4.4: Закони трансформації тензорів

Ми можемо побажати представити вектор в більш ніж одній системі координат, і перетворити назад і вперед між двома уявленнями. У загальній теорії відносності перетворення координат не обов'язково повинні бути лінійними, як при перетвореннях Лоренца; це може бути будь-яка плавна функція один до одного. Однак для простоти ми починаємо з розгляду одновимірного випадку і, припускаючи, що координати пов'язані афінним чином,

$$x'^{\mu} = ax^{\mu} + b.$$

Додавання константи$b$ - це лише зміна вибору походження, тому воно не впливає на компоненти вектора, але розширення за фактором$a$ дає зміну масштабу, що призводить до контраваріантного вектора.$v'^{\mu} = av^{\mu}$ В особливому випадку, коли$v$ є нескінченно малий зсув, це узгоджується з результатом, знайденим шляхом неявної диференціації координатного перетворення. Для контраваріантного вектора,$v'_{\mu} = \frac{1}{a} v_{\mu}$. Узагальнюючи до більш ніж одного виміру, і до можливо нелінійного перетворення, ми маємо

$$v'^{\mu} = v^{\kappa} \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}} \label{[1]}$$

$$v'_{\mu} = v_{\kappa} \frac{\partial x'^{\kappa}}{\partial x^{\mu}} \label{[2]}$$

Зверніть увагу на інверсію часткової похідної в одному рівнянні порівняно з іншим. Оскільки ці рівняння описують зміну від однієї системи координат до іншої, вони чітко залежать від системи координат, тому ми використовуємо грецькі індекси, а не латинські, які вказують на координатно-незалежне рівняння. Зверніть увагу, що буква$\mu$ в цих рівняннях завжди з'являється як індекс, що відноситься до нових координат,$\kappa$ до старих. З цієї причини ми можемо піти від скидання простих чисел і написання, наприклад,$v^{\mu} = \frac{v^{\kappa} \partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}}$ замість того, щоб$v'$ розраховувати на контекст, щоб показати, що$v^{\mu}$ це вектор, виражений у нових координатах,$v^{\kappa}$ у старих. Це стає особливо природним, якщо ми починаємо працювати в певній системі координат, де координати мають імена. Наприклад, якщо ми трансформуємо з координат (t, x, y, z) в (a, b, c, d), то зрозуміло, що$v^t$ виражається в одній системі і$v^c$ в іншій.

Вправа$\PageIndex{1}$

Нагадаємо, що калібрувальні перетворення, дозволені в загальній теорії відносності, не є просто будь-якими координатними перетвореннями; вони повинні бути (1) гладкими і (2) один-на-один. Пов'язати обидві ці вимоги з особливостями законів векторного перетворення вище.

У Equation\ ref {[2]}$\mu$ відображається як індекс у лівій частині рівняння, але як верхній індекс праворуч. Це, здається, порушує наші правила позначення, але тлумачення тут полягає в тому$\frac{\partial}{\partial x_{i}}$, що у виразах форми$\frac{\partial}{\partial x^{i}}$ та верхні та індекси слід розуміти як перевернуті догори дном. Аналогічно, Equation\ ref {[1]}, схоже, має неявну суму над, написану неграматично, причому обидва$\kappa$ відображаються як надскрипти. Зазвичай ми маємо на увазі лише суми, в яких індекс з'являється один раз у вигляді верхнього індексу та один раз як індекс. З нашим новим правилом інтерпретації індексів на дні похідних, мається на увазі, що мається на увазі сума написана правильно. Це правило схоже на правило для аналізу одиниць похідних, написаних у позначенні Лейбніца, з, наприклад,$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$ мають одиниці метрів на секунду в квадраті. Тобто перегортання таких індексів потрібно для узгодженості, щоб все працювало належним чином, коли ми змінюємо одиниці виміру, змушуючи масштабувати всі наші векторні компоненти.

Кількість$v$, яка трансформується відповідно до рівнянь\ ref {[1]} або\ ref {[2]}, називається тензором рангу 1, який є тим самим, що і вектор.

Приклад 17: Трансформація ідентичності

У разі перетворення$x'^{\mu} = x^{\mu}$ тотожності Equation\ ref {[1]} явно дає v' = v, так як всі змішані часткові$\mu \neq \kappa$ похідні$\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}}$ з нулем, а всі похідні для$\kappa = \mu$ рівних 1.

У Equation\ ref {[2]} заманливо писати

$$\frac{\partial x^{\kappa}}{\partial x'^{\mu}} = \frac{1}{\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}}} \quad (wrong!),$$

але це дало б нескінченні результати для змішаних термінів! Тільки у випадку функцій однієї змінної можна перевернути похідні таким чином, це не працює для часткових похідних. Щоб оцінити ці часткові похідні, ми повинні інвертувати перетворення (що в цьому прикладі тривіально виконати), а потім взяти часткові похідні.

Метрика є тензором 2-го рангу, і перетворюється аналогічно:

$$g_{\mu \nu} = g_{\kappa \lambda} \frac{\partial x^{\kappa}}{\partial x'^{\mu}} \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x'^{\nu}}$$

написання g, а не g' ліворуч, тому що контекст робить відмінність чітким).

Вправа$\PageIndex{2}$

Самоперевірка: Напишіть подібні вирази для$g^{\mu \nu}, g^{\mu}_{\nu}$$g^{\nu}_{\mu}$, і, які повністю визначаються граматичними правилами написання верхніх і нижніх індексів. Інтерпретувати випадок тензора рангу-0.

Приклад 18: Прискорена система координат?

Давайте подивимося на вплив Лоренціанської метрики g перетворення

$$t' = t \qquad x' = x + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp$$

Обернене перетворення

$$t = t' \qquad x = x' - \frac{1}{2} at'^{2} \ldotp$$

Закон тензорного перетворення дає

$$g'_{t' t'} = 1 - (at')^{2}$$

$$g'_{x' x'} = -1$$

$$g'_{x' t'} = -at' \ldotp$$

Очевидно, що щось погане відбувається при$at' = ±1$, коли відносна швидкість перевершує швидкість світла:$t'$ складова метрики зникає, а потім змінює свій знак. Це було б фізично нерозумно, якби ми розглядали це як перетворення з Лоренціанського кадру спостерігача А в прискорюючу опорну рамку спостерігача B на борту космічного корабля, який відчуває постійне прискорення. Кілька речей заважають такому тлумаченню:

1. B не може перевищувати швидкість світла.
2. Навіть до того, як B досягне швидкості світла, координата$t'$ не може відповідати належному часу B, який розширюється.
3. Через тимчасове розширення A і B не погоджуються про швидкість, з якою B прискорюється. Якщо B вимірює власне прискорення як a ', A буде судити, що це < a', а → 0, коли B наближається до швидкості світла.

У системі координат немає нічого недійсного (t', x'), але вона не має жодної фізично цікавої інтерпретації.

Приклад 19: Фізично значиме постійне прискорення

Щоб зробити більш фізично значущу версію прикладу 18, нам потрібно використовувати результат прикладу 4. Дещо безладне виведення координатного перетворення дає Семей. ¹¹ Результат

$$t' = \left(x + \dfrac{1}{a}\right) \sinh at$$

$$x' = \left(x + \dfrac{1}{a}\right) \cosh at$$

Застосування закону тензорного перетворення дає (завдання 7):

$$g'_{t' t'} = (1 + ax')^{2}$$

$$g'_{x' x'} = -1$$

На відміну від результату прикладу 18, цей ніколи не поводиться погано. Тісно пов'язана тема однорідного гравітаційного поля в загальній теорії відносності розглядається в задачі 7.

---

¹¹ arxiv.org/абс/фізика/0601179

Приклад 20: Точні сигнали синхронізації

Співвідношення між потенціалом A і полями E і B, наведеними в розділі 4.2, може бути записано в явно коваріантній формі як

$$F_{ij} = \partial _{[i}A_{j]}$$

де F, званий електромагнітним тензором, - антисиметричний тензор ранга-два, шість незалежних компонентів якого певним чином відповідають складовим E і B тривекторів. Якщо F повністю зникає в певний момент просторучасу, то лінійна форма законів тензорного перетворення гарантує, що він зникне у всіх системах координат, а не тільки в одній. Система GPS використовує цей факт при передачі синхронізаційних сигналів від супутників користувачам. Електромагнітна хвиля модулюється так, що біти, які вона передає, представлені фазовими розворотами хвилі. При цих фазових розворотах F зникає, і це зникнення справедливо незалежно від руху одиниці користувача або його положення в земному гравітаційному полі. Див. завдання 17.

Приклад 21: Імпульс хоче нижчий індекс

У прикладі 5 ми побачили, що як тільки ми довільно вирішили писати лінійки вимірювань у евклідовому трипросторі як$\Delta$ x ^a, а не$\Delta$ x _a, стало природним думати про ньютонівську силу threevector як «бажаючих», щоб бути позначені нижчим індексом. Ми можемо зробити щось подібне з імпульсом 3- або 4-вектора. Лагранж є релятивістським скаляром, а в механіці Лагранжа імпульс визначається$p_{a} = \frac{\partial L}{\partial v^{a}}$. Верхній індекс у знаменнику праворуч стає нижнім індексом зліва за тими ж міркуваннями, які використовувалися при позначенні законів тензорного перетворення. Другий закон Ньютона показує, що це узгоджується з результатом прикладу 5.