4.1: Лоренц Скаляри

Скаляр Лоренца - це величина, яка залишається інваріантною як при просторових обертаннях, так і при збільшенні Лоренца. Маса - скаляр Лоренца. ¹ Електричний заряд також є скаляром Лоренца, що продемонстровано з надзвичайно високою точністю експериментами вимірювання електричної нейтральності атомів і молекул з відносною точністю краще 10 ⁻²⁰; електрон в атомі водню має зазвичай швидкості близько 1/100, і ті, що знаходяться в більш важких елементах, таких як уран, є дуже релятивістськими, тому будь-яке порушення інваріантності Лоренца дасть атомам незникаючий чистий електричний заряд.

Примітка

Деякі старі книги визначають масу як трансформацію відповідно до m →$\gamma$ m, що може бути зроблено, щоб дати самопослідовну теорію, але є потворною.

Час, виміряний годинником, що подорожує по певній світовій лінії від однієї події до іншої, - це те, про що погодяться всі спостерігачі; вони просто відзначать невідповідність з власними годинниками. Тому це скаляр Лоренца. Цей час годинника, виміряний годинником, прикріпленим до рухомого тіла, про який йде мова, часто називають належним часом, «власне» використовується тут у дещо архаїчному сенсі «власний» або «себе», як у «Ватикан не лежить в Італії». Власний час, який ми відзначаємо τ, можна визначити лише для часових світових ліній, оскільки світлоподібна або космічна світова лінія неможлива для матеріального годинника.

Більш загально, коли ми виражаємо метрику як ds ² =., кількість ds є скаляром Лоренца. В окремому випадку тимчасової світової лінії, ds і dτ - це одне і те ж. (У книгах, які використовують метрику − + ++, одна має ds = − d$\tau$.)

Ще більш загально афінні параметри, які взагалі існують незалежно від будь-якої метрики, є скалярами. Як тривіальний приклад, якщо$\tau$ належний час конкретного об'єкта, то$\tau$ є дійсним афінним параметром, але так само 2$\tau$ +7. Менш тривіально, правильний час фотона завжди дорівнює нулю, але все ще можна визначити афінний параметр уздовж його траєкторії. Такий афінний параметр нам знадобиться, наприклад, в розділі 6.2, коли ми обчислюємо відхилення променів світла сонцем, один з ранніх класичних експериментальних тестів загальної відносності.

Іншим прикладом скаляра Лоренца є тиск досконалої рідини, яке часто передбачається як опис речовини в космологічних моделями.

Приклад 1: Нескінченність і годинник «постулат»

На початку глави 3 я мотивував використання нескінченності як корисних інструментів для виконання диференціальної геометрії у криволінійному просторовому часі. Навіть у контексті особливої відносності, однак, нескінченність може бути корисною. Одним із способів вираження належного часу, накопиченого на рухомому годиннику, є

$$\begin{split} s &= \int ds \\ &= \int \sqrt{g_{ij} dx^{i} dx^{j}} \\ &= \int \sqrt{1 - \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2} - \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2} - \left(\dfrac{dz}{dt}\right)^{2}} dt, \end{split}$$

який містить лише явну залежність від швидкості годинника, а не його прискорення. Це приклад годинникового «постулату», про який йдеться в зауваження в кінці завдання домашнього завдання 1. Зверніть увагу, що постулат годинника застосовується лише в межах невеликого годинника. Це представлено у вищенаведеному рівнянні використанням нескінченно малих величин на кшталт dx.