8.8: Принцип Маха переглянуто

Теорія Бренса-Діка

Сам Мах ніколи не встиг заявити про свої ідеї у вигляді точно перевіреної фізичної теорії, і ми бачили, що в тій мірі, в якій надії та інтуїція Ейнштейна були сформовані ідеями Маха, він часто відчував, що його власна теорія гравітації виявилася короткою. Читач досі стикався з принципом Маха в контексті певних експериментів думки, які очевидно неможливо реалізувати, включаючи гіпотетичний Всесвіт, який порожній, за винятком певного апарату (наприклад, розділ 3.6). Тоді було б легко отримати враження про принцип Маха як про одну з тих теорій, яка «навіть не помиляється», тобто настільки непроста, що вона не може бути навіть фальсифікована експериментом, більше, ніж може бути християнство.

Але в 1961 році Роберт Діке та його учень Карл Бранс придумали теорію гравітації, яка робила перевірені прогнози, і яка була спеціально розроблена, щоб бути більш Макіаном, ніж загальною відносністю. Їх стаття ³² надзвичайно читабельна, навіть для неспеціаліста. У цій теорії, здавалося б, надійне експлуатаційне визначення рами Лоренца, наведене в розділі 1.5, не вдається. На першій сторінці Бранс і Діке пропонують один з тих, здавалося б, дурних експериментів думки про майже порожній Всесвіт:

Недосконале вираження ідей [Маха] в цілому відносності можна побачити, розглядаючи випадок простору порожній, за винятком самотнього експериментатора в його лабораторії. [...] Спостерігач, згідно із загальною відносністю, спостерігав би нормальну поведінку свого апарату відповідно до звичних законів фізики. Однак, також відповідно до загальної теорії відносності, експериментатор міг встановити свою лабораторію обертається, висунувши вікно і стріляючи по дотичній гвинтівці 22-го калібру. Після цього делікатний гіроскоп в лабораторії продовжуватиме вказувати в напрямку, майже фіксованому відносно напрямку руху швидко відступаючої кулі. Гіроскоп обертався б відносно стінок лабораторії. Таким чином, з точки зору Маха, крихітна, майже безмасова, дуже далека куля здається більш важливою, ніж масивні, прилеглі стіни лабораторії при визначенні інерційних координатних кадрів і орієнтації гіроскопа.

Потім вони приступають до побудови математичної і більш Макіанської теорії гравітації. З точки зору Макіана правильне локальне визначення інерційного кадру має бути визначено щодо основної маси матерії у Всесвіті. Ми хочемо зберегти лоренціанський локальний характер простору-часу, тому цей вплив не може передаватися миттєвою дією на відстані. Він повинен поширюватися через деяке фізичне поле зі швидкістю, меншою або рівною c. Неправдоподібно, що це поле буде гравітаційним полем, як описано загальною відносністю. Припустимо, ми розділимо космос на ряд концентричних сферичних оболонок, зосереджених на нашій галактиці. У ньютонівській механіці гравітаційне поле підпорядковується закону Гаусса, тому поле такої оболонки однаково зникає на внутрішньому просторі. У відносності відповідним твердженням є теорема Біркгофа, яка стверджує, що метрика Шварцшильда є унікальним сферично симетричним рішенням рівнянь вакуумного поля. Враховуючи це рішення у зовнішньому всесвіті, ми можемо встановити граничну умову на зовнішній поверхні оболонки, використовувати рівняння поля Ейнштейна, щоб продовжити рішення через неї, і знайти унікальне рішення на внутрішній стороні, яке є просто плоским простором.

Оскільки ефект Макіана не може бути перенесений гравітаційним полем, Бранс і Діке взяли ідею, запропоновану раніше Паскуалем Джорданом ³³ про гіпотезу допоміжного поля\(\phi\). Той факт, що таке поле ніколи не було виявлено, прямо говорить про те, що воно не має ні маси, ні заряду. Якщо він безмасовий, він повинен поширюватися точно з, і це також має сенс, оскільки якби він поширювався зі швидкістю менше c, не було б очевидного фізичного параметра, який би визначав цю швидкість. Скільки тензорних індексів він повинен мати? Оскільки принцип Маха намагається дати рахунок інерції, а інерційна маса - скаляр, ³⁴ імовірно\(\phi\) повинен бути скаляром (квантованим частинкою спін-нуль). Теорії цього типу називаються тензорно-скалярними теоріями, оскільки в них крім метричного тензора використовується скалярне поле.

Нотатки

³³ Йорданія була членом нацистської Sturmabteilung або «коричневих сорочок», який тим не менш біг проти нацистів за його тісні професійні стосунки з євреями.

³⁴ На анізотропії інерційної маси протона встановлено межу 5 × 10 ⁻²³: Р.В.П. Древер, «Пошук анізотропії інерційної маси за допомогою техніки вільної прецесії», Філософський журнал, 6:687 (1961) 683.

Хвильове рівняння для безмасового скалярного поля, за відсутності джерел, просто\(\nabla_{i} \nabla^{i}_{\phi}\) = 0. Розв'язки цього хвильового рівняння падають як\(\phi \sim \frac{1}{r}\). Це м'якше, ніж\(\frac{1}{r^{2}}\) варіація гравітаційного поля, тому такі результати, як теорема про оболонку Ньютона та теорема Біркгофа, більше не застосовуються. Якщо в якості джерела виступає сферична оболонка маси\(\phi\), то\(\phi\) може бути ненульовою і варіюватися всередині оболонки. Те\(\phi\), що ви відчуваєте зараз, читаючи цю книгу, має бути сумою хвилетів, що походять з усіх мас, чиї світові лінії перетинали поверхню вашого минулого світлового конуса. У статичному Всесвіті ця сума буде розходитися лінійно, тому вимога самоузгодженості для гравітації Бренса-Діка полягає в тому, що вона повинна виробляти космологічні рішення, які уникають такої розбіжності, наприклад, ті, які починаються з Великої чубчика.

Маси є джерелами поля\(\phi\). Як вони повинні з'єднатись з цим? Оскільки\(\phi\) є скаляром, нам потрібно побудувати скаляр як його джерело, і єдиним розумним скаляром, який може грати цю роль, є слід тензора стрес-енергії, T ^{i i} _i. Як обговорювалося в прикладі 11, це зникає для світла, тому єдиними джерелами\(\phi\) є матеріальні частинки. ³⁵ Незважаючи на це, теорія Бренса-Діка зберігає форму принципу еквівалентності. Як обговорювалося в розділі 1.5 та задачі 7, принцип еквівалентності є твердженням про результати локальних експериментів, і в будь-якому даному місці\(\phi\) у Всесвіті переважають внески матерії, що лежать на космологічних відстанях. Об'єкти різного складу матимуть різні частки своєї маси, що виникають від внутрішніх електромагнітних полів. Два таких об'єкта все одно будуть слідувати ідентичній геодезиці, так як їх власний вплив на місцеве значення\(\phi\) мізерно мало. Це на відміну від поведінки електрично заряджених об'єктів, які відчувають значні ефекти зворотної реакції у вигнутому просторі (задача 7). Однак найсильніша форма принципу еквівалентності вимагає, щоб всі експерименти в вільно падаючих лабораторіях давали однакові результати, незалежно від того, де і коли вони проводяться. Гравітація Бренса-Діка порушує це, тому що такі експерименти могли б виявити відмінності між значеннями\(\phi\) в різних місцях - але, звичайно, це невід'ємна частина мети теорії.

Примітка

Це призводить до винятку з наведеного вище твердження, що всі космічні часи Бренса-Діка, як очікується, будуть виглядати як космології Великого вибуху. Будь-яке рішення польових рівнянь GR, що містить нічого, крім вакууму та електромагнітних полів (відомого як рішення «electrovac»), також є дійсним простором Бренса-Діка. У такому просторічасу константа\(\phi\) може бути встановлена довільно. Такий простор часу в деякому сенсі не є загальним для гравітації Бренса-Діка.

Тепер нам потрібно побачити, як підключитися\(\phi\) до локального поняття інерції, щоб створити ефект такого роду, який би, як правило, виконував принцип Маха. У оригінальній формулюванні Маха це спричинило б якесь локальне масштабування всіх інерційних мас, але Бранс і Дікке зазначають, що в теорії гравітації це еквівалентно масштабуванню гравітаційної константи Ньютона G вниз тим же фактором. Останній виявляється більш якісним підходом. З одного боку, він має природне тлумачення з точки зору одиниць. Оскільки\(\phi\) амплітуда падає\(\frac{1}{r}\), як, ми можемо написати\(\phi \sim \frac{\Sigma m_{i}}{r}\), де сума знаходиться над минулим світловим конусом. Якщо ми потім зробимо ідентифікацію\(\phi\) з\(\frac{1}{G}\) (або\(\frac{c^{2}}{G}\) в системі, де c ≠ 1), одиниці працюють належним чином, і постійна зв'язку між питання і\(\phi\) може бути безроздільною. Якби ця константа зв'язку\(\frac{1}{\omega}\), позначена, не була безроздільною, то прогнозне значення теорії було б ослаблено, тому що не було б можливості знати, яке значення вибрати для неї. Для безодиничної константи, однак, є розумний спосіб здогадатися, якою вона повинна бути: «в будь-якій розумній теорії, - пишуть Бранс і Дікке, -\(\omega\) повинна бути загального порядку єдності». Це, звичайно, припускаючи, що теорія Бренса-Діка була правильною. Загалом, є й інші розумні значення, які слід вибрати для безроздільного числа, включаючи нуль та нескінченність. Межа\(\omega\) → ∞ відновлює окремий випадок загальної відносності. Таким чином, принцип Маха, який колись здавався занадто розпливчастим, щоб бути емпірично фальсифікованим, зводиться до вимірювання конкретного числа\(\omega\), яке кількісно визначає, наскільки немакіанським є наш Всесвіт. ³⁶

Примітка

Іншими вагомими технічними причинами для мислення\(\phi\) як про відношення до гравітаційної константи є те, що загальна відносність має стандартний рецепт для опису полів на тлі вигнутого простору-часу. Рівняння вакуумного поля загальної відносності можуть бути отримані з принципу найменшої дії, і хоча деталі виходять за рамки цієї книги (див., наприклад, Вальд, Загальна відносність, додаток E), загальна ідея полягає в тому, що ми визначаємо щільність Лагранжа LG, яка залежить від Річчі скалярна кривизна, а потім екстремізувати її інтеграл над усіма можливими історіями еволюції гравітаційного поля. Якщо ми хочемо описати якесь інше поле, наприклад, питання, світло, або\(\phi\), ми просто беремо спеціально-релятивістський Лагранжа\(\mathcal{L}_{M}\) для цього поля, змінити всі похідні на коваріантні похідні і сформувати суму\((\frac{1}{G}) \mathcal{L}_{G} + \mathcal{L}_{M}\). У теорії Бренса-Діка у нас є три частини\((\frac{1}{G}) \mathcal{L}_{G} + \mathcal{L}_{M} + \mathcal{L}_{\phi}\), де\(\mathcal{L}_{M}\) є для матерії і\(\mathcal{L}_{\phi}\) для\(\phi\). Якби ми інтерпретували\(\phi\) як масштабування інерції, тоді нам довелося б\(\phi\) з'явитися як фактор помадки, що змінює всі внутрішні роботи\(\mathcal{L}_{M}\). Якщо, з іншого боку, ми думаємо про зміну значення гравітаційної константи G, то необхідна модифікація гранично проста.\(\phi\) Бранс і Діке вводять ще одну модифікацію,\(\mathcal{L}_{\phi}\) щоб постійна зчеплення\(\omega\) між речовиною і\(\phi\) могла бути безроздільною. Ця модифікація не впливає на хвильове рівняння\(\phi\) в плоскому просторовічасу.

Пророцтва теорії Бренса-Діка

Повертаючись до прикладу сферичної оболонки маси, ми можемо побачити виходячи з міркувань одиниць, що значення\(\phi\) всередині має бути\(\sim \frac{m}{r}\), де m - загальна маса оболонки і r - її радіус. Попереду може бути неодиничний фактор, який буде залежати від\(\omega\), але для 1\(\omega\) ми очікуємо, що ця константа буде порядку 1. Розв'язування неприємного набору польових рівнянь, які є результатом їх Лагранжа, Бранса та Діке дійсно знайшли\(\phi \approx \big[ \frac{2}{3 + 2 \omega} \big](\frac{m}{r})\), де константа в квадратних дужках є порядковою єдністю, якщо\(\omega\) є порядковою єдністю. У межі\(\omega\) → ∞,\(\phi\) = 0, а оболонка не має фізичного впливу на її внутрішню частину, як передбачається загальною відносністю.

Бранс і Діке також змогли обчислити космологічні моделі, і в типовій моделі з майже просторово плоским всесвітом вони виявили, що вони\(\phi\) будуть відрізнятися залежно від

\[\phi = 8 \pi \frac{4 + 3 \omega}{6 + 4 \omega} \rho_{o} t^{2}_{o} \left(\dfrac{t}{t_{o}}\right)^{\frac{2}{4 + \omega}},\]

де\(\rho_{o}\) - щільність матерії у Всесвіті в момент t = t _o. Коли щільність речовини мала, G велика, що має ті ж спостережні наслідки, що і зникнення інерції; це саме те, чого очікують за принципом Маха. Для\(\omega\) → ∞ гравітаційна «константа» G =\(\frac{1}{\phi}\) дійсно постійна.

Повертаючись до розумового експерименту за участю гвинтівки 22-го калібру, вистріляв у вікно, ми виявляємо, що в цій уявній всесвіті, при дуже малій щільності речовини, G повинна бути дуже великою. Це спричиняє ефект перетягування кадру з лабораторії на гіроскоп, набагато сильніший, ніж ми бачили б у нашому Всесвіті. Бранс і Діке розрахували цей ефект для лабораторії, що складається з сферичної оболонки, і хоча технічні труднощі заважали надійній екстраполяції їх результату до\(\rho_{o}\) → 0, тенденція полягала в тому, що, як\(\rho_{o}\) стало мало, ефект перетягування кадру буде ставати сильнішим і сильнішим, імовірно, врешті-решт змушує гіроскоп попередній процес в блокуванні з лабораторією. Таким чином, не було б можливості визначити, як тільки куля була далеко, що лабораторія обертається взагалі - в ідеальній відповідності з принципом Маха.

Підказки емпіричної підтримки

Лише через шість років після публікації теорії Бренса-Дікке сам Діке разом з Г.М.Гольденбергом ³⁷ здійснив вимір, який, здавалося, підтримував теорію емпірично. П'ятдесят років тому одним з перших емпіричних випробувань загальної теорії відносності, який він, здавалося, пройшов з літаючими кольорами, була аномальна перигелійна прецесія Меркурія. Слово «аномальний», яке часто залишається поза увагою в описах цього тесту, потрібно, оскільки існує багато нерелятивістських причин, чому орбіта Меркурія переступає, включаючи взаємодію з іншими планетами та сплюснуту форму Сонця. Тільки тоді, коли ці інші ефекти віднімаються, можна побачити загально-релятивістський ефект, розрахований у розділі 6.2. Волосність сонця важко виміряти оптично, тому початковий аналіз даних продовжувався шляхом визначення періоду обертання сонця, спостерігаючи сонячні плями, а потім припускаючи, що опуклість Сонця була такою, що обертається рідина в статичній рівновазі. Результатом стала передбачувана облямірованість приблизно 1 × 10 ⁻⁵. Але ми знаємо, що динаміка сонця складніша, ніж ця, оскільки вона має конвекційні потоки і магнітні поля. Діке, який вже був відомим експериментатором, поставив собі за мету визначити облятність прямими оптичними вимірюваннями, і результат був (5,0 ± 0,7) × 10 ⁻⁵, що, хоча все ще дуже мало, було достатньо, щоб поставити спостережувану прецесію перигелію поза згодою із загальною відносністю приблизно на 8%. Прецесія перигелію, передбачена гравітацією Бранса-Діка, відрізняється від загального релятивістського результату на коефіцієнт\(\frac{4 + 3 \omega}{6 + 3 \omega}\). Отже, дані вимагали\(\omega\) ≈ 6 ± 1, що не відповідає загальній теорії відносності.

Малюнок\(\PageIndex{1}\) - Апарат, який використовували Діке та Гольденберг для вимірювання освітленості сонця, по суті, був телескопом із вставленим диском для того, щоб затемнити більшу частину світла від сонця.

Принцип Маха помилковий

Біда з вимірюваннями сонячної облатності полягала в тому, що вони піддавалися великій кількості можливих систематичних помилок, і з цієї причини було бажано знайти більш надійний тест на гравітацію Бренса-Діка. Лише приблизно в 1990 році виникла консенсус, заснований на вимірах коливань сонячної поверхні, що значення попереднього Діке було правильним. Тим часом плутанина мала благотворний ефект стимулювання ренесансу теоретичної та експериментальної роботи в загальній теорії відносності. Часто, якщо у вас немає альтернативної теорії, у людини немає розумних підстав для розробки та інтерпретації експериментів для перевірки оригінальної теорії.

В даний час найкраще пов'язане на ω базується на вимірах ³⁸ поширення радіосигналів між землею та космічним зондом Кассіні-Гюйгенса в 2003 році, які вимагають\(\omega\) > 4 × 10 ⁴. Це набагато більше, ніж єдність, що розумно взяти Бранса і Діке на слово, що «в будь-якій розумній теорії\(\omega\) має бути загального порядку єдності». Бренс-Діке провалює цей тест, і вже не є «розумним» кандидатом на теорію гравітації. Тепер ми бачимо, що принцип Маха, далеко не нечіткий шматок філософського погляду на пупок, є перевіреною гіпотезою. Це було перевірено і визнано помилковим, у наступному сенсі. Гравітація Бренса-Діке приблизно така ж природна формальна реалізація принципу Маха, на яку можна було сподіватися, і це дає нам число ω, яке параметризує, яким є Макіан Всесвіт. Емпіричне значення\(\omega\) настільки велике, що показує, що наш Всесвіт, по суті, такий же немакіанський, як загальна відносність.

Посилання

³² C. Бранс і Р.Х. Діке, «Принцип Маха і релятивістська теорія гравітації», Фізичний огляд 124 (1961) 925

³⁷ Діке і Гольденберг, «Сонячна блаженність і загальна відносність», Фізичний огляд Листи 18 (1967) 313

³⁸ Бертотті, Іесс і Тортора, «Випробування загальної теорії відносності за допомогою радіозв'язків з космічним апаратом Кассіні», Природа 425 (2003) 374