8.1: Джерела загальної теорії відносності (частина 1)

Точкові джерела в фоновому незалежній теорії

Рівняння Шредінгера та рівняння Максвелла розглядають простор-час як етап, на якому частинки та поля виконують свою роль. Загальна теорія відносності, однак, по суті, сама теорія простору-часу. Роль, яку відіграють атоми або промені світла, настільки периферична, що до того часу, коли Ейнштейн вивів приблизну версію метрики Шварцшильда, і використовував її для пошуку прецесії перигелію Меркурія, він все ще мав лише розпливчасті уявлення про те, як світло і матерія впишуться в картину. У своєму розрахунку Меркурій зіграв роль тестової частинки: грудочки маси настільки крихітної, що її можна кинути в простор-час, щоб виміряти кривизну простору-часу, не турбуючись про його вплив на просторовий час, який, як вважають, незначним. Так само сонце трактувалося, як в одному з тих оркестрових творів, в яких деякі духові грати поза сценою, щоб створити ефект другої групи, почутої здалеку. Його маса з'являється просто як регульований параметр m у метриці, і якби ми ніколи не чули про ньютонівську теорію, ми б не мали можливості знати, як інтерпретувати m.

Коли Шварцшильд опублікував своє точне рішення рівнянь вакуумного поля, Ейнштейн страждав від філософського розладу шлунка. Його тверда віра в принцип Маха змусила його повірити, що існує парадокс, неявний у точному просторовічасі з лише однією масою в ньому. Якщо польові рівняння Ейнштейна мали щось означати, він вважав, що їх потрібно інтерпретувати з точки зору руху одного тіла відносно іншого. У всесвіті з однією лише масивною частинкою не було б відносного руху, і так, як йому здавалося, ніякого руху, і жодного змістовного тлумачення для навколишнього просторучасу.

Мало того, але рішення Шварцшильда мало особливість у своєму центрі. Коли класична теорія поля містить особливості, Ейнштейн вважав, що вона містить насіння власного руйнування. Як ми бачили в розділі 6.3, це питання ще далеко не вирішене, через століття.

Як би він не любив відхреститися від нього, Ейнштейн тепер мав рішення своїх польових рівнянь для точкового джерела. У лінійній, фонової залежності теорії, як електромагнетизм, знання такого рішення призводить безпосередньо до здатності записувати рівняння поля з включеними джерелами. Якщо закон Кулона говорить нам про\(\frac{1}{r^{2}}\) варіацію електричного поля точкового заряду, то можна зробити висновок про закон Гаусса. Ситуація в загальній теорії відносності не така проста. Польові рівняння загальної відносності, на відміну від закону Гаусса, нелінійні, тому ми не можемо просто сказати, що планета або зірка - це рішення, яке потрібно знайти шляхом складання великої кількості розв'язків точки-джерела. Також незрозуміло, як можна представляти рухоме джерело, оскільки сингулярність - це точка, яка навіть не є частиною безперервної структури простору-часу (а її розташування також приховано за горизонтом подій, тому її не можна спостерігати ззовні).

Рівняння поля Ейнштейна

Тензор Ейнштейна

Враховуючи ці труднощі, не дивно, що перша спроба Ейнштейна включити джерела в його рівняння поля була тупиком. Він постулював, що рівняння поля матиме тензор Річчі з одного боку, а тензор енергії напруження\(T^{ab}\) (розділ 5.2) з іншого,

\[R_{ab} = 8 \pi T_{ab},\]

де коефіцієнт\(\frac{G}{c^{4}}\) праворуч пригнічується нашим вибором одиниць, а 8\(\pi\) визначається на основі узгодженості з ньютонівською гравітацією в межі слабких полів і низьких швидкостей. Задача з цією версією рівнянь поля може бути продемонстрована шляхом підрахунку змінних. R і T - симетричні тензори, тому рівняння поля містить 10 обмежень на метрику: 4 від діагональних елементів і 6 від позадіагональних.

Крім того, локальне збереження масової енергії вимагає властивості без розбіжностей\(\nabla_{b}T^{ab} = 0\). Для побудови прикладу нагадаємо, що єдиною складовою,\(T\) для якої ми до сих пір ввели будь-яку фізичну інтерпретацію\(T^{tt}\), є, яка дає щільність мас-енергії. Припустимо, у нас був тензор напружено-енергії, компоненти якого були нульовими, за винятком часового компонента, що змінюється як\(T^{tt} = kt\). Це описувало б область простору, в якій масова енергія рівномірно з'являлася або зникала всюди з постійною швидкістю. Щоб заборонити такі приклади, нам потрібно володіти власністю, вільною від розбіжностей. Це точно аналогічно рівнянню безперервності в механіці рідини або електромагнетизму,

\[\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \textbf{J} = 0\]

(або\(\nabla_{a} J^{a}\) = 0), в якому зазначено, що кількість рідини або заряду зберігається.

Але накладення умови без розбіжностей додає ще чотири обмеження на метрику, загалом 14. Метрика, однак, є симетричним тензором 2-го рангу, тому він має лише 10 незалежних компонентів. Це перевищення метрики говорить про те, що запропоноване рівняння поля взагалі не дозволить розв'язку розвиватися вперед у часі з набору початкових умов, заданих на космічній поверхні, і це виявляється правдою. Фактично можна показати, що єдино можливими рішеннями є ті, в яких сліди R = R ^{a _a} і\(T = T^a_a\) є постійними протягом просторового часу.

Рішення полягає в заміні\(R_{ab}\) в польових рівняннях на інший тензор\(G_{ab}\), званий тензором Ейнштейна, визначеним

\[G_{ab} = R_{ab} − \left(\dfrac{1}{2}\right)Rg_{ab}\]

або

\[G_{ab} = 8 \pi T_{ab}\]

Тензор Ейнштейна побудований саме так, що він вільний від розбіжностей,\(\nabla_{b} G^{ab}\) = 0. (Це не очевидно, але може бути доведено прямим обчисленням.) Тому будь-який тензор енергії напруження, який задовольняє рівнянню поля, автоматично розбіжності менше, і, отже, не потрібно застосовувати додаткові обмеження, щоб гарантувати збереження маси енергії.

Вправа\(\PageIndex{1}\):

Самостійна перевірка: Чи замінює R _{ab на G ab} недійсним метрику Шварцшильда?

Ця процедура внесення локального збереження масової енергії «запечена» до рівнянь поля аналогічна способу обробки збереження заряду в електриці та магнетизмі, де вона випливає з рівнянь Максвелла, а не потрібно додавати як окреме обмеження.

Інтерпретація тензора енергії стресу

Тензор енергії напруженості був коротко введений в розділі 5.2. Застосовуючи ньютонівську межу рівняння поля до метрики Шварцшильда, ми знаходимо, що ^{T tt} слід ідентифікувати як щільність маси\(\rho\). Метрика Шварцшильда описує просторучас, використовуючи координати, в яких маса знаходиться в стані спокою. У космологічних додатках, які ми розглянемо найближчим часом, також має сенс прийняти систему відліку, в якій локальна масова енергія в середньому знаходиться в стані спокою, тому ми можемо продовжувати думати про ^{T tt} як (середню) масову щільність. За симетрії Т повинна бути діагональною в такій оправі. Наприклад, якби ми мали T ^tx ≠ 0, то позитивний напрямок x відрізнялося б від негативного напрямку х, але немає нічого, що дозволило б таку різницю.

Приклад 1: Пил в іншому кадрі

Як обговорювалося в прикладі 14, в космології зручно розрізняти радіацію та «пил», що означає невзаємодіючі нерелятивістські матеріали, такі як водневий газ або галактики. Тут «нерелятивістський» означає, що в сполучній рамці, в якій зникає середній потік пилу, всі частинки пилу мають |v| << 1. Що таке тензор стрес-енергії, пов'язаний з пилом?

Оскільки пил нерелятивістський, ми можемо отримати ньютонівську межу, використовуючи одиниці, в яких c ≠ 1, і дозволяючи c наблизитися до нескінченності. У декартових координатах компоненти стрес-енергії мають одиниці, які змушують їх масштабувати подібно

\[T^{\mu \nu} \propto \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c^{2}} & \frac{1}{c^{2}} & \frac{1}{c^{2}} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c^{2}} & \frac{1}{c^{2}} & \frac{1}{c^{2}} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{c^{2}} & \frac{1}{c^{2}} & \frac{1}{c^{2}} \end{pmatrix}\]

Таким чином, в межі c → ∞ ми можемо прийняти єдиним джерелом гравітаційних полів T ^tt, який у ньютонівській гравітації повинен бути щільністю маси\(\rho\), тому

\[T^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ldotp\]

Під імпульсом Лоренца на v у напрямку x закон трансформації тензора дає

\[T^{\mu' \nu'} = \begin{pmatrix} \gamma^{2} \rho & \gamma^{2} v \rho & 0 & 0 \\ \gamma^{2} v \rho & \gamma^{2} v^{2} \rho & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ldotp\]

Загальний коефіцієнт\(\gamma^{2}\) виникає через поєднання двох ефектів: масова енергія кожної частинки пилу збільшується в рази\(\gamma\), а скорочення довжини також примножує щільність частинок пилу на коефіцієнт\(\gamma\). В межі малих прискорень тензор стрес-енергії стає

\[T^{\mu' \nu'} \approx \begin{pmatrix} \rho & v \rho & 0 & 0 \\ v \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ldotp\]

Це мотивує інтерпретацію часово-просторових складових Т як потоку масової енергії уздовж кожної осі. У загрунтованій рамці масова енергія з щільністю\(\rho\) тече у напрямку x зі швидкістю v, так що швидкість, з якою масова енергія проходить через вікно площі А в площині y − z, задається\(\rho vA\).

Це також узгоджується з нашим нав'язуванням властивості без розбіжностей, за допомогою якого ми по суті заявляли, що T tx є швидкістю потоку T ^tt.

Приклад 2: Центр масової енергії

У ньютонівській механіці для руху в одному вимірі сумарний імпульс системи частинок задається p _tot = Mv _cm, де M - загальна маса, а v _см - швидкість центру маси. Чи існує таке відношення в відносності?

Оскільки маса і енергія еквівалентні, ми очікуємо, що релятивістський еквівалент центру маси повинен бути центром масової енергії.

Також повинно бути зрозуміло, що центр масової енергії може бути чітко визначений лише для області простору-часу, яка досить мала, щоб ефекти через кривизну були незначними. Наприклад, ми можемо мати космологічні моделі, в яких простір є кінцевим і розширюється, як поверхня повітряної кулі, що підривається. Якщо модель однорідна (на поверхні повітряної кулі немає «особливих точок»), то немає точки в просторі, яка могла б бути центром. (Справжня повітряна куля має центр, але в нашій метафорі лише сферична поверхня повітряної кулі відповідає фізичному простору.) Фундаментальним питанням тут є той самий геометричний, який змусив нас зробити висновок про відсутність глобального збереження масової енергії в загальній теорії відносності (див. Розділ 4.5). У криволінійному просторовічасі паралельний транспорт залежить від шляху, тому ми не можемо однозначно визначити спосіб додавання векторів, що відбуваються в різних місцях. Центр маси визначається сумою векторів положення. З цих міркувань робимо висновок, що центр масової енергії тільки добре визначається в спеціальній теорії відносності, а не загальної теорії відносності.

Для простоти давайте обмежимося розмірами 1+1, і візьмемо систему відліку, в якій центр маси знаходиться в стані спокою при x = 0.

Оскільки ^{T tt} трактується як щільність масової енергії, положення центру мас має бути задано

\[0 = \int x T^{tt} dx \ldotp\]

За аналогією з ньютонівським співвідношенням p _tot = Mv _cm, давайте подивимося, що відбувається, коли ми диференціюємо по відношенню до часу. Швидкість центру мас тоді дорівнює 0 =\(\frac{dx_{cm}}{dt} = \int \partial_{t} T^{tt} x dx\). Застосовуючи властивість без\(\partial_{t} T^{tt} + \partial_{x} T^{tx} = 0\) розбіжностей, це стає 0 =\(− \int \partial_{x} T^{tx} x dx\). Інтеграція частинами дає нам нарешті

\[0 = \int T^{tx} dx \ldotp\]

Ми вже інтерпретували T ^tx як швидкість потоку масової енергії, що є ще одним способом опису імпульсу. Тому ми можемо інтерпретувати T ^tx як щільність імпульсу, а права частина цього рівняння як загальний імпульс. Інтерпретація полягає в тому, що центр масової енергії системи знаходиться в спокої тоді і тільки тоді, коли він має нульовий загальний імпульс.

Припустимо, наприклад, що готуємо рівномірний металевий стрижень так, щоб один кінець був гарячим, а іншим холодним. Потім ми відкладаємо його в космічний простір, спочатку нерухомий щодо якогось спостерігача. Хоча сам стрижень рівномірний, його масова енергія дуже трохи нерівномірна, тому його центр масової енергії повинен бути зміщений трохи від центру, до гарячого кінця. Коли стрижень наближається до теплової рівноваги, спостерігач бачить, що він прискорюється дуже незначно, а потім знову приходить на відпочинок, так що його центр масової енергії залишається нерухомим! Ще чужий випадок описаний в прикладі 9.

Оскільки тензор Ейнштейна симетричний, рівняння поля Ейнштейна вимагає, щоб тензор енергії напруження-енергії був симетричним. Обнадійливо, що згідно з прикладом 1 тензор симетричний для пилу, і що симетрія зберігається змінами координат і накладеннями джерел. Крім пилу, іншими космологічно значущими джерелами гравітації є електромагнітне випромінювання та космологічна постійна, і можна також перевірити, чи дають вони симетрію. Белінфанте зазначив у 1939 році, що симетрія, здавалося, не вдалася у випадку полів із внутрішнім спіном, але він виявив, що цієї проблеми можна уникнути, змінивши раніше передбачуваний спосіб підключення T до властивостей поля. Це показує, що можна досить тонко інтерпретувати тензор енергії стресу і підключити його до експериментальних спостережуваних. Детальніше про це підключення, а також випадку електромагнітних полів дивіться приклади 7 і 8.

У прикладі 1 ми виявили, що ^{T xt} потрібно було інтерпретувати як потік ^{T tt} (тобто потік маси енергії) по осі x. Інваріантність Лоренца вимагає, щоб ми ставилися до t, x, y та z симетрично, і це змушує нас прийняти таке тлумачення: T ^{\(\mu \nu\)}, де\(\mu\) космічний, - це потік щільності чотири-вектора масової енергії в напрямку μ. У рухомому кадрі, в декартових координатах, це означає, що T ^xx, T ^yy та T ^zz слід інтерпретувати як тиск. Наприклад, T ^xx - це потік у напрямку x x імпульсу. Це просто тиск, P, який буде чинити на поверхні з його нормаллю в напрямку х, тому в сполучній рамці ми маємо T ^{\(\mu \nu\)}= діаг (\(\rho\), P, P, P). Для рідини, яка не знаходиться в рівновазі, тиск не повинен бути ізотропним, а напруга, яку надає рідина, не повинна бути перпендикулярною поверхні, на яку вона діє. Просторово-просторові компоненти T були б класичним тензором напружень, діагональні елементи якого є анізотропним тиском, і чиї позадіагональні елементи - напруга зсуву. Це і є причиною для виклику Т тензором стрес-енергії.

Прогнозування загальної відносності полягає в тому, що тиск діє як гравітаційне джерело з точно такою ж силою, як щільність масової енергії. Це має важливі наслідки для космології, оскільки в ранньому Всесвіті переважало випромінювання, а фотонний газ має P =\(\frac{\rho}{3}\) (приклад 14).

Експериментальні випробування

Але як ми знаємо, що це передбачення навіть вірне? Чи можна це перевірити в лабораторії? Класичним лабораторним випробуванням сили гравітаційного джерела є експеримент Кавендіша 1797 року, в якому торсіонний баланс використовувався для вимірювання дуже слабких гравітаційних атракціонів між металевими сферами. Ми могли б перевірити цей аспект загальної відносності, виконавши експеримент Кавендіша з коробками, наповненими фотонами, щоб тиск був таким же порядком, як і масова енергія. Це, на жаль, абсолютно непрактично, оскільки і P, і\(\rho\) для добре освітленої коробки смішно малі в\(\rho\) порівнянні з металевою кулькою.

Малюнок _8.1.1b.png» />

Малюнок\(\PageIndex{1}\) - Баланс Кавендіша, використовується для визначення гравітаційної константи.

Однак відштовхуюче електромагнітний тиск всередині атомного ядра досить велике за звичайними мірками — близько 10 ³³ Па! Щоб побачити, наскільки велика ця щільність порівняно з щільністю ядерної маси\(\rho ∼ 10^{18}\) кг/м ³, нам потрібно врахувати коефіцієнт c ² ≠ 1 в одиницях СІ, в результаті\(\frac{P}{\rho}\) чого приблизно 10 ⁻², що не дуже мало. Таким чином, якщо ми виміряємо гравітаційні взаємодії ядер з різними значеннями\(\frac{P}{\rho}\), ми повинні бути в змозі перевірити це прогнозування загальної відносності. Це було зроблено в Прінстонському PhD-дисертаційному експерименті Kreuzer ¹ в 1966 році.

Перш ніж ми зможемо правильно описати та інтерпретувати експеримент Крейцера, нам потрібно розрізнити кілька різних типів маси, які в принципі можуть відрізнятися один від одного в теорії гравітації. Ми вже стикалися з різницею між інерційною та гравітаційною масою, яка експерименти Етвеса показують, що еквівалентна приблизно одній частині в 10 ¹². Але існує також відмінність між активною гравітаційною масою об'єкта m _a, яка вимірює його здатність створювати гравітаційні поля, та його пасивною гравітаційною масою mp, яка вимірює силу, яку він відчуває при розміщенні у зовнішньому генеруючому полі. Для експериментів з використанням лабораторномасштабних матеріальних об'єктів з нерелятивістськими швидкостями застосовується ньютонівська межа, і про активну гравітаційну масу можна вважати скаляром, з щільністю T ^tt =\(\rho\).

Щоб зрозуміти, як це відноситься до тиску як джерела гравітаційних полів, корисно розглянути випадок, коли Р приблизно такий же\(\rho\), що відбувається для світла. Світло за своєю суттю релятивістський, тому ньютонівська концепція скалярної гравітаційної маси руйнується, але ми все ще можемо використовувати «масу» в цитатах, щоб якісно говорити про активну та пасивну участь електромагнітної хвилі в гравітаційних ефектах. Експерименти показують, що загальна відносність правильно пророкує відхилення світла сонцем приблизно до однієї частини в 10 ⁵ (розділ 6.2). Це електромагнітний еквівалент експерименту Етвеса; він показує, що загальна відносність пророкує правильну річ щодо пропорції між інерційними та пасивними гравітаційними «масами» світлової хвилі. Тепер припустимо, що загальна відносність була неправильною, і тиск не був джерелом гравітаційних полів. Це призвело б до різкого зменшення активної гравітаційної «маси» електромагнітної хвилі.

Експеримент Крейцера фактично займався статичними електричними полями всередині ядер, а не електромагнітними хвилями, але все ж зрозуміло, чого слід очікувати взагалі: якщо тиск не виступає гравітаційним джерелом, то співвідношення\(\frac{m_{a}}{m_{p}}\) має бути різним для різних ядер. Зокрема, він повинен бути нижчим для ядра з більшим атомним номером Z, в якому електростатичний тиск вище.

Крейцер зробив експеримент Кавендіша, рис. 8.1.2, використовуючи маси, виготовлені з двох різних речовин. Першим речовиною був тефлон. Друга речовина представляла собою суміш рідин трихлоретилену та диброметану з пропорціями, підібраними таким чином, щоб надати щільність, максимально наближену до щільності тефлону. Тефлон становить 76% фтору за вагою, а рідина - 74% брому. Фтор має атомний номер Z = 9, бром Z = 35, і оскільки електромагнітна сила має великий діапазон, тиск всередині ядра масштабується приблизно як Z ^1/3 (оскільки будь-який даний протон діє на Z - 1 інші протони, а розмір ядра масштабується як Z 1/3, так\(P \propto \frac{Z}{(Z^{1/3})^{2}}\). Тверда маса була занурена в рідину, а об'єднане гравітаційне поле твердого тіла і рідини було виявлено за допомогою кавендішского балансу.

Малюнок\(\PageIndex{2}\) - Спрощена схема модифікації Крейцера. Рухома тефлонова маса занурюється в рідину з майже однаковою щільністю.

В ідеалі можна було б сформулювати рідку суміш так, щоб її пасивнамасова щільність була точно дорівнює щільності тефлону, що визначається плавучістю. Будь-яке коливання крутного моменту, виміряного балансом Кавендіша, вказувало б на нерівномірність між активною та пасивною гравітаційною масою.

Малюнок _8.1.3b.png» />

Малюнок\(\PageIndex{3}\) - Експеримент Крейцера. Існують дві пасивні маси, Р, і активна маса А, що складається з одного тефлонового циліндра діаметром 23 см, зануреного в рідину. Тефлоновий циліндр приводиться в рух вперед-назад з періодом 400 с. отриманий прогин крутильного променя контролюється оптичним важелем і скасовується активно електростатичними силами від обкладок конденсатора (не показано). Напруга, необхідна для цього активного скасування, є мірою крутного моменту, що чиниться A на торсіонну балку. Активна маса в залежності від температури. Пасивна маса як функція температури. І в 2, і в 3 вимірюється температура в одиницях Ом, тобто некаліброваних одиницях термістора, який був занурений в рідину.

Насправді дві речовини, що беруть участь, мали різні коефіцієнти теплового розширення, тому незначні коливання температури робили їх щільності пасивної маси нерівномірними. Тому Крейцер вимірював як плавучу силу, так і гравітаційний крутний момент як функції температури. Він визначив, що вони стали нульовими при однаковій температурі, щоб в межах експериментальних помилок, які перевіряли еквівалентність активної і пасивної гравітаційної маси в межах певної точності,

\[m_{p} \propto m_{a}\]

з точністю до 5 × 10 ⁻⁵.

Крейцер передбачав цей експеримент лише як випробування m _p m _a, але він був переосмислений у 1976 році Волею ² як випробування зчеплення джерел з гравітаційними полями, як передбачено загальною теорією відносності та іншими теоріями гравітації. Грубо кажучи, ми вже стверджували, що mp ma буде залежним від речовини, якщо тиск не з'єднається з гравітаційними полями. Буде реально проведений більш ретельний розрахунок, з якого я представляю спрощене резюме. Припустимо, що тиск не так сильно сприяє гравітаційним полям, як стверджується загальною відносністю; його зв'язок зменшується на коефіцієнт 1 − х, де x = 0 у загальній теорії відносності. ³ Буде розглянуто модель, що складається з точкових частинок, що взаємодіють за допомогою статичних електричних сил, і показує, що для такої системи

\[m_{a} = m_{p} + \frac{1}{2} x U_{e},\]

де U _е - електрична енергія. Експеримент Крейцера вимагає |x| < 6 × 10 ⁻², тобто тиск сприяє формуванню гравітаційних полів, передбачених загальною відносністю, з точністю до 6%.

Примітка

У позначеннях Вілла\(\zeta_{4}\) вимірює нестандартне з'єднання з тиском,\(\zeta_{3}\) внутрішньою енергією та\(\zeta_{1}\) кінетичною енергією. Вимагаючи, щоб моделі точкових частинок узгоджувалися з моделями ідеальної рідини, можна отримати\((−\frac{2}{3}) \zeta_{1} = \zeta_{3} = − \zeta_{4} = x\).

Один з важливих способів, за допомогою якого розрахунок Вілла виходить за межі мого попереднього грубого аргументу, полягає в тому, що він показує, що коли х = 0, як це робиться для загальної відносності, термін корекції\(\frac{xU_{e}}{2}\) зникає, а m _a = m _p точно. Це трактується наступним чином. Нехай ядро брому називається з великої M, фтор з малим регістр m Тоді, коли ядро брому і ядро фтору гравітаційно взаємодіють на відстані r, застосовується ньютонівське наближення, і загальна внутрішня сила, що діє на пару ядер, взятих як ціле, дорівнює\(\frac{m_{p} M_{a} − M_{p} m_{a}}{r^{2}}\) (в одиниць, де ньютонівська гравітаційна константа G дорівнює 1). Це зникає, лише якщо m _p M _a − M _p m _a = 0, що еквівалентно\(\frac{m_{p}}{M_{p}} = \frac{m_{a}}{M_{a}}\). Якщо ця пропорційність не вдається, то система порушує третій закон Ньютона і збереження імпульсу; її центр маси буде прискорюватися по лінії, що з'єднує два ядра, або в напрямку М, в залежності від знака х.

Таким чином, зникнення коригувального терміна\(\frac{xU_{e}}{2}\) говорить нам, що загальна відносність передбачає точне збереження імпульсу в цій взаємодії. Це втішно, але трохи дивно на обличчя. Ньютонівська гравітація трактує активну і пасивну масивну ідеально симетрично, так що є ідеальна гарантія збереження імпульсу. Але відносність включає їх повністю асиметрично, тому немає очевидних причин, що ми повинні мати ідеальне збереження імпульсу. Насправді ми не маємо жодної загальної гарантії збереження імпульсу, оскільки, як обговорювалося в розділі 4.5, мова загальної відносності навіть не дає нам символів, які нам потрібні для того, щоб сформувати глобальний закон збереження вектора. Загальна відносність, однак, дозволяє місцеві закони збереження. Ми матимемо локальне збереження масової енергії та імпульсу за умови\(\nabla_{b} T^{ab}\) зникнення розбіжності тензора стрес-енергії.

Бартлетт і ван Бюрен ⁴ використовували цей зв'язок для збереження імпульсу в 1986 році, щоб отримати більш жорстку межу на х Оскільки Місяць має асиметричний розподіл заліза і алюмінію, ненульовий х призведе до аномального прискорення вздовж певної лінії. Оскільки місячний лазерний діапазон дає надзвичайно точні дані про орбіту Місяця, обмеження посилюється до |x| < 1 × 10 ⁻⁸.

Малюнок\(\PageIndex{4}\) - Місія Apollo 11 залишила за собою це дзеркало, яке на цій фотографії показує відображення чорного неба. Дзеркало використовується для місячних лазерних дальнометражних вимірювань, які мають точність близько сантиметра.

Це тести прогнозів загальної відносності щодо гравітаційних полів, що генеруються тиском статичного електричного поля. Крім того, є непряме підтвердження (розділ 8.2), що загальна відносність є правильною, коли мова йде про електромагнітні хвилі.

Посилання

¹ Крейцер, Фіз. Преподобний 169 (1968) 1007

^{2 Воля}, «Активна маса в релятивістській гравітації: теоретична інтерпретація експерименту Крейцера», Ap. Дж. 204 (1976) 234, доступний в Інтернеті за адресою adsabs. harvard.edu. Більш широкий огляд експериментальних тестів загальної теорії відносності наведено в Волі, «Протистояння загальної теорії відносності та експерименту», Relativity.Livingreviews.org/Articles/LRR-2006-3/. Експеримент Крейцера розглядається в розділі 3.7.

⁴ Фіз. Преподобний Летт 57 (1986) 21. Результат підсумований в розділі 3.7 огляду Воля.