\) в B, розглянемо послідовність просторових часів Sn, утворену шляхом вставки On в B, таким чином, що: (i) метрика S _n визначається на ті ж точки, що і метрика B; (ii) На рухається уздовж\(\ell\), а для будь-якого r > 0 існує декілька n таких, що для m ≥ n O _m менше r; ⁹ (iii) метрика Sn наближається до метрики B як n → ∞. Тоді\(\ell\) йде геодезична робота Б.

Примітка

тобто в будь-якій точці P, спостерігач\(\ell\), що рухається вздовж\(\ell\) на P, визначає поверхню одночасності K, що проходить через P, і бачить тензор енергії напруженості On як зникаючий поза трисферою радіуса r в межах K і зосереджений на P

Це майже правильно, але не зовсім, як показує наступний контрприклад. Папапетру ¹⁰ показав, що спінінг тіло в вигнутому фоновому просторовічас відхиляється від геодезичного з прискоренням, пропорційним LR, де L - його кутовий момент, а R - кривизна Рімана. Нехай всі O _n мають фіксоване значення L, але нехай прядильна маса буде зосереджена в меншій і меншій області, коли n збільшується, щоб задовольнити (ii). Коли радіус r зменшується, рух частинок, що складають On, в кінцевому підсумку повинен стати ультрарелятивістським, так що основний внесок у гравітаційне поле здійснюється від кінетичної енергії частинок, а не їх маси спокою. Тоді у нас є L pr Er, так що для того, щоб зберегти L постійною, ми повинні мати E\(\propto \frac{1}{r}\). Це викликає дві проблеми. По-перше, це змушує гравітаційне поле підриватися на невеликих відстанях, порушуючи (iii). Крім того, ми очікуємо, що для будь-якої відомої форми матерії настане точка (ймовірно, межа Толмана-Оппенгеймера-Волкова), при якій ми отримаємо чорну діру; сингулярність тоді не є частиною просторучасу S _n, порушуючи (i). Але наш невдалий контрприклад може бути виправлений. Ми отримуємо запас екзотичної речовини, гравітаційна маса якої негативна, і ми змішуємо достатню кількість цього загадкового матеріалу в кожен O _n так, щоб гравітаційне поле скорочувалося, а не росло зі збільшенням n, і жодна чорна діра ніколи не утворювалася.

Елерс і Герох ¹¹ довели, що досить вимагати додаткової умови: (iv) O _n задовольняють домінуючому енергетичному умові. Це виключає наш контрприклад.

Ньютонівська межа

В одиницях з c ≠ 1 така величина, як\(\rho\) + P, виражається як\(\frac{\rho + P}{c^{2}}\). Ньютонівська межа відновлюється як c → ∞, що робить термін тиску незначним, так що всі енергетичні умови зменшуються до\(\rho\) ≥ 0. Що б означало, якби це було порушено? Чи буде ρ < 0 описувати об'єкт з негативною інерційною масою, який прискориться на схід, коли ви натиснете його на захід? Або це опише щось з негативною гравітаційною масою, що відштовхувало б звичайну речовину? Ми можемо уявити різні можливості, як показано на малюнку 8.1.5. Все, що не лежало на головній діагоналі, порушило б принцип еквівалентності, і тому було б неможливо вмістити в геометричний опис гравітації загальної відносності. Якби у нас була «upsidasium» матерія, така, як описана другим квадрантом фігури (приклад 2), гравітація була б як електрика, за винятком того, що подібні маси притягуються, а протилежності відштовхуються; ми могли б мати гравітаційні діелектрики та гравітаційні клітини Фарадея. Четвертий квадрант призводить до кумедних можливостей на зразок малюнка 8.1.6.

Малюнок\(\PageIndex{6}\) - Негативна маса.

Малюнок\(\PageIndex{7}\) - Чорна сфера зроблена зі звичайної матерії. Перехрещена сфера має позитивну гравітаційну масу і негативну інерційну масу. Якщо два з них розташувати поруч в порожньому просторі, вони обидва будуть неухильно розганятися вправо, поступово наближаючись до швидкості світла. Збереження імпульсу зберігається, тому що екзотична сфера має лівий імпульс, коли рухається вправо, тому загальний імпульс завжди дорівнює нулю.

Приклад 10: відсутність гравітаційного екранування

Електричні поля можна повністю виключити з клітки Фарадея, а магнітні поля можуть бути дуже сильно перекриті матеріалами з високою проникністю, такими як mu-метал. Було б цікаво, якби ми могли зробити те ж саме з гравітаційними полями, щоб ми могли мати партії з нульовою гравітацією або майже з нульовою гравітацією в спеціально екранованому приміщенні. Це була б форма антигравітації, але інша, ніж тип «upsidasium». На жаль, це зробити складно, а причина складного виявляється пов'язана з недоступністю матеріалів, що порушують енергетичні умови.

Спочатку нам потрібно визначити, що ми маємо на увазі під екрануванням. Обмежуємося ньютонівською межею, і одним виміром, так що гравітаційне поле задається функцією однієї змінної g (x). Найкращим видом екранування була б якась речовина, яку ми могли б вирізати ножицями і сформувати в коробку, і це виключило б гравітаційні поля з внутрішньої частини коробки. Це було б аналогічно клітці Фарадея; незалежно від того, в яке зовнішнє поле вона була вбудована, вона спонтанно підлаштовувалася б так, щоб внутрішнє поле було скасовано. Менш бажаним видом екранування був би той, який ми могли б створити на спеціальній основі, щоб анулювати конкретне, задане, зовнішньо нав'язане поле. Як тільки ми дізнаємося, що таке зовнішнє поле, ми намагаємося вибрати деяке розташування мас таким чином, щоб поле було обнулено. Ми покажемо, що навіть такого роду екранування є недосяжним, якщо обнулення поля інтерпретується як це означає: в якийсь момент, який для зручності ми приймаємо як початок, ми хочемо мати гравітаційне поле таке, що g (0)\(\frac{dg}{dx(0)}\) = 0, = 0,. \(\frac{d^{n} g}{dx^{n} (0)}\)= 0, де n довільно задано. Для порівняння, магнітні поля можуть бути знулені відповідно до цього визначення шляхом побудови відповідним чином обраної конфігурації котушок, таких як котушка Гельмгольца.

Оскільки ми робимо лише ньютонівську межу, гравітаційне поле - це сума полів, зроблених усіма джерелами, і ми можемо прийняти це як суму над точковими джерелами. Для точкового джерела m, розміщеного у x ₀, поле g (x) непарне при відображенні приблизно x ₀. Похідна поля g' (x) парна. Оскільки g' парний, ми не можемо контролювати його знак при x = 0, вибравши x ₀ > 0 або x ₀ < 0. Єдиний спосіб керувати знаком g' є вибір знака m, тому якщо знак похідної зовнішньо нав'язаного поля є неправильним, ми ніколи не зможемо його аннулювати. На малюнку 8.1.8 показаний окремий випадок цієї теореми. Теорема не відноситься до трьох вимірів, і вона не доводить, що всі поля неможливо вивести з нуля, тільки те, що деякі є. Наприклад, поле всередині напівсферичної оболонки можна обнулити, додавши ще одну напівсферичну оболонку для завершення сфери. Я дякую П.Аллену за корисне обговорення цієї теми.

Малюнок _8.1.8b.png» />

Малюнок\(\PageIndex{8}\) - Обнулення гравітаційного поля неможливо в одному вимірі без екзотичної матерії. Планета накладає незникаюче гравітаційне поле з незникаючим градієнтом. Ми можемо нулювати поле в одній точці простору, розмістивши сферу дуже щільною, але в іншому випадку нормальною, питання над головою. Фігура палиці все ще відчуває приливну силу, g' ≠ 0. 3. Щоб змінити похідну поля без зміни поля, ми можемо розмістити дві додаткові маси вище і нижче заданої точки. Але щоб змінити її похідну в потрібному напрямку - до нуля - нам довелося б зробити ці маси негативними.

Теореми про сингулярність

Важливим прикладом використання енергетичних умов є те, що Хокінг і Елліс довели, що за припущенням сильного енергетичного стану будь-яке тіло, яке стане досить компактним, в кінцевому підсумку утворює сингулярність. Ми можемо уявити, що формування чорної діри було б делікатною справою, що вимагає ідеально симетричних початкових умов, щоб в кінцевому підсумку отримати ідеально симетричну метрику Шварцшильда. Багато ранніх релятивістів так вважали, з поважних причин. Якщо ми подивимося навколо Всесвіту в різних масштабах, то виявимо, що зіткнення між астрономічними тілами трапляються вкрай рідко. Частково це пояснюється тим, що відстані величезні порівняно з розмірами об'єктів, а також тому, що збереження кутового імпульсу має тенденцію змусити об'єкти гойдатися один за одного, а не зіткнутися лоб. Починаючи з хмари об'єктів, наприклад, кулястого скупчення, закони Ньютона вкрай ускладнюють, незалежно від привабливого характеру гравітації, вибрати початкові умови, які змусять їх усіх зіткнутися з майбутнім. З одного боку, вони повинні були б мати рівно нульовий сумарний момент моменту.

Більшість релятивістів зараз вважають, що це не так. Загальна відносність описує гравітацію з точки зору перекидання світлових конусів. Коли поле досить сильне, існує тенденція до того, що світлові конуси перекидаються настільки далеко, що весь майбутній світловий конус вказує на джерело поля. Якщо це відбувається на всій поверхні, що оточує джерело, його називають захопленою поверхнею.

Щоб зробити це поняття світлових конусів «вказують на джерело» більш суворим, нам потрібно визначити об'ємне розширення\(\Theta\). Нехай множина всіх точок у просторовічасу (або якась відкрита його підмножина) виражається як об'єднання геодезичних. Це називається шаруванням в геодезиці, або конгруентністю. Нехай вектор швидкості по дотичній до такої кривої дорівнює u ^a. Потім визначаємося\(\Theta = \nabla_{a} u^{a}\). Це точно аналогічно класичному поняттю розбіжності поля швидкостей рідини, що є мірою стиснення або розширення. Так як\(\Theta\) є скаляром, він координатно-незалежний. Негативні значення\(\Theta\) вказують на те, що геодезики сходяться, внаслідок чого обсяги простору стискаються. Захоплена поверхня - це та, на якій\(\Theta\) є негативною, коли ми листяємось світлоподібними геодезиками, орієнтованими назовні вздовж нормалей до поверхні.

Коли утворюється захоплена поверхня, будь-яка грудочка або обертання в початкових умовах стає неактуальною, оскільки вся майбутня світова лінія кожної частинки лежить всередину, а не назовні. Можливою лазівкою в цьому аргументі є питання про те, чи дійсно світлові конуси перекинуться досить далеко. Ми могли б уявити, що в екстремальних умовах високої щільності та температури матерія може демонструвати незвичайну поведінку, можливо, включаючи негативну щільність енергії, яка потім призведе до гравітаційного відштовхування. Гравітаційне відштовхування, як правило, змушує світлові конуси кінчиком назовні, а не всередину, можливо, запобігаючи колапсу до сингулярності. Ми можемо закрити цю лазівку, припускаючи відповідну енергетичну умову. Пенроуз і Хокінг формалізували вищевказаний аргумент у вигляді пари теорем, відомих як теореми про сингулярність. Одна з них відноситься до утворення чорних дір, а інша - до космологічних особливостей, таких як Великий вибух.

У космологічній моделі природним є листкове використання світових ліній, які знаходяться в спокої щодо потоку Хаббла (або, що еквівалентно, світовим лініям спостерігачів, які бачать зникаючий дипольний момент на тлі космічного мікрохвильового випромінювання). Потім\(\Theta\) ми отримуємо позитивне, тому що Всесвіт розширюється. Об'ємне розширення\(\Theta\) = 3H ₀, де H ₀ ≈ 2,3 × 10 ⁻¹⁸ с ⁻¹ - константа Хаббла (дробова швидкість зміни масштабного коефіцієнта космологічних відстаней). Коефіцієнт трьох виникає тому, що обсяг пропорційний кубу лінійних розмірів.

Поточний стан

Поточний стан енергетичних умов хиткий. Хоча зрозуміло, що всі вони тримаються в самих різних ситуаціях, є вагомі підстави вважати, що вони порушуються як в мікроскопічних, так і в космологічних масштабах, з причин як класичних, так і квантово-механічних. ¹² Таке порушення ми побачимо в наступному розділі.

Космологічна константа

Включивши вихідний термін в рівняння поля Ейнштейна, наше найважливіше застосування буде космологія. Деякі з відповідних ідей зароджуються задовго до Ейнштейна. Після того, як Ньютон сформулював теорію гравітації як універсальної привабливої сили, він зрозумів, що буде тенденція до руйнування Всесвіту. Він вирішив цю складність, припустивши, що Всесвіт нескінченний у просторовій мірі, так що він не матиме центру симетрії, а отже, жодної кращої точки для руйнування. Біда з цим аргументом полягає в тому, що рівновага, яку він описує, нестійкий. Будь-яке збурення рівномірної щільності матерії порушує симетрію, приводячи до розпаду якогось кишені Всесвіту. Якщо радіус такої руйнується області дорівнює r, то її гравітація пропорційна r ³, а гравітаційне поле пропорційно\(\frac{r^{3}}{r^{2}}\) = r Так як його прискорення пропорційно власному розміру, час, необхідний для обвалення, не залежить від його розміру. Передбачення полягає в тому, що Всесвіт матиме самоподібну структуру, в якій скупчення на малих масштабах поводиться так само, як злипання на великих масштабах; збільшення або зменшення на такій картині дає пейзаж, який виглядає однаковим. З сучасним заднім числом, це насправді не погано узгоджується з реальністю. Ми спостерігаємо, що Всесвіт має ієрархічну структуру, що складається з сонячних систем, галактик, скупчень галактик, суперкластерів і так далі. Як тільки така конструкція починає конденсуватися, колапс має тенденцію зупинятися в якийсь момент через збереження кутового моменту. Так сталося, наприклад, коли наша власна Сонячна система сформувалася з хмари газу і пилу.

Ейнштейн стикався з подібними питаннями, але в більш гострій формі. Аргумент симетрії Ньютона, який провалився лише через свою нестабільність, ще гірше провалюється в відносності: весь простор-час може просто рівномірно скорочуватися з часом, не виділяючи якусь конкретну точку як центр. Крім того, не очевидно, що кутовий імпульс запобігає тотальному колапсу відносності так само, як це робиться класично, і навіть якби це сталося, як би це стосувалося Всесвіту в цілому? Макіанська орієнтація Ейнштейна змусила б його відкинути думку про те, що Всесвіт в цілому може перебувати в стані обертання, і в будь-якому випадку було розумно почати вивчення релятивістської космології з найпростіших і найбільш симетричних можливих моделей, які не мали б бажаної осі обертання.

Через ці проблеми Ейнштейн вирішив спробувати виправити своє рівняння поля, щоб це дозволило статичний Всесвіт. Озираючись назад на міркування, які привели нас до такої форми рівняння, ми бачимо, що воно дуже майже однозначно визначається наступними критеріями:

1. Вона повинна узгоджуватися з експериментальними даними для локального збереження енергетичного імпульсу.
2. Він повинен задовольняти принципу еквівалентності.
3. Вона повинна бути координатно-незалежною.
4. Вона повинна бути еквівалентна ньютонівській гравітації або «звичайній» загальній теорії відносності у відповідній межі.
5. Його не слід перевизначати.

Це не має на меті бути суворим доказом, лише загальним спостереженням, що нелегко возитися з теорією, не порушуючи її.

Приклад 11: Невдала спроба майстерності

Як приклад відсутності в структурі польових рівнянь «кімнати похитування», припустимо, що ми будуємо скаляр T ^a _a, слід тензора напруження-енергії, і спробуємо вставити його в польові рівняння як подальший термін джерела. Перша проблема полягає в тому, що рівняння поля включає тензори рангу 2, тому ми не можемо просто додати скаляр. Щоб обійти це, припустимо, ми помножимо на метрику. Тоді ми маємо щось на кшталт G _{ab = c 1 T ab + ^c 2 g ab} T _c, де дві константи c1 і c2 будуть обмежені вимогою, що теорія погоджується з ньютонівською гравітацією в класичній межі.

Щоб зрозуміти, чому ця спроба зазнає невдачі, зверніть увагу, що тензор напружено-енергії електромагнітного поля безслідний, T ^c _c = 0. Тому промінь зв'язку світла з гравітацією в семері c ₂ дорівнює нулю. Як обговорювалося раніше, емпіричні тести збереження імпульсу, отже, _{обмежують c 2} до\(\lesssim\) 10 ⁻⁸.

Один із способів, за допомогою якого ми можемо змінити рівняння поля, не порушуючи жодної з цих вимог, - додати термін\(\Lambda\) g _ab, даючи

\[G_{ab} = 8 \pi T_{ab} + \Lambda g_{ab}, \tag{8.1.22}\]

це те, що ми будемо називати рівнянням поля Ейнштейна. ¹³ Як ми побачимо в прикладі 12, це узгоджується з збереженням енергії-імпульсу (вимога 1 вище) тоді і тільки тоді, коли\(\Lambda\) є постійним. У прикладі 13 ми виявляємо, що його ефекти значні лише в найбільших масштабах, що робить його непомітним, наприклад, у тестах сонячної системи (критерій 4). З цих причин λ відносять до космологічної постійної. Як ми побачимо нижче, Ейнштейн представив його для того, щоб змусити певний тип космології працювати.

Примітка

У книгах, які використовують метрику − + + +, а не нашу + − − −, знак космологічного сталого терміна зворотний відносно нашого.

Ми також могли б вибрати, щоб поглинути термін\(\Lambda\) g _ab в польових рівняннях в 8\(\pi\) T _ab, ніби космологічний постійний термін був обумовлений деякою формою матерії. Тоді це була б ідеальна рідина (приклад 4) з негативним тиском, і це порушило б сильний енергетичний стан (приклад 14). Коли ми думаємо про це таким чином, в наші дні прийнято називати це темною енергією. Але навіть якщо ми вважаємо це аналогом матеріального поля, його сталість означає, що вона не має власних незалежних ступенів свободи. Він не може вібрувати, обертатися, текти, стискати або розріджувати, нагрівати або охолоджувати. Він діє як своєрідна енергія, яка автоматично вбудовується в кожен кубічний сантиметр простору. Це тісно пов'язано з тим, що його внесок в тензор стрес-енергії пропорційний метриці. Один із способів встановлення принципу еквівалентності (вимога 2 вище) полягає в тому, що сам простір не оснащений будь-яким іншим тензором, крім метрики.

Ейнштейн спочатку ввів позитивну космологічну константу, оскільки він хотів, щоб відносність могла описати статичний Всесвіт. Щоб зрозуміти, чому це матиме такий ефект, порівняйте його поведінку з поведінкою звичайної рідини. Коли звичайна рідина, така як вибухає повітряно-газова суміш в балоні автомобіля, розширюється, вона дійсно працює на навколишнє середовище, а тому за рахунок збереження енергії його власна внутрішня енергія знижується. Позитивна космологічна константа, однак, діє як певна кількість масової енергії, вбудованої в кожен кубічний метр вакууму. Таким чином, коли він розширюється, він вивільняє енергію. Його тиск негативний.

Тепер розглянемо наступний напіврелятивістський аргумент. Хоча ми вже бачили (розділ 6.2), що немає корисного способу розділити ролі кінетичної та потенційної енергії в загальній теорії відносності, припустимо, що в описі Всесвіту в цілому є деякі величини, аналогічні їм. (Нижче ми побачимо, що скорочення і розширення Всесвіту дійсно описується набором диференціальних рівнянь, які можна інтерпретувати по суті таким чином.) Якщо Всесвіт стискається, кубометр простору стає менше кубічного метра. Космологічно-постійна енергія, пов'язана з цим об'ємом, зменшується, тому частина енергії була витрачена. Кінетична енергія речовини, що руйнується, знижується, а колапс сповільнюється.

Приклад 12: Космологічна константа повинна бути постійною

Якщо\(\Lambda\) розглядається як форма матерії, то стає природним запитати, чи поширюється вона густіше в деяких місцях, ніж інші: чи справді космологічна «константа» постійна? Наступний аргумент показує, що він не може змінюватися. Рівняння поля є\(G_{ab} = 8 \pi T_{ab} + \Lambda g_{ab}\). Беручи розбіжність обох сторін, ми маємо\(\nabla^{a} G_{ab} = 8 \pi \nabla^{a} T_{ab} + \nabla^{a} (\Lambda g_{ab})\). Ліва сторона зникає (див. Раніше). Оскільки лабораторні експерименти перевірили збереження масової енергії з високою точністю для всіх форм речовини, представлених Т, ми\(\nabla^{a} T_{ab} = 0\) також маємо. Застосовуючи правило продукту до терміну\(\nabla^{a} (\Lambda g_{ab})\), отримуємо\(g_{ab} \nabla^{a} \Lambda + \Lambda \nabla^{a} g_{ab}\). Але коваріантна похідна метрики зникає, тому результат просто\(\nabla_{b} \Lambda\). Таким чином, будь-яка зміна космологічної константи у просторі чи часі порушує польові рівняння, і порушення еквівалентно порушенню, яке ми отримали б від форми матерії, ніж не зберігали масову енергію локально.

Приклад 13: Космологічна константа космологічна

Додавання цього\(\Lambda\) терміна являє собою зміну рівнянь вакуумного поля, і хороша згода між теорією та експериментом у випадку, наприклад, орбіти Меркурія ставить верхню межу\(\Lambda\) тоді означає, що вона\(\Lambda\) повинна бути невеликою. Для оцінки порядку величини врахуйте, що\(\Lambda\) має одиниці масової щільності, і єдиними параметрами з одиницями, які фігурують в описі орбіти Меркурія, є маса Сонця, м, і радіус орбіти Меркурія, р Релятивістські поправки до орбіти Меркурія знаходяться на порядку v ², або близько 10 ⁻⁸, і вони виходять правильно. Тому ми можемо оцінити, що космологічна константа не могла бути більшою за приблизно (10 ⁻⁸),\(\frac{m}{r^{3}}\) 10 ⁻¹⁰ кг/м ³, інакше це спричинило б помітні розбіжності. Це дуже бідна зв'язка; якби\(\Lambda\) був такий великий, ми могли б навіть виявити його наслідки в лабораторних експериментах. Дивлячись на роль, яку відіграє r в оцінці, ми бачимо, що верхню межу можна було зробити більш жорсткою, збільшивши r Спостереження на галактичних масштабах, наприклад, обмежують її набагато міцніше. Це виправдовує опис\(\Lambda\) як космологічного: чим більше масштаб, тим більш значущим\(\Lambda\) буде ефект ненульового.

Приклад 14: Енергетичні умови

Оскільки права частина рівняння поля дорівнює 8\(\pi\) T _ab +\(\Lambda\) g _ab, то можна розглядати космологічну константу як тип речовини, що сприяє тензору напруження-енергії. Тоді ми маємо\(\rho\) = −P =\(\frac{\Lambda}{8 \pi}\). Як більш детально описано в розділі 8.2, тепер ми знаємо, що\(\Lambda\) є позитивним. \(\Lambda\)З> 0, слабкі та домінуючі енергетичні умови задовольняються, так що в кожній системі відліку,\(\rho\) є позитивним і немає потоку енергії, що протікає зі швидкістю, більшою за c Від'ємний тиск порушує сильну енергетичну умову, що означає, що константа діє як форма гравітаційного відштовхування. Якщо космологічна постійна є твором квантово-механічної структури вакууму, то це порушення не надто дивно, адже квантові поля, як відомо, порушують різні енергетичні умови. Наприклад, щільність енергії між двома паралельними провідними пластинами негативна через ефект Казимира.

Посилання

¹⁰ Проц. Королівський Соц. Лондон А 209 (1951) 248. Відповідний результат підсумований у Misner, Thorne та Wheeler, Гравітація, стор. 1121.

¹¹ arxiv.org/абс/гр-ак/0309074v1

¹² Барсело і Віссер, «Сутінки для енергетичних умов? ,» http://arxiv.org/abs/gr-qc/0205066v1.