4.2: Чотири вектори (частина 1)
- Page ID
- 77578
Швидкість і прискорення Чотири вектори
Наш основний вектор Лоренца - це зміщення простору/часу\(dx^i\). Будь-яка інша величина, яка має таку ж поведінку, як dx i під обертаннями та підсиленнями, також є дійсним вектором Лоренца. Розглянемо частинку, що рухається через простір, як описано в кадрі Лоренца. Оскільки частинка може піддаватися негравітаційним силам, кадр Лоренца не може збігатися (за винятком, можливо, на мить) з рамкою спокою частинки. Якщо не\(dx^i\) світлоподібний, то відповідний нескінченно малий власний часовий інтервал dτ дорівнює ненулю. Як і у випадку з ньютонівськими трьома векторами, ділення чотири-вектора на скаляр Лоренца дає іншу величину, яка перетворюється як чотиривекторний, таким чином, діливши нескінченно малий зсув на ненульовий нескінченно малий проміжок часу, ми маємо вектор чотирьох швидкостей
\[v^{i} = \frac{dx^{i}}{d \tau}\]
складовими якого в системі координат Лоренца є
\[(\gamma, \gamma u^{1}, \gamma u^{2}, \gamma u^{3})\]
де (u 1, u 2, u 3) - звичайний трикомпонентний вектор швидкості, що визначається в класичній механіці. Квадратна величина чотирьох швидкостей завжди\(v^iv_i\) дорівнює рівно 1, навіть якщо частинка не рухається зі швидкістю світла. (Якби він рухався зі швидкістю світла, ми б мали\(d\tau = 0\), і були\(v\) б невизначені.)
Коли ми чуємо щось, що називається «вектором», ми зазвичай приймаємо це твердження, що воно не тільки перетворюється як вектор, але й додає як вектор. Але ми вже бачили в розділі 2.3, що навіть колінеарні швидкості в відносності не додають лінійно; тому вони явно не можуть додавати лінійно, коли одягнені в одяг чотирьох векторів. Ми також бачили в розділі 2.5, що комбінація неколінеарних підсилень є некомутативною і, як правило, еквівалентна імпульсу плюс просторового обертання; це також не узгоджується з лінійним додаванням чотирьох векторів. Ризикуючи побити мертвого коня, квадратна величина чотирьох швидкостей завжди дорівнює 1, і це не узгоджується з можливістю додавання векторів чотирьох швидкостей.
Приклад 2: Вектор нульової швидкості?
Припустимо, об'єкт має певну чотиришвидкісну v i в певній системі відліку. Чи можемо ми перетворитися в інший кадр, в якому об'єкт знаходиться в стані спокою, а його чотиришвидкісний дорівнює нулю?
Рішення
Ні. Загалом, перетворення Лоренца зберігає величину векторів, тому ніколи не може перетворити вектор з нульовою величиною в одиницю з ненульовою величиною. Оскільки це матеріальний об'єкт (а не промінь світла), ми можемо трансформуватися в кадр, в якому об'єкт знаходиться в стані спокою, але об'єкт у спокої не має зникаючої чотиришвидкісної. Він має чотири швидкості (1, 0, 0, 0).
Приклад 2 пропонує хороший спосіб мислення про вектори швидкості, який полягає в тому, що кожен вектор швидкості представляє потенційного спостерігача. Спостерігач - це матеріальний об'єкт, а тому має часоподібний вектор швидкості. Цей спостерігач записує власний вектор швидкості як (1, 0, 0, 0), тобто як одиничний вектор у часовому напрямку. Часто, коли ми бачимо вираз, що включає вектор швидкості, ми можемо інтерпретувати його як опис вимірювання, зробленого конкретним спостерігачем.
Приклад 3: Ортогональність як одночасність
У просторі, де внутрішній продукт може бути негативним, ортогональність не означає, що це означає наша евклідова інтуїція. Наприклад, світлоподібний вектор може бути ортогональним до себе — ситуація, яка ніколи не виникає в евклідовому просторі. Припустимо, у нас є часовий вектор t і пробіл, як один х. Що означало б, щоб t і x були ортогональними, з t · x = 0?
Рішення
Оскільки t є часовим, ми можемо зробити одиничний вектор\(\hat{\textbf{t}} = \frac{\textbf{t}}{|\textbf{t}|}\) з нього і інтерпретувати\(\hat{\textbf{t}}\) як вектор швидкості деякого гіпотетичного спостерігача. Тоді ми знаємо, що в кадрі цього спостерігача,\(\hat{\textbf{t}}\) це просто блок вектор вздовж осі часу. Тепер стає зрозуміло, що x повинен бути паралельний осі x, тобто він являє собою зміщення між двома подіями, які цей спостерігач вважає одночасними.
Це приклад ідеї про те, що вирази, що стосуються векторів швидкості, можна інтерпретувати як вимірювання, зроблені певним спостерігачем. Вираз t · x = 0 можна інтерпретувати як означає, що на думку спостерігача, чия світова лінія дотична до t, x представляє зв'язок одночасності.
Чотири прискорення знаходять шляхом прийняття другої похідної щодо належного часу. Його квадратна величина лише приблизно дорівнює мінус квадратної величини тривекторного прискорення Ньютона, в межі малих швидкостей.
Приклад 4: Постійне прискорення
Припустимо, космічний корабель рухається так, що прискорення оцінюється як постійне значення a спостерігачем на борту. Знайти рух x (t), виміряний спостерігачем в інерційній рамці.
Рішення
Нехай\(\tau\) стояти за належний час корабля, і нехай крапки вказують на похідні по відношенню до\(\tau\). Швидкість корабля має величину 1, тому $$\ dot {t} ^ {2} -\ dot {x} ^ {2} = 1\ ldotp\]
Спостерігач, який миттєво перебуває у стані спокою щодо суддів корабля, повинен мати чотириразове прискорення (0, a, 0, 0) (оскільки застосовується межа низьких швидкостей). Спостерігач у кадрі (t, x) погоджується на величину цього вектора, тому
\[\ddot{t}^{2} - \ddot{x}^{2} = - a^{2} \ldotp\]
Рішення цих диференціальних рівнянь є\(t = \frac{1}{a} \sinh a \tau,\; x = \frac{1}{a} \cosh a \tau\), а усунення\(\tau\) дає
\[x = \frac{1}{a} \sqrt{1 + a^{2} t^{2}} \ldotp\]
Коли вона наближається до нескінченності,\(\frac{dx}{dt}\) наближається до швидкості світла.
Імпульс Чотири вектора
Визначення матеріальної частинки
Якщо ми сподіваємося знайти щось, що грає роль імпульсу в відносності, то імпульс тривекторний, ймовірно, потрібно узагальнити до якогось чотиривекторного. Якщо так, то закон збереження імпульсу буде дійсним незалежно від своєї системи відліку, що необхідно. 2
Примітка
Ми не гарантуємо, що це правильний шлях, оскільки зворотне не відповідає дійсності: деякі три вектори, такі як електричне та магнітне поля, вбудовані в тензори рангу 2 складнішими способами, ніж це. Див. Розділ 4.2.
Якщо ми хочемо задовольнити принцип відповідності, то релятивістське визначення імпульсу, ймовірно, має виглядати якомога більше, як нерелятивістське. Раніше ми визначили швидкість чотирьох-вектор у випадку частинки, dx i якої не є світлоподібним. Припустимо на даний момент, що має сенс думати про масу як про скалярі. Як і у випадку з ньютонівськими трьома векторами, множення скаляра Лоренца на чотиривекторний вектор створює іншу величину, яка перетворюється як чотиривекторний. Тому ми припускаємо, що чотири-імпульс матеріальної частинки можна визначити як p i = mv i, що в координатах Лоренца є\((m \gamma, m \gamma v^{1}, m \gamma v^{2}, m \gamma v^{3})\). Немає апріорі гарантії, що це правильно, але це найрозумніше здогадатися. Його потрібно перевірити проти експерименту, а також на узгодженість з іншими частинами нашої теорії.
Просторові компоненти виглядають як класичний вектор імпульсу, помножений на коефіцієнт\(\gamma\), інтерпретація полягає в тому, що для спостерігача в цьому кадрі інерція рухомої частинки збільшується відносно її значення в кадрі спокою частинки. Такий ефект дійсно спостерігається експериментально. Ось чому прискорювачі частинок такі великі і дорогі. У міру наближення частинки до швидкості світла\(\gamma\) розходиться, тому потрібні все більші і більші сили для того, щоб виробляти однакове прискорення. У процесах релятивістського розсіювання з матеріальними частинками ми емпірично виявляємо, що чотири імпульси, які ми визначили, зберігається, що підтверджує, що наші здогадки вище дійсні, і, зокрема, що кількість, яку ми називаємо m, можна розглядати як скаляр Лоренца, і це те, що роблять сьогодні всі фізики . Читач застерігає, однак, що приблизно до 1950 року було прийнято використовувати слово «маса» для комбінації m\(\gamma\) (що відбувається у формі координат Лоренца вектора імпульсу), при цьому посилаючись на m як «масу спокою». Ця архаїчна термінологія використовується сьогодні лише в деяких книгах популярного рівня та шкільних підручниках низького рівня.
Еквівалентність маси та енергії
Імпульсний чотиривекторний заблокував всередині нього причину знаменитого E = mc 2 Ейнштейна, який у наших релятивістських одиницях стає просто E = m Щоб зрозуміти, чому, розглянемо експериментально виміряну інерцію фізичного об'єкта, зробленого з атомів. Субатомні частинки рухаються, і багато швидкостей, наприклад, швидкості електронів, досить релятивістські. Це призводить до збільшення експериментально визначеної інерційної маси всього об'єкта на коефіцієнт\(\gamma\) усередненої по всіх частинок - хоча маси окремих частинок є інваріантними скалярами Лоренца. (Це ж збільшення також слід спостерігати для гравітаційної маси, заснованого на принципі еквівалентності, підтвердженому експериментами Етвеса.)
Тепер якщо об'єкт нагріти, то швидкості збільшаться в середньому, в результаті чого подальше збільшення його маси. Таким чином, певна кількість теплової енергії еквівалентно певній кількості маси. Але якщо теплова енергія сприяє масі, то те ж саме повинно бути і для інших форм енергії. Наприклад, припустимо, що нагрівання призводить до хімічної реакції, яка перетворює деяке тепло в електромагнітну енергію зв'язку. Якби один джоуль енергії зв'язку не перетворювався в таку ж кількість маси, як один джоуль тепла, то це дозволило б об'єкту мимовільно змінювати власну масу, а потім шляхом збереження імпульсу йому довелося б мимовільно змінювати власну швидкість, що явно порушувало б принцип відносність. Зроблено висновок, що маса і енергія рівнозначні, як інерційно, так і гравітаційно. У відносності жоден окремо не зберігається; збережена кількість - це їх сума, яку називають масовою енергією, Е. Альтернативне похідне, Ейнштейном, наведено в прикладі 16.
Енергія - це часова складова чотирьох імпульсів
Перетворення Лоренца нульового вектора завжди дорівнює нулю. Це означає, що імпульс чотири-вектор матеріального об'єкта не може дорівнювати нулю в кадрі спокою об'єкта, оскільки тоді він буде нульовим у всіх інших кадрах. Таким чином, для об'єкта маси м, нехай його імпульс чотири вектор в його спокій кадру бути (f (m), 0, 0, 0), де f є деякою функцією, що ми повинні визначити, і F може залежати тільки від м, оскільки немає іншого властивості об'єкта, який може бути динамічно релевантні тут. Оскільки закони збереження є адитивними, f має бути f (m) = км для деякої універсальної константи k. в де c = 1, k є безроздільним. Оскільки ми хочемо відновити відповідну ньютонівську межу для масивних тіл, і оскільки vt = 1 в цій межі, нам потрібно k = 1. Перетворюючи чотиривекторний імпульс з кадру спокою частинки в якийсь інший кадр, ми виявляємо, що часоподібна складова більше не є м, а трактуємо це як релятивістську масову енергію, Е.
Оскільки імпульс чотиривекторний був отриманий з величини-1 швидкості чотири-вектора шляхом множення на m, його величина в квадраті p i p i дорівнює квадрату маси частинки. Записуючи p для величини імпульсу тривектора, а E для мас-енергії знайдемо корисне співвідношення m 2 = E 2 −p 2. Ми приймаємо це як релятивістське визначення маси будь-якої частинки, включаючи ту, чий dx i є світлоподібним.
Частинки, що подорожують при
Визначення чотирьох-імпульсів як p i = mv i працює лише для частинок, які рухаються менше c Для тих, що рухаються при c, чотиришвидкісна невизначена. Як ми побачимо в прикладі 6, цей клас частинок є саме тими, які є безмасовими. Як показано в розділі 1.5, три-імпульс світлової хвилі задається p = Е. Той факт, що цей імпульс ненульовий означає, що для світла p i = mv i являє собою невизначену форму. Той факт, що цей імпульс дорівнює E, узгоджується з нашим визначенням маси як m 2 = E 2 − p 2.
Маса не є добавкою
Оскільки імпульс чотиривекторний p a є адитивним, а наше визначення маси як p a p a залежить від вектора нелінійно, то з цього випливає, що маса не є адитивною (навіть для частинок, які не взаємодіють, а просто вважаються колективно).
Приклад 5: Маса двох світлових хвиль
Нехай імпульс певної світлової хвилі буде (p t, p x) = (E, E), і нехай інша така хвиля має імпульс (E, −E). Загальний імпульс дорівнює (2E, 0). При цьому ця пара безмасових частинок має колективну масу 2Е.
Приклад 6: Безмасові частинки подорожують при c
Ми демонструємо це, показуючи, що якщо припустити протилежне, то є два різних наслідки, будь-який з яких був би фізично неприйнятним.
Коли частинка має масу, що не зникає, ми маємо
\[\lim_{\frac{E}{m} \rightarrow \infty} |v| = \lim_{\frac{E}{m} \rightarrow \infty} \frac{|p|}{E} = 1 \ldotp\]
Таким чином, якби ми мали безмасову частинку з |v| ≠ 1, її поведінка відрізнялася б від граничної поведінки масивних частинок. Але це фізично неприйнятно, оскільки тоді ми мали б магічний метод виявлення довільно малих мас, таких як 10 −10000000000 кг. Ми насправді не знаємо, що фотон, наприклад, точно безмасовий; див. Приклад 13.
Крім того, припустимо, що безмасова частинка мала |v| < 1 у кадрі деякого спостерігача. Тоді якийсь інший спостерігач міг перебувати в спокої щодо частинки. У такому кадрі триімпульсний p частинки дорівнює нулю по симетрії, так як для неї немає бажаного напрямку. Тоді E 2 = p 2 + m 2 також дорівнює нулю, тому вся енергія імпульсу частинки чотири-вектор дорівнює нулю. Але чотиривекторний, який зникає в одному кадрі, також зникає в кожному іншому кадрі. Це означає, що ми говоримо про частинку, яка не може зазнати розсіювання, випромінювання або поглинання, і тому не може бути виявлена будь-яким експериментом. Це фізично неприйнятно, тому що ми не вважаємо явища (наприклад, невидимі феї) представляють фізичний інтерес, якщо вони не виявляються навіть в принципі.
Приклад 7: Гравітаційні червоні зсуви
Оскільки енергія фотона Е еквівалентна певній гравітаційній масі m, фотони, які піднімаються або падають у гравітаційному полі, повинні втрачати або набирати енергію, і це слід спостерігати як червоне зсув або синє зсув частоти. Ми очікуємо, що зміна гравітаційної потенційної енергії буде Е\(\Delta \phi\), даючи відповідну протилежну зміну енергії фотона, так що\(\frac{\Delta E}{E} = \Delta \varphi\). У метричних одиницях це стає\(\frac{\Delta E}{E} = \frac{\Delta \varphi}{c^{2}}\), а в полі біля поверхні Землі ми маємо\(\frac{\Delta E}{E} = \frac{gh}{c^{2}}\). Це той самий результат, який був знайдений в розділі 1.5, заснований тільки на принципі еквівалентності, і перевірено експериментально Фунтом і Ребкою, як описано в розділі 1.5.
Приклад 8: Обмеження на поляризацію
Ми спостерігаємо, що електромагнітні хвилі завжди поляризовані поперечно, ніколи поздовжньо. Таке обмеження може застосовуватися лише до хвилі, яка поширюється на c Якщо вона застосовується до хвилі, яка поширюється на менш ніж c, ми могли б перейти до системи відліку, в якій хвиля перебувала в стані спокою. У цьому кадрі всі напрямки в просторі були б рівнозначними, і не було б можливості вирішити, які напрямки поляризації повинні бути дозволені. Для хвилі, яка поширюється при c, немає кадру, в якому хвиля знаходиться в стані спокою (див. Розділ 3.4).
Приклад 9: Релятивістська теорема про роботу та енергію
У оригінальній статті Ейнштейна 1905 року про відносність він припустив, не надаючи жодного обґрунтування, що ньютонівське відношення робота-енергія W = Fd було дійсним релятивістично. Одним із способів обґрунтування цього є те, що ми можемо побудувати просту машину з механічною перевагою А та зменшенням руху\(\frac{1}{A}\), при цьому ці співвідношення є точними релятивістично. 3 Потім можна обчислити, як це зробив Ейнштейн,
\[W = \int \frac{dp}{dt} dx = \int \frac{dp}{dv} \frac{dx}{dt} dv = m (\gamma - 1),\]
який узгоджується з нашим результатом для E як функції,\(\gamma\) якщо ми прирівнюємо його до E (\(\gamma\)) − E (1).
3 Явний приклад див. Bit.ly/1Auxia8.
Приклад 10: Море Дірака
Велика фізика може бути виведена з принципу Т.Х. Уайта, що «все, що не заборонено в обов'язковому порядку» - спочатку призначене для мурах, але застосоване до частинок Гелл-Манном. У квантовій механіці повинен відбуватися будь-який процес, який не заборонений законом збереження. \(E = \pm \sqrt{p^{2} + m^{2}}\)Релятивістське відношення має два корені, позитивне і негативне. Позитивно-енергетичні та негативно-енергетичні стани розділені нічиєю землею шириною 2 м, тому жоден безперервний класичний процес не може вести з одного боку в іншу. Але квантово-механічно, якщо електрон існує з енергією\(E = + \sqrt{p^{2} + m^{2}}\), він повинен зуміти зробити квантовий стрибок в стан з\(E = − \sqrt{p^{2} + m^{2}}\), випромінюючи різницю енергій 2Е у вигляді фотонів. Чому цього не відбувається? Одне пояснення полягає в тому, що стани з E < 0 вже зайняті. Це «море Дірака», яке ми зараз трактуємо як повне електронів. Вакансія в море проявляється як антиелектрон.
Приклад 11: Масивні нейтрино
Нейтрино довгий час вважалися безмасовими, але зараз, як вважають, мають маси в діапазоні eV. Якби вони були безмасовими, їм завжди доводилося б поширюватися зі швидкістю світла. Хоча зараз вважається, що вони мають масу, ця маса на шість порядків менше, ніж енергетична шкала МеВ ядерних реакцій, в яких вони виробляються, тому всі нейтрино, що спостерігаються в експериментах, рухаються зі швидкостями, дуже близькими до швидкості світла.
Приклад 12: Відсутність радіоактивного розпаду безмасових частинок
Фотон не може розпастися на електрон і позитрон,\(\gamma\) → e + + e −, за відсутності зарядженої частинки для взаємодії. Щоб переконатися в цьому, розглянемо процес в системі відліку, при якому електрон-позитронна пара має нульовий сумарний імпульс. У цьому кадрі фотон повинен мати нульовий (три-) імпульс, але фотон з нульовим імпульсом також повинен мати нульову енергію. Це означає, що збереження релятивістського чотириімпульсу було порушено: часоподібна складова чотири-імпульсу - це масова енергія, і вона збільшилася з 0 в початковому стані до щонайменше 2мк 2 в кінцевому стані.
Щоб продемонструвати послідовність теорії, ми можемо прийти до такого ж висновку іншим методом. Всякий раз, коли частинка має невелику масу (малу порівняно з її енергією, скажімо), вона повинна подорожувати близько до c Тому вона повинна мати дуже велике розширення часу, і це займе дуже багато часу, щоб зазнати радіоактивного розпаду. У межі, коли маса наближається до нуля, час, необхідний для розпаду, наближається до нескінченності. Інший спосіб сказати це полягає в тому, що швидкість радіоактивного розпаду повинна бути зафіксована з точки зору належного часу, але немає такого поняття, як належний час для безмасової частинки. Таким чином, заборонений не тільки цей специфічний процес, але і будь-який процес радіоактивного розпаду за участю безмасової частинки.
У цьому аргументі є різні лазівки. Питання більш ретельно досліджується Фіоре і Моданезе. 4
Приклад 13: Масивні фотони
Продовжуючи в тому ж ключі, що і приклад 11, ми можемо розглянути можливість того, що фотон має деяку незникаючу масу. Експеримент 2003 року Луо та ін. 5 поставив межу приблизно 10 −54 кг на цю масу. Це неймовірно мало, але припустимо, що майбутня експериментальна робота з використанням вдосконалених методик показує, що маса менше цієї, але насправді ненульова. Наївна реакція на цей сценарій полягає в тому, що він похитне відносність до свого ядра, оскільки відносність заснована на припущенні, що швидкість світла є постійною, тоді як для масивної частинки вона не повинна бути постійною. Але це неправильне тлумачення ролі c в відносності. Як повинно бути зрозуміло з підходу, прийнятого в розділі 2.2, c - це перш за все геометрична властивість простору-часу, а не властивість світла.
Насправді таке відкриття було б скоріше проблемою для фізиків частинок, ніж для релятивістів, як ми бачимо за наступним ескізом аргументу. Уявіть собі дві заряджені частинки, в спокої, взаємодіють за допомогою електричного тяжіння. Квантова механіка описує це як обмін фотонами. Оскільки частинки знаходяться в стані спокою, джерела енергії немає, то звідки ми беремо енергію, щоб зробити фотони? Принцип невизначеності Гейзенберга дозволяє нам вкрасти цю енергію за умови, що ми віддаємо її протягом часу\(\Delta\) t Цей часовий ліміт накладає обмеження на відстань, яку можуть подорожувати фотони, але, використовуючи фотони досить низької енергії, ми можемо зробити цю межу відстані такою великою, як нам подобається, і\(\Delta E \Delta t \gtrsim h\) тому немає обмежень на діапазон сили. Але припустимо, що фотон має масу. Тоді є мінімальна мас-енергія mc 2, необхідна для того, щоб створити фотон, максимальний час - h/mc 2, а максимальний діапазон - h/mc. Трохи уточнюючи ці сирі аргументи, можна виявити, що обмін частинок нульової маси дає силу, яка йде як\(\frac{1}{r^{2}}\), тоді як ненульова маса призводить до того\(\frac{e^{− \mu r}}{r^{2}}\), де\(\mu^{−1} = \frac{\hbar}{mc}\). Для фотона найкраща межа маси струму відповідає\(\mu^{−1} \gtrsim 10^{11}\) m, тому відхилення від\(\frac{1}{r^{2}}\) було б важко виміряти в земних експериментах.
Зараз закон Гаусса є специфічною характеристикою\(\frac{1}{r^{2}}\) полів. Це було б трохи порушено, якби фотони мали масу. Нам довелося б змінити рівняння Максвелла, і виходить 6, що необхідна зміна закону Гаусса мала б вигляд\(\nabla \cdot \textbf{E} = (\ldots) \rho − (\ldots) \mu^{2} \Phi\), де\(\Phi\) електричний потенціал, і (.) вказує на фактори, які залежать від вибору одиниць. Це говорить нам про те\(\Phi\), що, що в класичному електромагнетизмі можна виміряти лише з точки зору відмінностей між різними точками в просторі, тепер можна виміряти в абсолютних показниках. Симетрія калібру була порушена. Але калібрувальна симетрія незамінна при створенні добре поводяться релятивістських польових теорій, і це є причиною того, що в цілому фізикам частинок важко доводиться з силами, що виникають при обміні масивних частинок. Гіпотетична частинка Хіггса, яка може спостерігатися на Великому адронному колайдері найближчим часом, по суті, є механізмом викручування з цієї складності у випадку масивних частинок W і Z, які відповідають за слабку ядерну силу; механізм, однак, не може бути розширений, щоб дозволити масивний фотон.
5 Luo et al., «Нова експериментальна межа маси фотонного спокою з обертовим торсіонним балансом», Phys. Преподобний Летт. 90 (2003) 081801. Інтерпретація подібних експериментів складна, і ця робота привернула низку коментарів. Більш слабким, але більш загальноприйнятим зв'язаним є 8 × 10 −52 кг, Девіс, Голдхабер і Ніето, Фіз. Преподобний Летт. 35 (1975) 1402.
6 Голдхабер і Ніето, «Наземні та позаземні межі на фотонній масі», Преподобний Мод. Фіз. 43 (1971) 277
Приклад 14: Пил і випромінювання в космологічних моделям
У космологічних моделям потрібне рівняння стану, яке пов'язує тиск Р з масово-енергетичною щільністю\(\rho\). Тиск - скаляр Лоренца. Масово-енергетичної щільності немає (так як масоваенергія - це всього лише часова складова того чи іншого вектора), а в системі координат без будь-якого чистого потоку маси ми можемо наблизити її як одну.
У ранньому Всесвіті панувало випромінювання. Фотон у коробці створює тиск на кожну стінку, пропорційний |p \(\mu\)|, де\(\mu\) є просторовим індексом. У тепловій рівновазі кожна з цих трьох ступенів свободи несе рівну кількість енергії, а так як імпульс і енергія рівні для безмасової частинки, середній імпульс по кожній осі дорівнює\(\frac{1}{3}\) Е\(\frac{1}{3} \rho\). У міру розширення Всесвіту довжини хвиль фотонів розширювалися пропорційно розтягуванню зайнятого ними простору, в результаті чого a - шкала відстані\(\lambda \propto a^{−1}\), що описує внутрішню кривизну Всесвіту у фіксований час. Оскільки числова щільність фотонів розбавлена пропорційно a −3, а маса на фотон змінюється як −1, обидва\(\rho\) і P змінюються як −4.
Космологи називають невзаємодіючі, нерелятивістські матеріали «пилом», що може означати багато речей, включаючи газ водню, фактичний пил, зірки, галактики та деякі форми темної матерії. Для пилу імпульс мізерно малий в порівнянні з масовою енергією, тому рівняння стану дорівнює P = 0, незалежно від\(\rho\). У щільності масової енергії переважає просто маса пилу, тому немає масштабування червоного зсуву типу a −1. Щільність масової енергії масштабується як −3. Оскільки це менш крута залежність від a, ніж a −4, була точка, приблизно через тисячу років після Великого вибуху, коли матерія почала домінувати над радіацією. У цей момент швидкість розширення Всесвіту здійснила перехід до якісно іншої поведінки, що виникає в результаті зміни рівняння стану.
У сучасну епоху в рівнянні стану Всесвіту переважають ні пил, ні випромінювання, а космологічна константа (див. Розділ 8.1). На малюнку 4.2.1 показана еволюція розмірів Всесвіту для трьох різних режимів. Деякі з простих випадків виведені починаючи з розділу 8.2.
