4.4: Закони трансформації тензорів

Ми можемо побажати представити вектор в більш ніж одній системі координат, і перетворити назад і вперед між двома уявленнями. У загальній теорії відносності перетворення координат не обов'язково повинні бути лінійними, як при перетвореннях Лоренца; це може бути будь-яка плавна функція один до одного. Однак для простоти ми починаємо з розгляду одновимірного випадку і, припускаючи, що координати пов'язані афінним чином,

\[x'^{\mu} = ax^{\mu} + b.\]

Додавання константи\(b\) - це лише зміна вибору походження, тому воно не впливає на компоненти вектора, але розширення за фактором\(a\) дає зміну масштабу, що призводить до контраваріантного вектора.\(v'^{\mu} = av^{\mu}\) В особливому випадку, коли\(v\) є нескінченно малий зсув, це узгоджується з результатом, знайденим шляхом неявної диференціації координатного перетворення. Для контраваріантного вектора,\(v'_{\mu} = \frac{1}{a} v_{\mu}\). Узагальнюючи до більш ніж одного виміру, і до можливо нелінійного перетворення, ми маємо

\[v'^{\mu} = v^{\kappa} \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}} \label{[1]}\]

\[v'_{\mu} = v_{\kappa} \frac{\partial x'^{\kappa}}{\partial x^{\mu}} \label{[2]}\]

Зверніть увагу на інверсію часткової похідної в одному рівнянні порівняно з іншим. Оскільки ці рівняння описують зміну від однієї системи координат до іншої, вони чітко залежать від системи координат, тому ми використовуємо грецькі індекси, а не латинські, які вказують на координатно-незалежне рівняння. Зверніть увагу, що буква\(\mu\) в цих рівняннях завжди з'являється як індекс, що відноситься до нових координат,\(\kappa\) до старих. З цієї причини ми можемо піти від скидання простих чисел і написання, наприклад,\(v^{\mu} = \frac{v^{\kappa} \partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}}\) замість того, щоб\(v'\) розраховувати на контекст, щоб показати, що\(v^{\mu}\) це вектор, виражений у нових координатах,\( v^{\kappa}\) у старих. Це стає особливо природним, якщо ми починаємо працювати в певній системі координат, де координати мають імена. Наприклад, якщо ми трансформуємо з координат (t, x, y, z) в (a, b, c, d), то зрозуміло, що\(v^t\) виражається в одній системі і\(v^c\) в іншій.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Нагадаємо, що калібрувальні перетворення, дозволені в загальній теорії відносності, не є просто будь-якими координатними перетвореннями; вони повинні бути (1) гладкими і (2) один-на-один. Пов'язати обидві ці вимоги з особливостями законів векторного перетворення вище.

У Equation\ ref {[2]}\(\mu\) відображається як індекс у лівій частині рівняння, але як верхній індекс праворуч. Це, здається, порушує наші правила позначення, але тлумачення тут полягає в тому\(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\), що у виразах форми\(\frac{\partial}{\partial x^{i}}\) та верхні та індекси слід розуміти як перевернуті догори дном. Аналогічно, Equation\ ref {[1]}, схоже, має неявну суму над, написану неграматично, причому обидва\(\kappa\) відображаються як надскрипти. Зазвичай ми маємо на увазі лише суми, в яких індекс з'являється один раз у вигляді верхнього індексу та один раз як індекс. З нашим новим правилом інтерпретації індексів на дні похідних, мається на увазі, що мається на увазі сума написана правильно. Це правило схоже на правило для аналізу одиниць похідних, написаних у позначенні Лейбніца, з, наприклад,\(\frac{d^{2} x}{dt^{2}}\) мають одиниці метрів на секунду в квадраті. Тобто перегортання таких індексів потрібно для узгодженості, щоб все працювало належним чином, коли ми змінюємо одиниці виміру, змушуючи масштабувати всі наші векторні компоненти.

Кількість\(v\), яка трансформується відповідно до рівнянь\ ref {[1]} або\ ref {[2]}, називається тензором рангу 1, який є тим самим, що і вектор.

Приклад 17: Трансформація ідентичності

У разі перетворення\(x'^{\mu} = x^{\mu}\) тотожності Equation\ ref {[1]} явно дає v' = v, так як всі змішані часткові\(\mu \neq \kappa\) похідні\(\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}}\) з нулем, а всі похідні для\(\kappa = \mu\) рівних 1.

У Equation\ ref {[2]} заманливо писати

\[\frac{\partial x^{\kappa}}{\partial x'^{\mu}} = \frac{1}{\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}}} \quad (wrong!),\]

але це дало б нескінченні результати для змішаних термінів! Тільки у випадку функцій однієї змінної можна перевернути похідні таким чином, це не працює для часткових похідних. Щоб оцінити ці часткові похідні, ми повинні інвертувати перетворення (що в цьому прикладі тривіально виконати), а потім взяти часткові похідні.

Метрика є тензором 2-го рангу, і перетворюється аналогічно:

\[g_{\mu \nu} = g_{\kappa \lambda} \frac{\partial x^{\kappa}}{\partial x'^{\mu}} \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x'^{\nu}}\]

написання g, а не g' ліворуч, тому що контекст робить відмінність чітким).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Самоперевірка: Напишіть подібні вирази для\(g^{\mu \nu}, g^{\mu}_{\nu}\)\(g^{\nu}_{\mu}\), і, які повністю визначаються граматичними правилами написання верхніх і нижніх індексів. Інтерпретувати випадок тензора рангу-0.

Приклад 18: Прискорена система координат?

Давайте подивимося на вплив Лоренціанської метрики g перетворення

\[t' = t \qquad x' = x + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

Обернене перетворення

\[t = t' \qquad x = x' - \frac{1}{2} at'^{2} \ldotp\]

Закон тензорного перетворення дає

\[g'_{t' t'} = 1 - (at')^{2}\]

\[g'_{x' x'} = -1\]

\[g'_{x' t'} = -at' \ldotp\]

Очевидно, що щось погане відбувається при\(at' = ±1\), коли відносна швидкість перевершує швидкість світла:\(t'\) складова метрики зникає, а потім змінює свій знак. Це було б фізично нерозумно, якби ми розглядали це як перетворення з Лоренціанського кадру спостерігача А в прискорюючу опорну рамку спостерігача B на борту космічного корабля, який відчуває постійне прискорення. Кілька речей заважають такому тлумаченню:

1. B не може перевищувати швидкість світла.
2. Навіть до того, як B досягне швидкості світла, координата\(t'\) не може відповідати належному часу B, який розширюється.
3. Через тимчасове розширення A і B не погоджуються про швидкість, з якою B прискорюється. Якщо B вимірює власне прискорення як a ', A буде судити, що це < a', а → 0, коли B наближається до швидкості світла.

У системі координат немає нічого недійсного (t', x'), але вона не має жодної фізично цікавої інтерпретації.

Приклад 19: Фізично значиме постійне прискорення

Щоб зробити більш фізично значущу версію прикладу 18, нам потрібно використовувати результат прикладу 4. Дещо безладне виведення координатного перетворення дає Семей. ¹¹ Результат

\[t' = \left(x + \dfrac{1}{a}\right) \sinh at\]

\[x' = \left(x + \dfrac{1}{a}\right) \cosh at\]

Застосування закону тензорного перетворення дає (завдання 7):

\[g'_{t' t'} = (1 + ax')^{2}\]

\[g'_{x' x'} = -1\]

На відміну від результату прикладу 18, цей ніколи не поводиться погано. Тісно пов'язана тема однорідного гравітаційного поля в загальній теорії відносності розглядається в задачі 7.

---

¹¹ arxiv.org/абс/фізика/0601179

Приклад 20: Точні сигнали синхронізації

Співвідношення між потенціалом A і полями E і B, наведеними в розділі 4.2, може бути записано в явно коваріантній формі як

\[F_{ij} = \partial _{[i}A_{j]}\]

де F, званий електромагнітним тензором, - антисиметричний тензор ранга-два, шість незалежних компонентів якого певним чином відповідають складовим E і B тривекторів. Якщо F повністю зникає в певний момент просторучасу, то лінійна форма законів тензорного перетворення гарантує, що він зникне у всіх системах координат, а не тільки в одній. Система GPS використовує цей факт при передачі синхронізаційних сигналів від супутників користувачам. Електромагнітна хвиля модулюється так, що біти, які вона передає, представлені фазовими розворотами хвилі. При цих фазових розворотах F зникає, і це зникнення справедливо незалежно від руху одиниці користувача або його положення в земному гравітаційному полі. Див. завдання 17.

Приклад 21: Імпульс хоче нижчий індекс

У прикладі 5 ми побачили, що як тільки ми довільно вирішили писати лінійки вимірювань у евклідовому трипросторі як\(\Delta\) x ^a, а не\(\Delta\) x _a, стало природним думати про ньютонівську силу threevector як «бажаючих», щоб бути позначені нижчим індексом. Ми можемо зробити щось подібне з імпульсом 3- або 4-вектора. Лагранж є релятивістським скаляром, а в механіці Лагранжа імпульс визначається\(p_{a} = \frac{\partial L}{\partial v^{a}}\). Верхній індекс у знаменнику праворуч стає нижнім індексом зліва за тими ж міркуваннями, які використовувалися при позначенні законів тензорного перетворення. Другий закон Ньютона показує, що це узгоджується з результатом прикладу 5.